wpfapm.cs

private void button_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
{
    // ここは UI スレッドで実行される
    Debug.WriteLine("button_Click : {0}", Thread.CurrentThread.ManagedThreadId);

    var request = WebRequest.CreateHttp("http://tech.blog.aerie.jp");
    request.BeginGetResponse(this.OnGetResponseCompleted, request);
}

private void OnGetResponseCompleted(IAsyncResult result)
{
    // ここはワーカー スレッドで実行される
    Debug.WriteLine("OnGetResponseCompleted : {0}", Thread.CurrentThread.ManagedThreadId);

    var request = (HttpWebRequest)result.AsyncState;

    using (var response = request.EndGetResponse(result))
    using (var stream = response.GetResponseStream())
    using (var reader = new StreamReader(stream))
    {
        string content = reader.ReadToEnd();
        this.SetBrowserContent(content);
    }
}

private void SetBrowserContent(string content)
{
    Action action = () => this.webBrowser.NavigateToString(content);

    if (this.Dispatcher.CheckAccess())
    {
        // 現在のスレッドが UI スレッドならそのまま実行
        action();
    }
    else
    {
        // そうでなければ Dispatcher.Invoke で UI スレッドに処理を依頼する
        this.Dispatcher.Invoke(action);
    }
}