Auto.tex

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{pst-sigsys} 
\usepackage{graphicx}

\title{Reporte de Automatizaci\'on}
\author{V\'octor Briones (1441708)\and Carmen Suarez (1462633)\and Osvaldo Hinojosa (1452344) }
\begin{document}
\maketitle

\section{Introducci\'on}
El objetivo de nuestro proyecto es controlar un ventilador tomando en cuenta la temperatura, por medio de variaciones de voltaje que permiten aumentar o disminuir la potencia del ventilador, bas\'andose en la temperatura del lugar, si sobrepasa una temperatura dada, la velocidad aumenta, en cambio si la temperatura es menor la potencia del ventilador disminuye. En caso de que la temperatura sea muy baja y no amerite que el ventilador se encuentre encendido, este permanecer\'a apagado.

Se utilizar\'a un sensor de temperatura para medir la temperatura del lugar, con esto como entrada del sistema podemos saber que modificaciones se tendran que realizar y as\'i determinar si hay que aumentar o disminuir la potencia del ventilador.
\section{Funci\'on de transferencia}

Para la funci\'on de transferencia se utiliza de ecuaci\'on de entrada la f\'ormula de  la ley de enfriamiento de Newton, donde la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en un ambiente fr\'io cuya temperatura es $Tm$ es proporcional a la diferencia entre la temperatura instant\'anea del cuerpo y del ambiente. La ecuaci\'on es:

\[\frac{dT}{dt} = -r(T-Tm)\]
\[Y(s) = \frac{dT}{dt} + (-r(T-Tm))\]
\[Y(s) = sT(s)+ \frac{-r(T-Tm)}{s}\]

La ecuaci\'on de salida es una formula de potencia, la cual dice que \'esta es directamente proporcional a la diferencia de potencia entre terminales y la intensidad de corriente que pasa a trav\'es del dispositivo:

\[p = \frac{dw}{dt}IV\]
\[X(s)= sW(s)IV\]

La funci\'on de transferencia a utiliz\'ar despues de sustituir las ecuaciones es la siguiente:

\[G(s) =\frac{sW(s)IV}{sT(s)+\frac{-r(T-Tm)}{s}}\]
\subsection{Diagrama de bloques}

La entrada es la temperatura que haya en el lugar $T(s)$ y la salida es la velocidad del ventilador $S(s)$.\\

Diagrama de bloques\\*
\begin{pspicture}[showgrid=false](0.5,-2)(9,1.55)
%--- Define blocks ---
\rput(0.5,0){
	\rnode{s}{$T(s)$}}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](1.7,0){dot}
	\psblock(5, 0){H1}{$\frac{sT(s)+\frac{-r(T-T_m)}{s}}{sW(s)IV}$}
	\rput(9,0){\rnode{e}{$S(s)$}}
%--- Connect blocks ---
\psset{style=Arrow}
\ncangle[angleA=180,angleB=180]{dot}{H1}
\ncangle[angleB= 180]{s}{H1}
\ncangle[angleA = 0, angleB = -180]{H1}{e}

\end{pspicture}

Utilizando algebra de bloques\\*
\begin{pspicture}[showgrid=false](0.5,-3.8)(9,1.55)
%--- Define blocks ---
\rput(0.5,0){
	\rnode{s}{$T(s)$}}
	\cput[doubleline=false, scale = .5](2.7,-1){$-$}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](1.7,0){dot}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](2.7,0){dot2}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](3.5,0){dot3}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](7.5,0){dot4}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](2.7,-1.3){dot5}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](2.7,-0.7){dot6}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](3.5,-3){dot7}
	\psblock(5, 0){H1}{$sT(s)+\frac{-r(T-T_m)}{s}$}
	\psblock(5, -2){H3}{$sW(s)IV$}
	\rput(9,0){\rnode{e}{$S(s)$}}
%--- Connect blocks ---
\psset{style=Arrow}
\ncangle[angleA=180,angleB=180]{dot}{H1}
\ncangle[angleB= 180]{s}{H1}
\ncangle[angleA = -90, angleB = -180]{dot3}{H2}
\ncangle[angleA = 0, angleB = -180]{H1}{e}
\ncangle[angleA = 0, angleB = -90]{H2}{e}
\ncangle[angleA = -90, angleB = 0]{dot4}{H3}

\ncangle[angleA = 180, angleB = -90]{H3}{dot5}
\ncangle[angleA = 90, angleB = -90]{dot6}{dot2}

\end{pspicture}


Diagrama final\\*
\begin{pspicture}[showgrid=false](0.5,-5)(9,1.55)
%--- Define blocks ---
\rput(0.5,0){
	\rnode{s}{$T(s)$}}
	\cput[doubleline=false, scale = .5](2.7,-1){$-$}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](1.7,0){dot}
	\pscircleop(7, 0){oplus1}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](2.7,0){dot2}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](3.5,0){dot3}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](7.5,0){dot4}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](2.7,-1.3){dot5}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](2.7,-0.7){dot6}
	\dotnode[dotstyle=square*,dotscale=0.001](3.5,-3){dot7}
	\psblock(5, 0){H1}{$sT(s)$}
	\psblock(5, -1){H2}{$\frac{-r(T-T_m)}{s}$}
	\psblock(5, -2){H3}{$sW(s)IV$}
	\rput(9,0){\rnode{e}{$S(s)$}}
%--- Connect blocks ---
\psset{style=Arrow}
\ncangle[angleA=180,angleB=180]{dot}{H1}
\ncangle[angleB= 180]{s}{H1}
\ncline[nodesepB=.15]{oplus1}{e}
\ncangle[angleA = -90, angleB = -180]{dot3}{H2}
\ncangle[angleA = 0, angleB = -180]{H1}{oplus1}
\ncangle[angleA = 0, angleB = -90]{H2}{oplus1}
\ncangle[angleA = -90, angleB = 0]{dot4}{H3}

\ncangle[angleA = 180, angleB = -90]{H3}{dot5}
\ncangle[angleA = 90, angleB = -90]{dot6}{dot2}

\end{pspicture}
\section{Reprecentaci\'on en espacio de estados}
La representaci\'on de la funci\'on de transferencia en un espacio de estados es la siguiente:
\[\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + ... + b_{n-1} s +b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+ ... +a_{n-1}s+a_n}\]

Transformando nuestra funci\'on de transferencia, aplicando algunas propiedades queda la siguiente funci\'on:
\[\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{120s^2}{30s^2-15}=\frac{4s^2}{s^2-0.5}\]

Utilizando la representaci\'on en un espacio de estados con nuestra funci\'on de transferencia:
\[\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0s^n}{s^n-a_n}\]
Donde:
\begin{itemize}
\item $b_0=4$
\item $a_1=0$
\item $a_2=-0.5$
\end{itemize}
\includegraphics{png1.eps}
\section{Controlabilidad}

Controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilizaci\'on de sistemas inestables, o el control \'optimo.\\

La funci\'on $ctrb$ de octave permite encontrar la matriz de controlabilidad mediante un sistema o las matrices A y B del mismo.

\includegraphics{png2.eps}
\subsection{Forma Canonica Controlable}
La forma canonica controlable tiene la forma:

\includegraphics{png3.eps}

Por lo cual la ecuaci\'on de nosotros queda de la siguiente manera:

\[ \left| \begin{array}{ccc}
x'_1(t)  \\
x'_2(t) \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc}
0 & 1 \\
0.5 & 0 \end{array}\right|\left| \begin{array}{ccc}
x_1(t)  \\
x_2(t) \end{array}\right| + \left| \begin{array}{ccc}
0  \\
1 \end{array}\right| u(t)\]

\[y(t)= \left| \begin{array}{ccc}
2 &
0 \end{array}\right| \left| \begin{array}{ccc}
x_1(t)  \\
x_2(t) \end{array}\right| +4u(t)\]

\section{Observabilidad}

Observabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y gobierna la existencia de una soluci\'on de control óptimo. Es una medici\'on que determina c\'omo los estados internos pueden se inferidos a trav\'es de las salidas externas.\\

La funci\'on $obsv$ de octave permite encontrar la matriz de controlabilidad mediante un sistema o las matrices A y C del mismo.

\includegraphics{png4.eps}

\subsection{Forma Canonica Observable}
La forma canonica observable tiene la forma:

\includegraphics{png5.eps}

Por lo cual la ecuaci\'on de nosotros queda de la siguiente manera:

\[ \left| \begin{array}{ccc}
x'_1(t)  \\
x'_2(t) \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc}
0 & 0.5 \\
1 & 0 \end{array}\right|\left| \begin{array}{ccc}
x_1(t)  \\
x_2(t) \end{array}\right| + \left| \begin{array}{ccc}
2  \\
0 \end{array}\right| u(t)\]

\[y(t)= \left| \begin{array}{ccc}
0 &
1 \end{array}\right| \left| \begin{array}{ccc}
x_1(t)  \\
x_2(t) \end{array}\right| +4u(t)\]

\section{Diagonalizaci\'on}
Diagonalizar una matriz $A$ significa encontrar dos matrices tales que:

\[A=PDP^{-1}\]

Donde la matriz $P$ se le conoce como matriz de paso y la matriz D es una matriz diagonal, ambas son del mismo tamaño que la matriz $A$. La matriz $P^{-1}$ es la inversa de $P$.

Se calculan los eigenvalores y eigenvectores de la matriz $A$ para poder hallar la matriz de paso y la matriz diagonal. La matriz de paso tiene $n$ columnas, cada una de ellas está formado por los eigenvectores de la matriz $A$, la primera  contiene el primer eigenvector, la segunda el segundo eigenvector y así sucesivamente. La matriz $D$ es una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal son los eigenvalores correspondientes a los eigenvectores que se tomaron para construir la matriz $P$, el primer elemento en la diagonal corresponde al primer eigenvalor del primer eigenvector, el segundo elemento corresponde al segundo eigenvector y así sucesivamente. Una vez construida la matriz $P$ se calcula su inversa.

\subsection{Forma Can\'onica Diagonal}

La forma can\'onica diagonal es representada de la siguiente manera:

\includegraphics{png6.eps}

Para obtener la ecuaci\'on primero sacamos las raíces del denominador con la funci\'on residuo de octave, lo que sale en $a$ son las raíces y lo que sale en $b$ es el resultado de las fracciones parciales.

\includegraphics{png7.eps}

Con eso queda:

\[\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1.4142}{s-\sqrt{\frac{1}{2}}}+\frac{1.4142}{s+\sqrt{\frac{1}{2}}}\]
Donde:

\begin{itemize}
\item $c_1=1.4142$
\item $c_2=-1.4142$
\item $p_1=\sqrt{\frac{1}{2}}$
\item $p_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$
\end{itemize}

La ecuaci\'on final queda:

\[ \left| \begin{array}{ccc}
x'_1(t)  \\
x'_2(t) \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc}
\sqrt{\frac{1}{2} }& 0 \\
0 & \sqrt{\frac{1}{2}} \end{array}\right|\left| \begin{array}{ccc}
x_1(t)  \\
x_2(t) \end{array}\right| + \left| \begin{array}{ccc}
1  \\
2 \end{array}\right| u(t)\]

\[y(t)= \left| \begin{array}{ccc}
1.4142 &
-1.4142 \end{array}\right| \left| \begin{array}{ccc}
x_1(t)  \\
x_2(t) \end{array}\right| +4u(t)\]

\end{document}