Виды задач линейного программирования
Not Found
Линейное программирование
Методы оптимизации Методы оптимизации Линейное программирование Нелинейное программирование Динамическое программирование Транспортные задачи линейного программирования Целочисленное программирование Сетевое планирование. Линейное программирование Линейное программирование Графический метод Симплекс-метод Двойственный симплекс-метод Решение двойственной задачи Задачи параметрического программирования Каноническая форма ЗЛП Стандартная форма ЗЛП M-задача Метод искусственного базиса Теоремы двойственности Метод ветвей и границ Метод Гомори. Метод последовательных уступок Алгоритм Франка-Вульфа Критерий Вилкоксона Ранжирование данных Метод анализа иерархий Метод идеальной точки Метод непосредственной линеаризации Метод условного градиента. Метод Гомори Графический метод Симплекс-метод. Теория игр M-задача Теоремы двойственности. Одноканальные СМО Задача коммивояжера Транспортная задача. Выберите количество переменных и количество строк количество ограничений. Полученное решение сохраняется в файле Word. Количество переменных 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Количество строк количество ограничений 2 3 4 5 6 7 8 9
В предыдущем параграфе были рассмотрены примеры задач линейного программирования. Во всех этих задачах требовалось найти максимум или минимум линейной функции при условии, что ее переменные принимали неотрицательные значения и удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или линейных неравенств либо системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения. Каждая из этих задач является частным случаем общей задачи линейного программирования. Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального минимального значения функции. Функция 8 называется целевой функцией или линейной формой задачи 8 — 11 , а условия 9 — 11 — ограничениями данной задачи. Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям задачи 9 — 11 , называется допустимым решением или планом. План , при котором целевая функция задачи 8 принимает свое максимальное минимальное значение, называется оптимальным. Значение целевой функции 8 при плане Х будем обозначать через. Указанные выше три формы задачи линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из трех задач. Чтобы перейти от одной формы записи задачи линейного программирования к другой, нужно уметь, во-первых , сводить задачу минимизации функции к задаче максимизации; во-вторых , переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам и наоборот; в-третьих , заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности. В том случае, когда требуется найти минимум функции , можно перейти к нахождению максимума функции , поскольку. Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств. Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса. Отметим, наконец, что если переменная , не подчинена условию неотрицательности , то ее следует заменить двумя неотрицательными переменными и , приняв. Записать в форме основной задачи линейного программирования следующую задачу: В данной задаче требуется найти максимум функции, а система ограничений содержит четыре неравенства. Следовательно, чтобы записать ее в форме основной задачи, нужно перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Так как число неравенств, входящих в систему ограничений задачи, равно четырем, то этот переход может быть осуществлен введением четырех дополнительных неотрицательных переменных. В результате ограничения принимают вид уравнений: Следовательно, данная задача может быть записана в форме основной задачи таким образом: Записать задачу, состоящую в минимизации функции при условиях. В данной задаче требуется найти минимум целевой функции, а система ограничений содержит три неравенства. Следовательно, исходная задача может быть записана в форме основной задачи линейного программирования так: Записать в форме стандартной задачи линейного программирования следующую задачу: Методом последовательного исключения неизвестных сведем данную задачу к следующей: Последняя задача записана в форме основной для задачи, состоящей в нахождении максимального значения функции при условиях. Целевая функция задачи преобразована с помощью подстановки вместо и их значений в соответствии с уравнениями системы ограничений задачи. Свойства основной задачи линейного программирования. Геометрическое истолкование задачи линейного программирования. Рассмотрим основную задачу линейного программирования. Она состоит в определении максимального значения функции при условиях. План называется опорным планом, основной задачи линейного программирования, если система векторов , входящих в разложение 16 с положительными коэффициентами линейно независима. Так как векторы являются m -мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может быть больше, чем т. Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно т положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным. Свойства основной задачи линейного программирования 15 — 17 тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств. Пусть — произвольные точки евклидова пространства. Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма где — произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1: Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию. Точка Х выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух других различных точек данного множества. Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым если оно не пусто. Непустое множество планов основной задачи линейного программирования называется многогранником решений, а всякая угловая точка многогранника решений — вершиной. Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное значение целевая функция задачи принимает в одной из вершин многогранника решений. Если максимальное значение целевая функция задачи принимает более чем в одной вершине, то она принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин. Если система векторов в разложении 16 линейно независима и такова, что. Если — вершина многогранника решений, то векторы , соответствующие положительным в разложении 16 , линейно независимы. Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений т. Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин. Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме стандартной, содержит не более двух переменных или задача, записанная в форме основной, содержит не более двух свободных переменных, т. Найдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции. Каждое из неравенств 20 , 21 системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми и. В том случае, если система неравенств 20 , 21 совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств. Таким образом, исходная задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим линию уровня где h — некоторая постоянная , проходящую через многоугольник решений, и будем передвигать ее в направлении вектора до тех пор, пока она не пройдет через ее последнюю общую точку с многоугольником решений. Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи. Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи 19 — 21 , отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться случаи, изображенные на рис. Отметим, что нахождение минимального значения линейной функции при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях лишь тем, что линия уровня передвигается не в направлении вектора а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения. Итак, нахождение решения задачи линейного программирования 19 — 21 на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы: Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях 20 и 21 знаков неравенств на знаки точных равенств. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. Строят прямую , проходящую через мн о гоугольник решений. Передвигают прямую в направлении вектора , в результате чего-либо находят точку точки , в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в табл. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием. Нормы расхода сырья кг на одно изделие. Общее количество сырья кг. Учитывая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях сбыт обеспечен , требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной,. Предположим, что предприятие изготовит x 1 изделий вида А и изделий вида В. Поскольку производство продукции ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться неравенства. Общая прибыль от реализации x 1 изделий вида А и изделий вида В составит. Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: Найдем решение сформулированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим многоугольник решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств и найдем соответствующие прямые: Эти прямые изображены на рис. Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой — нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае — другая полуплоскость. Найдем, например, полуплоскость, определяемую неравенством Д ля этого, построив прямую на рис. Координаты этой точки удовлетворяют неравенству значит, полуплоскость, которой принадлежит точка О 0; 0 , определяется неравенством Это и показано стрелками на рис. Пересечение полученных полуплоскостей и определяет многоугольник решений данной задачи. Как видно из рис. Координаты любой точки, принадлежащей этому пятиугольнику, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую пятиугольнику OABCD , в которой функция F принимает максимальное значение. Чтобы найти указанную точку, построим вектор и прямую где h — некоторая постоянная такая, что прямая имеет общие точки с многоугольником решений. Если теперь взять какую-нибудь точку, принадлежащую построенной прямой и многоугольнику решений, то ее координаты определяют такой план производства изделий А и В , при котором прибыль от их реализации равна руб. Далее, полагая h равным некоторому числу, большему чем , мы будем получать различные параллельные прямые. Если они имеют общие точки с многоугольником решений, то эти точки определяют планы производства изделий А и В , при которых прибыль от их реализации превзойдет руб. Перемещая построенную прямую в направлении вектора видим, что последней общей точкой ее с многоугольником решений задачи служит точка В. Координаты этой точки и определяют план выпуска изделий А и В , при котором прибыль от их реализации является максимальной. Найдем координаты точки В как точки пересечения прямых II и III. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых. Решив эту систему уравнений, получим С ледовательно, если предприятие изготовит 12 изделий вида А и 18 изделий вида В , то оно получит максимальную прибыль, равную. Найти максимум и минимум функции при условиях. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств: Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости и их пересечение рис. Координаты точек этого треугольника удовлетворяют условию неотрицательности и неравенствам системы ограничений задачи. Следовательно, задача будет решена, если среди точек треугольника АВС найти такие, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения. Для нахождения этих точек построим прямую число 4 взято произвольно и вектор. Передвигая данную прямую параллельно самой себе в направлении вектора видим, что ее последней общей точкой с многоугольником решений задачи является точка С. Следовательно, в этой точке функция F принимае т максимальное значение. Так как С — точка пересечения прямых I и II, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: Решив эту систему уравнений, получим Т аким образом, максимальное значение функции. Для нахождения минимального значения целевой функции задачи передвигаем прямую в направлении, противоположном направлению вектора В этом случае, как видно из рис. Следовательно, в этой точке функция F принимает минимальное значение. Для определения координат точки А решаем систему уравнений. Высшая математика Решение контрольных Оплата контрольных Вопросы по Skype Редактор формул Лекции Видео-лекции Учебники on-line Скачать учебники Решатели задач О математике Карта сайта. Общая и основная задачи линейного программирования. МЕНЮ Высшая математика Решение контрольных Оплата контрольных Вопросы по Skype Редактор формул Лекции Видео-лекции Учебники on-line Скачать учебники Решатели задач О математике Карта сайта. Прибыль от реализации одного изделия руб.
Яка структура ет
Телевизоры какой фирмы лучше отзывы
Минздрав россии приказы май 2016 год
Турист пенза каталог товаров
Каталог сортов роз срезка