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μ'sとAqoursの誕生日についての考察(?)

この記事は ラブライブ! Advent Calendar 2016 の8日目の記事です。

7日目の記事はnanikanaさんの ある野外フェスでその曲を聴くということについて - ただ春を待つ でした。3rdライブでの僕今大合唱は今でも鮮明に覚えています。私も号泣しながら歌っていました。僕光も1日目のライブビューイングでは歌うどころではなかったしその気もなかったですが、2日目現地では2番から歌っていました。いつかまたμ'sが歌う僕光を生で聴けることを願っています。

この記事の趣旨

タイトルに反して別に深い考察とかはないです。いわゆる「誕生日問題」をμ'sとAqoursに当てはめて遊んでみました。

そもそも誕生日問題とは

誕生日問題とは「n人の中に同じ誕生日の人が含まれているかどうか」を計算する問題です。

例えば「36人のクラスの中に同じ誕生日の人がいる確率」はいくらでしょうか? (うるう年を考慮しない365日から等確率で誕生日が選ばれるものとします)
365日もある中から36日を選ぶので一見ほとんどかぶることはなさそうに感じるかもしれませんが、実際には83.218%という高い確率で誕生日がかぶっている人がいる計算になります。
ちなみにこの例題の36人という数字は、μ'sとAqoursのキャラと中の人を合計した人数です。つまりランダムにμ'sとAqoursのキャラと中の人の誕生日を決めたら83.218%でかぶっている人がいるわけです。

計算方法は、2人目が1人目とかぶらない確率は364/365、3人目が前2人とかぶらない確率は363/365、4人目は362/365、…、n人目は(366-n)/365となり、それらずべてを乗算した値が「n人の誕生日がすべてかぶらない確率」となります。
これをp(n)とすると、「n人の中で同じ誕生日の人がいる確率」は1-p(n)となります。

実際誕生日はかぶっているか?

μ's9人、Aqours9人の合計18人の誕生日は既に以下のように決まっています。スクフェスで石がもらえることもあってご存知の方も多いのではないでしょうか。

μ's

名前 日付
高坂穂乃果 8月3日
絢瀬絵里 10月21日
南ことり 9月12日
園田海未 3月15日
星空凛 11月1日
西木野真姫 4月19日
東條希 6月9日
小泉花陽 1月17日
矢澤にこ 7月22日

Aqours

名前 日付
高海千歌 8月1日
桜内梨子 9月19日
松浦果南 2月10日
黒澤ダイヤ 1月1日
渡辺曜 4月17日
津島善子 7月13日
国木田花丸 3月4日
小原鞠莉 6月13日
黒澤ルビィ 9月21日

見ての通り1人も誕生日はかぶっていません。
それもそのはず、キャラクターの誕生日はキャラクターの設定を考える際に恣意的に設定することが可能なので、例えばμ'sのキャラの誕生日は中の人とはかぶらないようにとか、Aqoursのキャラの誕生日はμ'sのキャラとはかぶらないようにとか、自由に設定できたはずです。

では中の人の誕生日はどうでしょうか?こちらはオーディションで誕生日がかぶらないような人を選ぶみたいな変なことをやってない限りは誕生日がかぶる可能性が十分ありそうです。

μ'sの中の人

名前 日付
新田恵海 12月10日
南條愛乃 7月12日
内田彩 7月23日
三森すずこ 6月28日
飯田里穂 10月26日
Pile 5月2日
楠田亜衣奈 2月1日
久保ユリカ 5月19日
徳井青空 12月26日

Aqoursの中の人

名前 日付
伊波杏樹 2月7日
逢田梨香子 8月8日
諏訪ななか 11月2日
小宮有紗 2月5日
斉藤朱夏 8月16日
小林愛香 10月23日
高槻かなこ 9月25日
鈴木愛奈 7月23日
降幡愛 2月19日

内田彩さんと鈴木愛奈さんの誕生日が7月23日でかぶっています。(どうやらオーディションの選考基準に誕生日がかぶっているかどうかは関係なかったようです)
実際にμ'sとAqoursのキャラと中の人の計36人で誕生日かぶりが発生していることから、冒頭に書いた83.218%という確率の高さとマッチしているといえます。

果たして本当にそうなのか?

これで終わりだと特に面白みもないので、もう少し掘り下げて考えてみましょう。

「μ'sとAqoursのキャラと中の人の計36人」と書きましたが、実際にはキャラと中の人の誕生日事情は違います。キャラの誕生日は中の人が決まってから設定することが可能だからです。
つまりμ'sの中の人が決まった段階で誕生日がかぶらないようにμ'sキャラの誕生日を設定することができたということです。
同様にAqoursの中の人が決まった段階でAqoursキャラの誕生日をかぶらないように設定することが可能です。しかもAqoursのキャラの場合はμ'sのキャラと中の人ともかぶらないように設定することもできたはずですし、実際そうなっています。
ただしμ'sのキャラとAqoursの中の人の誕生日がかぶることはありえます。Aqoursの中の人が決まったのはμ'sのキャラの設定が決まっただいぶ後だからです。(さすがに2010年の段階でAqoursの中の人が決まっていたってことはないでしょう)

仮にキャラの誕生日を決める際には他のキャラおよび中の人とかぶらないようにする、中の人を決める際には誕生日は考慮しないというルールに従う場合、誕生日がかぶる可能性があるのは

  • μ'sの中の人同士
  • Aqoursの中の人同士
  • μ'sの中の人とAqoursの中の人(実際起こっているケース)
  • μ'sのキャラとAqoursの中の人

のいずれかということになります。

この条件下で誕生日がかぶらない確率を求めるには、冒頭に書いた364/365 * 363/365 * ... * (366-n)/365という単純な計算式ではなく、以下のような計算式を考える必要があります。

  1. μ'sの中の人の誕生日がかぶらない確率は 364/365 * 363/365 * ... * 357/365 ≒ 0.9053761661
  2. μ'sのキャラの誕生日がかぶらない確率は、かぶらないように設定できるため1
  3. Aqoursの中の人の誕生日がかぶらない確率は、既に決まっているμ'sの中の人とキャラともかぶってはいけないため、347/365 * 346/365 * ... * 339/365 ≒ 0.5713477895
  4. Aqoursのキャラの誕生日がかぶらない確率は、かぶらないように設定できるため1
  5. 1~4を乗算すると0.9053761661 * 1 * 0.5713477895 * 1 = 0.5172846712、約51.728%でかぶらない

誕生日がかぶる確率は1 - 0.5172846712 = 0.4827153288なので約48.272%ということになります。およそ半々くらいの確率ですね。

本当にそうなのか、プログラムを組んで10万回試行してみました。結果は以下の通りとなりました。ほぼ計算した確率通りの結果に落ち着いています。

1000000 回実行した結果:
かぶり00人 : 518426回 (51.843%)
かぶり01人 : 354819回 (35.482%)
かぶり02人 : 106416回 (10.642%)
かぶり03人 : 18162回 (1.816%)
かぶり04人 : 2031回 (0.203%)
かぶり05人 : 132回 (0.013%)
かぶり06人 : 13回 (0.001%)
かぶり07人 : 1回 (0.000%)

ダイヤ様「わたくしの誕生日はレアですわ!」

ところで冒頭でさらっとこんなことを書きました。「うるう年を考慮しない365日から等確率で誕生日が選ばれるものとします」
これは問題を単純にするために設定した条件で、誕生日問題を考える場合は通常この条件を設けます。
ところが現実には「うるう年を考慮しない365日から等確率で誕生日が選ばれる」わけではありません。2月29日に産まれてくる子どももいますし、どの日も同じ人数だけ子どもが産まれるわけでもありません。

このツイートによると、最も誕生日が多い日が12月22日、逆に最も誕生日が少ない日が1月1日とのことです。ダイヤ様の誕生日1月1日は最もレアな誕生日ということになりますね。さすが生徒会長、クールですわぁ! 逆に妹のルビィちゃんの誕生日9月21日は9位とキャラの中では最も高順位です。中の人では高槻かなこさんの誕生日9月25日が3位、Pile様の誕生日5月2日は7位と高順位です。

実際の統計値はe-Statの人口動態統計の出生数のページからダウンロードすることができます。せっかく実際の出生数が取得できるので、これを考慮に入れて誕生日問題を考えることにしましょう。

μ'sやAqoursのキャラってそもそも何年生まれなの?

μ'sやAqoursのキャラが何年生まれなのかが問題ですが、以下の点からμ'sの活動時期が2014年度、Aqoursの現在の活動時期は2019年度の可能性が高いと考えられます。

  • 劇場版ラブライブ!で登場したカレンダーが2015年のものと一致
  • ラブライブ!サンシャイン!!4話で登場したカレンダーが2019年のものと一致
  • ラブライブ!サンシャイン!!4話で登場した雑誌から、第1回ラブライブ!の年(μ'sの活動時期の年)から5周年ということがわかる
  • ラブライブ!サンシャイン!!12話でダイヤ様の幼少期に東京メトロ副都心線が開業済みということがわかる。Aqoursの活動時期を2019年度と仮定すると副都心線開業は11年前、ダイヤ様6歳の頃となりアニメ描写と矛盾しない

このことから、μ 's3年生は1996年度、2年生は1997年度、1年生は1998年度の生まれと考えられ、Aqours3年生は2001年度、2年生は2002年度、1年生は2003年度の生まれと考えられます(ただし誰も留年や飛び級をしていないことが前提)。

誕生日の偏りを考慮して計算した結果

キャラについては誕生年と推測される年度の出生数を考慮した分布から誕生日をランダムに選ぶようにします。中の人についてはややこしくなるので統計値の1996年~2015年の値を合計した分布で考えます。

こうなると単純な計算で求めるのは難しいので、プログラムを組んで計算してみました。プログラムの処理は以下のような流れとなります。

  1. e-Statの人口動態統計の出生数のページから1996年~2015年の出生数のCSVをダウンロード(1995年はPDFなので対象外とした)
  2. 各年のCSVをパーズして日ごとの出生数テーブルを作成。この際、うるう年の2月29日の出生数は3月1日の方に加算
  3. すべての年を合計した日ごとの出生数テーブルと年度ごとの出生数テーブルも作成。各年度は4月2日~翌年4月1日までとする
  4. 中の人の誕生日はすべての年を合計した日ごとの出生数テーブルをもとにランダムに選ぶようにする
  5. μ's3年生の誕生日は1996年度の出生数テーブルをもとにランダムに選ぶようにする。他の学年、Aqoursメンバーも同様にして選ぶようにする
  6. 選ぶ順番は、μ'sの中の人→μ'sのキャラ(かぶったら選び直し)→Aqoursの中の人→Aqoursのキャラ(かぶったら選び直し)
  7. 誕生日がかぶった人数を求める
  8. 4~7を10万回繰り返した結果を出力

プログラムの結果は以下の通りとなりました。

1000000 回実行した結果:
かぶり00人 : 516353回 (51.635%)
かぶり01人 : 355723回 (35.572%)
かぶり02人 : 107279回 (10.728%)
かぶり03人 : 18462回 (1.846%)
かぶり04人 : 2020回 (0.202%)
かぶり05人 : 153回 (0.015%)
かぶり06人 : 9回 (0.001%)
かぶり07人 : 1回 (0.000%)

0.2%ほど誕生日がかぶる確率が増えましたが、大きな差はないといえます。

まとめ

特にまとめるほどの内容もないですが、「そういえばうっちーとあいにゃの誕生日かぶってるよなぁ、どれくらいの確率なんだろう」という素朴な疑問から始まってここまで色々遊べたので個人的には楽しかったです。
そのうちまたラブライブ!ネタで適当なプログラムを作ってみたいと考えています。

今回使用したプログラムのソースコードは以下にあります。

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