[3D] 三角形と線分の交差判定（Raycast） ref: http://qiita.com/edo_m18/items/2bd885b13bd74803a368

file0.txt

0 ≦ u ≦ 1 \\
0 ≦ v ≦ 1 \\
0 ≦ u + v ≦ 1

file10.txt

x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)}

file11.txt

det(A_1) = 
\begin{vmatrix}
c_1 &b_1 \\
c_2 &b_2
\end{vmatrix}

=

(c_1 \times b_2) - (b_1 \times c_2)

file5.txt

\begin{vmatrix}
a1 \\
a2 \\
a3
\end{vmatrix}
u + 

\begin{vmatrix}
b1 \\
b2 \\
b3
\end{vmatrix}
v + 

\begin{vmatrix}
c1 \\
c2 \\
c3
\end{vmatrix}
t =

\begin{vmatrix}
d1 \\
d2 \\
d3
\end{vmatrix}

file6.js

/**
 *  三角形の内包判定
 *  
 *  @param vecA vectorA
 *  @param vecB vectorB
 *  @param vecC vectorC
 */
function det(vecA, vecB, vecC) {
    return ((vecA.x * vecB.y * vecC.z)
          + (vecA.y * vecB.z * vecC.x)
          + (vecA.z * vecB.x * vecC.y)
          - (vecA.x * vecB.z * vecC.y)
          - (vecA.y * vecB.x * vecC.z)
          - (vecA.z * vecB.y * vecC.x));
}

/**
 *  Raycast
 *
 *  @param origin origin vector of ray
 *  @param ray  ray direction
 *  @param v0 a vertex of a triangle
 *  @param v1 a vertex of a triangle
 *  @param v2 a vertex of a triangle
 *
 *  @return result object
 */
function rayIntersectsTriangle(origin, ray, v0, v1, v2) {
    // 交差判定結果を表すオブジェクト
    var  ret = {
        result: false,
        point: new THREE.Vector3(),
        distance: 0
    };

    // レイの逆方向のベクトルを得る
    var invRay = ray.clone().multiplyScalar(-1);
    var edge1 = (new THREE.Vector3()).subVectors(v1, v0);
    var edge2 = (new THREE.Vector3()).subVectors(v2, v0);

    // クラメルの公式の分母
    var denominator = det(edge1, edge2, invRay);

    // レイが平面と平行でないかチェック
    if (denominator <= 0) {
        return ret;
    }

    var d = (new THREE.Vector3()).subVectors(origin, v0);

    var u = det(d, edge2, invRay) / denominator;
    if ((u >= 0) && (u <= 1)) {
        var v = det(edge1, d, invRay) / denominator;
        if ((v >= 0) && (u + v <= 1)) {
            var t = det(edge1, edge2, d) / denominator;

            // 距離がマイナスの場合は交差していない
            if (t < 0) {
                return ret;
            }

            var tmp = ray.clone().multiplyScalar(t);
            ret.point = (new THREE.Vector3()).addVectors(origin, tmp);
            ret.result = true;
            ret.distance = t;
        }
    }

    return ret;
}

file7.txt

\begin{vmatrix}
1 &2 \\
3 &4
\end{vmatrix}

=

(1 \times 4) - (2 \times 3) = -2

file8.txt

a_1 x_1 + b_1 x_2 = c_1 \\
a_2 x_1 + b_2 x_2 = c_2

file9.txt

\begin{vmatrix}
a_1 &b_1 \\
a_2 &b_2
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}
c_1 \\
c_2
\end{vmatrix}

三角形上の任意の点Pの表し方1

P = v0 + edge1 * u + edge2 * v

三角形上の任意の点Pの表し方2

// レイを元に算出します
// origin ... レイの始点
// ray ... レイの方向
// t ... 交点までの距離
P = origin + ray * t

係数ありとなしに整理

(edge1 * u) + (edge2 * v) - (ray * t) = origin - v0

方程式

origin + ray * t = v0 + edge1 * u + edge2 * v