Зависимость случайных величин по закону распределения. Коэффициент корреляции - это корреляцинное отношение, математическая мера корреляции двух случайных величин. В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной , хотя и является статистической. Виды случайных величин и их законы распределения. Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором - также и её направление. Случайная величина в теории вероятности. Например, насколько движение доходности ПИФа связано, перекликается коррелирует с движением индекса , выбранного для расчета коэффициента бета для этого ПИФа. Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем больше коррелируют ПИФ и индекс, а значит коэффициент бета и, следовательно, коэффициент альфа можно принимать к рассмотрению. Если значение этого коэффициента корреляции меньше 0,75, то указанные показатели бессмысленны. В том случае, когда изменение одной из величин не приводит к закономерному изменению другой величины, то можно говорить об отсутствии корреляции между этими величинами. Коэффициенты корреляции могут быть положительными и отрицательными. Если при увеличении значения одной величины происходит уменьшение значений другой величины, то их коэффициент корреляции отрицательный. В случае, когда увеличение значений первого объекта наблюдения приводит к увеличениям значения второго объекта, то можно говорить о положительном коэффициенте. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной - минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:. Коэффициент корреляции - это показатель связи между двумя переменными. Расчёты подобных двумерных критериев взаимосвязи основываются на формировании парных значений, которые образовываются из рассматриваемых зависимых выборок. Коэффициент корреляции - это сила и направление связи между независимой и зависимой переменными. Значения r находятся в диапазоне между - 1. Когда r имеет положительное значение, связь между х и у является положительной, а когда значение r отрицательно, связь также отрицательна. Коэффициент корреляции , близкий к нулевому значению, свидетельствует о том, что между х и у связи не существует. Коэффициент корреляции -0,6 - пример слабой отрицательной корреляции. Коэффициент корреляции был предложен как инструмент, с помощью которого можно проверить гипотезу о зависимости и измерить силу зависимости двух переменных. Сразу заметим, что коэффициент корреляции оказался не идеальным инструментом, он пригоден лишь для измерения силы линейной зависимости. Пример идеальной положительной корреляции. Если распределение переменных нормальное или несущественно отличается от нормального, применяют коэффициент корреляции Пирсона. Для порядковых ранговых переменных или переменных, чье распределение существенно отличается от нормального, используется коэффициент корреляции Спирмана или Кендалла. Имейте в виду, существуют и другие коэффициенты. Пример идеальной отрицательной корреляции. Связь, которая существует между случайными величинами разной природы, например, между величиной Х и величиной Y, не обязательно является следствием прямой зависимости одной величины от другой так называемая функциональная связь. В некоторых случаях обе величины зависят от целой совокупности разных факторов, общих для обеих величин, в результате чего и формируется связанные друг с другом закономерности. Когда связь между случайными величинами обнаружена с помощью статистики, мы не можем утверждать, что обнаружили причину происходящего изменения параметров, скорее мы лишь увидели два взаимосвязанных следствия. Например, дети, которые чаще смотрят по телевизору американские боевики, меньше читают. Дети, которые больше читают, лучше учатся. Не так-то просто решить, где тут причины, а где следствия, но это и не является задачей статистики. Статистика может лишь, выдвинув гипотезу о наличии связи, подкрепить ее цифрами. Если связь действительно имеется, говорят, что между двумя случайными величинами есть корреляция. Если увеличение одной случайной величины связано с увеличением второй случайной величины, корреляция называется прямой. Например, количество прочитанных страниц за год и средний балл успеваемость. Если, напротив рост одной величины связано с уменьшением другой, говорят об обратной корреляции. Например, количество боевиков и количество прочитанных страниц. Взаимная связь двух случайных величин называется корреляцией, корреляционный анализ позволяет определить наличие такой связи, оценить, насколько тесна и существенна эта связь. Все это выражается количественно. Как определить, есть ли корреляция между величинами? В большинстве случаев, это можно увидеть на обычном графике. Например, по каждому ребенку из нашей выборки можно определить величину Хi число страниц и Yi средний балл годовой оценки , и записать эти данные в виде таблицы. Построить оси Х и Y, а затем нанести на график весь ряд точек таким образом, чтобы каждая из них имела определенную пару координат Хi, Yi из нашей таблицы. Поскольку мы в данном случае затрудняемся определить, что можно считать причиной, а что следствием, не важно, какая ось будет вертикальной, а какая горизонтальной. Если график имеет вид а , то это говорит о наличии прямой корреляции, в случае, если он имеет вид б - корреляция обратная. Отсутствие корреляции тоже можно приблизительно определить по виду графика - это случай в. С помощью коэффициента корреляции можно посчитать насколько тесная связь существует между величинами. Пусть, существует корреляция между ценой и спросом на товар. Количество купленных единиц товара в зависимости от цены у разных продавцов показано в таблице:. Таблица - Количество купленных единиц товара в зависимости от цены у разных продавцов. Видно, что мы имеем дело с обратной корреляцией. Для количественной оценки тесноты связи используют коэффициент корреляции. Коэффициент r мы считаем в Excel, с помощью функции fx, далее статистические функции, функция КОРРЕЛ. По подсказке программы вводим мышью в два соответствующих поля два разных массива Х и Y. Надо отметить, что чем ближе к 0 коэффициент корреляции, тем слабее связь между величинами. В нашем случае, корреляция обратная, но тоже очень тесная, и коэффициент близок к Что можно сказать о случайных величинах, у которых коэффициент имеет промежуточное значение? В этом случае, статистика позволяет сказать, что две случайные величины частично связаны друг с другом. И еще одно важное обстоятельство надо упомянуть. Поскольку мы говорим о случайных величинах, всегда существует вероятность, что замеченная нами связь - случайное обстоятельство. Причем вероятность найти связь там, где ее нет, особенно велика тогда, когда точек в выборке мало, а при оценке Вы не построили график, а просто посчитали значение коэффициента корреляции на компьютере. Из школьного курса геометрии мы знаем, что через две точки можно всегда провести прямую линию. Для оценки статистической достоверности факта обнаруженной Вами связи полезно использовать так называемую корреляционную поправку:. В то время как задача корреляционного анализа - установить, являются ли данные случайные величины взаимосвязанными, цель регрессионного анализа - описать эту связь аналитической зависимостью, то есть с помощью уравнения. Мы рассмотрим самый несложный случай, когда связь между точками на графике может быть представлена прямой линией. Зная уравнение прямой, мы можем находить значение функции по значению аргумента в тех точках, где значение Х известно, а Y - нет. Эти оценки бывают очень нужны, но они должны использоваться осторожно, особенно, если связь между величинами не слишком тесная. Отметим также, что из сопоставления формул для b и r видно, что коэффициент не дает значение наклона прямой, а лишь показывает сам факт наличия связи. Термин "корреляция" означает "связь". В эконометрике этот термин обычно используется в сочетании "коэффициенты корреляции". Рассмотрим линейный и непараметрические парные коэффициенты корреляции. Обсудим способы измерения связи между двумя случайными переменными. Пусть исходными данными является набор случайных векторов:. Выборочным коэффициентом корреляции, более подробно, выборочным линейным парным коэффициентом корреляции К. Пирсона, как известно, называется число:. Число - выборочный линейный парный коэффициент корреляции. Значение выборочного коэффициента корреляции. Таким образом, близость коэффициента корреляции к 1 по абсолютной величине говорит о достаточно тесной линейной связи. Если случайные векторанезависимы и одинаково распределены, то выборочный коэффициент корреляции сходится к теоретическому при безграничном возрастании объема выборки сходимость по вероятности:. Безграничное возрастание объема выборки выборочного коэффициента корреляции. Более того, выборочный коэффициент корреляции является асимптотически нормальным. Асимптотически нормальный выборочный коэффициент корреляции. Переменные выборочного коэффициента корреляции. Асимптотическая дисперсия выборочного коэффициента корреляции. Теоретические центральные моменты порядка k и m. Коэффициенты корреляции типа rn используются во многих алгоритмах многомерного статистического анализа. В теоретических рассмотрениях часто считают, что случайные вектора имеют двумерное нормальное распределение. Распределения реальных данных, как правило, отличны от нормальных. Почему же распространено представление о двумерном нормальном распределении? Дело в том, что теория в этом случае проще. В частности, равенство 0 теоретического коэффициента корреляции эквивалентно независимости случайных величин. Поэтому проверка независимости сводится к проверке статистической гипотезы о равенстве 0 теоретического коэффициента корреляции. Эта гипотеза принимается, если. Если предположение о двумерной нормальности не выполнено, то из равенства 0 теоретического коэффициента корреляции не вытекает независимость случайных величин. Нетрудно построить пример случайного вектора, для которого коэффициент корреляции равен 0, но координаты зависимы. Кроме того, для проверки гипотез о коэффициенте корреляции нельзя пользоваться таблицами, рассчитанными в предположении нормальности. Можно построить правила принятия решений на основе асимптотической нормальности выборочного коэффициента корреляции. Но есть и другой путь - перейти к непараметрическим коэффициентам корреляции, одинаково пригодным при любом непрерывном распределении случайного вектора. Для расчета непараметрического коэффициента ранговой корреляции Спирмена необходимо сделать следующее. Он называется коэффициентом ранговой корреляции, поскольку определяется через ранги. В качестве примера рассмотрим данные из таблицы: Данные для расчета коэффициентов корреляции. Для данных таблицы коэффициент линейной корреляции равен 0,83, непосредственной линейной связи нет. А вот коэффициент ранговой корреляции равен 1, поскольку увеличение одной переменной однозначно соответствует увеличению другой переменной. Во многих экономических задачах, например, при выборе инвестиционных проектов , достаточно именно монотонной зависимости одной переменной от другой. Поскольку суммы рангов и их квадратов нетрудно подсчитать, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Отметим, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена остается постоянным при любом строго возрастающем преобразовании шкалы измерения результатов наблюдений. Другими словами, он является адекватным в порядковой шкале, как и другие ранговые статистики, например, статистики Вилкоксона, Смирнова, типа омега-квадрат для проверки однородности независимых выборок. Широко используется также коэффициент ранговой корреляции Кендалла, коэффициент ранговой конкордации Кендалла и Б. Наиболее подробное обсуждение этой тематики содержится в монографии, необходимые для практических расчетов таблицы имеются в справочнике. Дискуссия о выборе вида коэффициентов корреляции продолжается до настоящего времени. Определение статистической связи по коэффициенту корреляции. Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными. Он вычисляется следующим образом:. Статистическая зависимость между двумя числовыми переменными. Значения коэффициента корреляции всегда расположены в диапазоне от -1 до 1 и интерпретируются следующим образом:. Иными словами, отмечается высокая степень связи входной и выходной переменных. В данном случае, если значения входной переменной x будут возрастать, то и выходная переменная также будет увеличиваться;. Иными словами, поведение выходной переменной будет противоположным поведению входной. Если значение x будет возрастать, то y будет уменьшаться, и наоборот;. Иными словами, поведение входной переменной x не будет совсем или почти совсем влиять на поведение y. Коэффициент корреляции равен квадратному корню коэффициента детерминации, поэтому может применяться для оценки значимости регрессионных моделей. Однако, чем выше корреляция наблюдается между переменными, тем очевиднее связь между ними, например, взаимозависимость между ростом и весом людей, однако данное соотношение настолько очевидно, что не представляет интереса. Пусть X,Y - две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой:. Формула коэффициента корреляции двух случайных величин. Развернутая формула коэффициента корреляции двух случайных величин. Ковариация корреляционный момент, ковариационный момент в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин. Пусть X, Y - две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:. Ковариация величин X и Y. Замечания к определению ковариации. Тогда ковариацией между выборками Xn и Yn является:. Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют тенденцию возрастать, а если знак отрицательный - то убывать. Однако только по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как её масштаб зависит от их дисперсий. Масштаб можно отнормировать, поделив значение ковариации на произведение среднеквадратических отклонений квадратных корней из дисперсий. При этом получается так называемый коэффициент корреляции Пирсона, который всегда находится в интервале от -1 до 1. Случайные величины, имеющие нулевую ковариацию, называются некоррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, но не наоборот. Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух случайных величин. Если ковариация отлична от нуля, то случайные величины зависимы. Чтобы судить о наличии зависимости согласно любому из определений независимости, требуется знать совместное распределение пары случайных величин. Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать мат ожидание произведения случайных величин. Если нам повезёт, и мат. Пример ковариации случайных величин при недостаточных данных. Иначе говоря, при умножении этих величин на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число. Самая сильная зависимость - функциональная, а из функциональных - линейная зависимость, когда:. Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин построить величины:. Последовательность независимых случайных величин. Сильно ли зависимы число гербов в первых двадцати пяти подбрасываниях монеты и число гербов в испытаниях с двадцать пятого по девяностое? Итак, следующая величина есть всего лишь ковариация, нормированная нужным образом. Неравенство Коши - Буняковского. Доказательство теоремы Коши - Буняковского. Ковариационная матрица или матрица ковариаций в теории вероятностей - это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов. Ковариационная матрица случайного вектора - квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы - ковариациями между компонентами. Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а ее след - скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом или эллипсом в двумерном случае. Мат ожидание случайной величины. Вычислим мат ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 1 следует, что. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm. Равенство мат ожидания числа. В отличие от 4 , где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие. Иногда соотношение принимают как определение мат. Однако с помощью определения, как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения. Для доказательства соотношения сгруппируем в члены с одинаковыми значениями случайной величины:. Группировка членов с одинаковой величиной. Равенство, если вынести общий множитель за скобки. Тогда равенство показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения. Пусть Х - случайная величина, М Х - ее мат. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то. Если вынести постоянный множитель за скобки в утверждении 3. Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая - из вторых. Просчет равенства для двух случайных величин. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы - сама эта константа. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы и правая часть последнего равенства равна Значения, которые может принимать мат ожидание. Пусть случайная величина Х принимает значения х1, х2,…, хm, а f - некоторая функция числового аргумента. Для доказательства сгруппируем в правой части равенства, определяющего мат. Группировка в правой части членов с одинаковыми значениями. Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события, получаем:. Вынесение постоянного множителя за скобки. Пусть Х и У - случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b - некоторые числа. Цепочка равенст из утверждения 5. Выше показано, как зависит мат ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения, а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия , при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах , в нормативно-технической документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига. Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений. Пусть Х - случайная величина, а и b - некоторые числа,. Первое свойство дисперсии случайной величины. Доказательство первого свойства дисперсии. Вынесение постоянного множителя за знак суммы в доказательстве первого свойства дисперсии. Утверждение 8 показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения. Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба. Для доказательства воспользуемся тождеством:. Дисперсия сумм случайных величин равна сумме дисперсий. Из свойств дисперсии следуют равенства. Согласно утверждению 6 из независимости Х и У вытекает независимость Х-М Х и У-М У. Из утверждения 7 следует, что:. Из независимости переменных следует равенство. Из утверждения 3 правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение утверждения 9. Пусть X1, X2,…, Xk - попарно независимые случайные величины. Пусть Yk - их сумма, тогда мат. Мат ожидание и дисперсия суммы слагаемых равна сумме математических ожиданий и дисперсий. Соотношения, сформулированные в утверждении 10, являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин. Для любого набора числовых случайных величин не только независимых мат. Это утверждение является обобщением утверждения 5. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции. Вывод формулы для дисперсии. Мат ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. Как показано при доказательстве утверждения 9, из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что. Попарная независимость рассматриваемых случайных величин. Полученные в утверждениях фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как мат. Исходные условия примера по дисперсии. Воспользуемся формулой для мат. Случайная величина Х принимает два значения - 0 и 1, значение 1 с вероятностью Р А и значение 0 с вероятностью 1 - Р А , а потому:. Решение примера по дисперсии. Вынесение общего знаменателя в решении примера по дисперсии. Рассмотрим k независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может наступить, а может и не наступить. Введем случайные величины X1, X2,…, Xk следующим образом:. Введение случайных величин в условие примера. Следствие из условий примера 9. Целями исследования зависимости между признаками являются доказательство наличия связи между признаками и изучение этой связи. Для доказательства наличия связи между двумя случайными величинами Х и У применяют корреляционный анализ. Если совместное распределение Х и У является нормальным, то статистические выводы основывают на выборочном коэффициенте линейной корреляции, в остальных случаях используют коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена, а для качественных признаков - критерий хи-квадрат. Коэффициент корреляции р для генеральной совокупности, как правило, неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объема n пар значений Xi, Yi , полученную при совместномизмерении двух признаков Х и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции или просто коэффициентом корреляции. Его принято обозначать символом r. Коэффициенты корреляции - удобный показатель связи, получивший широкое применение в практике. К их основным свойствам необходимо отнести следующие:. Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, то есть такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи. Теорема свойства коэффициента корреляции. Доказательство теоремы о свойствах коэффициента корреляции. Продолжение доказательства теоремы о свойствах коэффициента корреляции. При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным - знаком и находится в пределах от 0 до Чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к 1. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции. Теорема стандартизированной случайной величины. Доказательство теоремы стандартизированной случайной величины. В практической деятельности, когда число коррелируемых пар признаков Х и Y невелико, то при оценке зависимости между показателями используется следующую градацию:. Пример по свойствам коэффициента корреляции. Решение примера по свойствам коэффициента корреляции. При изучении корреляционной связи важным направлением анализа является оценка степени тесноты связи. Понятие степени тесноты связи между двумя признаками возникает вследствие того, что в реальной действительности на изменение результативного признака влияют несколько факторов. При этом влияние одного из факторов может выражаться более заметно и четко, чем влияние других факторов. С изменением условий в качестве главного, решающего фактора может выступать другой. Понятие тесноты корреляционной связи. При статистическом изучении взаимосвязей, как правило, учитываются только основные факторы. А вопрос необходимо ли вообще изучать более подробно данную связь и практически ее использовать, решается с учетом степени тесноты связи. Зная количественную оценку тесноты корреляционной связи, таким образом, можно решить следующую группу вопросов: Измерение тесноты корреляционной связи. Показатели тесноты связи должны удовлетворять ряду основных требований: Корреляционная связь - отрицательная. Для характеристики степени тесноты корреляционной связи могут применяться различные статистические показатели: В данном вопросе рассмотрим коэффициент линейной корреляции r и корреляционное отношение. Более совершенным статистических показателем степени тесноты корреляционной связи является линейный коэффициент корреляции r , предложенный в конце XIX в. При расчете коэффициента корреляции сопоставляются абсолютные значения отклонений индивидуальных величин факториального признака х и результативного признака у от их средних. Однако непосредственно сопоставлять между собой эти полученные результаты нельзя, так как признаки, как правило, выражены в различных единицах и даже при наличии одинаковых единиц измерения будут иметь различные по величине средние и различные вариации. В этой связи сравнению подлежат отклонения, выраженные в относительных величинах, то есть в долях среднего квадратического отклонения их называют нормированными отклонениями. Отметим, что речь идет лишь об интерпретации свойств коэффициента корреляции, при этом аналитик далеко выходит за рамки математически точных утверждений. Принято считать, что чем cor x,y ближе по модулю к 1, тем ближе связь между анализируемыми переменными к линейной. Обычно задается вопрос, какие значения коэффициента корреляции указывают на сильную зависимость, а какие на слабую. Этот вопрос не имеет ответа. Строгая теория по этому поводу ничего не говорит. Тем не менее, во многих пособиях приводится ответ, но к огорчению новичков, в каждой книге ответ свой! Отчасти это связано с тем, что в разных дисциплинах сложились разные традиции интерпретации коэффициента. Интерпретация значений коэффициента корреляции. Имейте в виду, что значения, приведенные в таблице, могут служить лишь неточными ориентирами. Заметьте, что в таблице рассматривается модуль коэффициента корреляции. Взаимосвязь должна интерпретироваться в оба направления. Формально, корреляция не обозначает причинно-следственной связи! Это ВЗАИМОсвязь, ВЗАИМОсовпадение, явлений. Логично подумать, что депрессивный человек более застенчив, чем не депрессивный, но почему не наоборот? С чего начинать рассуждение? Мы интерпретируем корреляцию в оба направления и не констатируем причинно-следственную связь. Причем сильная корреляция обозначает неслучайное совпадение. Коэффициент корреляции показывает степень взаимосвязи случайных величин. Есть случаи, когда корреляция может говорить о причинно следственной связи. Это случаи, когда одна из переменых общективна, а вторая субъективна. К объективным переменным относятся возраст, стаж, рост, которые просто не могут зависеть от субъективных переменных: Однако, такие объективные переменные, как вес, количество детей в семье, частота смены места работы, количество контактов и т. К примеру, профессионализм рабочего повышается со стажем. Стаж и профессионализм коррелируют и мы можем быть уверены, что для повышения профессионализма стаж является объективной причиной. Объективные переменные, основанные на времени всегда являются причиной при наличии корреляции с субъективными характеристиками. В остальных случаях нужно очень осторожно относиться к причинно-следственным интерпретациям коэффициента корреляции. Если причинно-следственная связь обоснована в теоретической части работы и подтверждается многими авторами, то корреляцию так же можно интерпретировать как причинно-следственную связь. Два явления непосредственно совпадают, поэтому взаимосвязаны. Интеллект и успеваемость в школе, общительность и застенчивость - яркие примеры прямой взаимосвязи;. К примеру, стиль общения ребенка взаимосвязан со стилем воспитания в семье за счет третьей переменной - установок личности. Очевидно, что воспитание в семье формирует установки ребенка, в свою очередь установки влияют на поведение;. Иллюзия закономерности - пример случайной связи. Корреляция может быть случайной! Очень многие процессы происходят одновременно и совпадают. Здесь уместно сказать, что если много-много коррелировать - что нибудь обязательно скоррелируется. Выборочный коэффициент корреляции Пирсона является оценкой генерального коэффициента корреляции. В данном случае решается следующий вопрос. Может ли выборочный коэффициент корреляции случайно отличаться от нуля, а в действительности случайные переменные Х и Y - некоррелированы? Существует таблица случайных отклонений от нуля произведения. Начальные условия таблицы случайных отклонений. Таблица - Границы случайных отклонений значений. Значимость коэффициента корреляции можно проверить, решив следующую задачу проверки гипотез. Статистика Т подчиняется t-распределению Стьюдента с n-2 числом степеней свободы. По таблице t-распределения определяется:. По таблице t-распределения определяется. Если Т, полученное по выборке, удовлетворяет условию, то отвергается и коэффициент корреляции считается значимым. Корреляционная связь между переменными. Значение критического по абсолютной величине. Пример графиков корреляции случайных величин. Линейность корреляции означает, что все точки, изображенные на диаграмме разброса, лежат на прямой. На панели А изображена обратная линейная зависимость между переменными X и Y. На панели Б показана ситуация, в которой между переменными X и Y нет корреляции. На панели В изображена линейная прямая зависимость между переменными X и Y. Три вида зависимости между двумя переменными. При анализе выборок, содержащих двумерные данные, вычисляется выборочный коэффициент корреляции, который обозначается буквой r. На рисунке приведены шесть диаграмм разброса и соответствующие коэффициенты корреляции r между значениями переменных X и Y. Шесть диаграмм разброса и соответствующие коэффициенты корреляции, полученные с помощью программы Excel. На панели А показана ситуация, в которой выборочный коэффициент корреляции r равен -0,9. Прослеживается четко выраженная тенденция: Однако данные не лежат на одной прямой, поэтому зависимость между ними нельзя назвать линейной. На панели Б приведены данные, выборочный коэффициент корреляции между которыми равен -0,6. Небольшим значениям переменной X соответствуют большие значения переменной Y. Обратите внимание на то, что зависимость между переменными X и Y нельзя назвать линейной, как на панели А, и корреляция между ними уже не так велика. Коэффициент корреляции между переменными X и Y, изображенными на панели В, равен -0,3. Прослеживается слабая тенденция, согласно которой большим значениям переменной X, в основном, соответствуют малые значения переменной Y. Панели Г-Е иллюстрируют положительную корреляцию между данными - малым значениям переменной X соответствуют большие значения переменной Y. Положительная корреляция выборки данных. Обсуждая рисунке, мы употребляли термин тенденция, поскольку между переменными X и Y нет причинно-следственных связей. Наличие корреляции не означает наличия причинно-следственных связей между переменными X и Y, то есть изменение значения одной из переменных не обязательно приводит к изменению значения другой. Сильная корреляция может быть случайной и объясняться третьей переменной, оставшейся за рамками анализа. В таких ситуациях необходимо проводить дополнительное исследование. Таким образом, можно утверждать, что причинно-следственные связи порождают корреляцию, но корреляция не означает наличия причинно-следственных связей. Сильная корреляция может быть случайной. Коэффициенты корреляции и регрессии, характеризующие зависимость между признаками групп животных, являются статистическими величинами, поэтому обладают свойством репрезентативности. Достоверность их величин устанавливают при помощи ошибок репрезентативности, вытекающих из самой сущности выборочного обследования, при котором целое характеризуется на основании изучения части. Ошибка коэффициента корреляции при многочисленной выборке. Ошибка коэффициента корреляции при малочисленной выборке. Ошибка для коэффициентов регрессии. Используя величины статистических ошибок, определяют достоверность выборочных коэффициентов корреляции и регрессии:. Критерий достоверности коэффициентов корреляций. Критерий достоверности коэффициентов регрессии. Величины корреляции и регрессии считаются достоверными, если они превышают свои ошибки в определенное количество раз, зависящие от размера выборки. Критерии достоверности сравнивают со стандартами значений по таблице Стьюдента для установленного числа степеней свободы и порога вероятности безошибочных прогнозов. Показатели связи имеют реальный смысл, если они оказываются статистическими достоверными. Практическое же значение они приобретают лишь тогда, когда имеют достаточную величину. Однако практическое значение этого показателя весьма невелико: Поэтому строить практические расчеты на основании коэффициента корреляции, значение которого не превышает 0,5, по меньшей мере, ненадежно. Однако практическая значимость показателей связи зависит от цели исследования, то есть от того, с какой степенью точности допустимы их вычисления и какова может быть их величина в заданных условиях. В ходе биологических исследований биометрические величины показывают, какая доля общей вариации зависит от взаимного влияния биологических признаков и какая - от случайных причин. Понятие доли общей вариации - дисперсии. Соотношение между двумя переменными нелинейное, например квадратичное. Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: Различают два класса нелинейных регрессий: Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции: Формулы полинома n-ой степени и равносторонней гиперболы. К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции: Степенная, показательная и экспоненциальная функции. Параметры нелинейной регрессии по включенным переменным оцениваются, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, поскольку эти функции линейны по параметрам. Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях - полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное или минимальное значение результативного признака: Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями. Пример параболы второго порядка. Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу. Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях широко используется степенная функция. Равносторонняя гипербола и степенная функция. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду. Соответственно оценки параметров a и b могут быть найдены с помощью МНК. В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей. В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель, поскольку логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели:. Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Данные включают более одного наблюдения по каждому случаю. Количественная характеристика социально-экономических процессов в непосредственной связи с их качественной сущностью невозможна без глубокого статистического исследования. Использование различных способов и приемов статистической методологии предполагает наличие исчерпывающей и достоверной информации об изучаемом объекте, что включает этапы сбора статистической информации и ее первичной обработки, сведения и группировки результатов наблюдения в определенные совокупности, обобщения и анализа полученных материалов. Расчет коэффициента корреляции не проводиться при более, чем одном наблюдении на каждое событие. Если при сборе статистических данных допущена ошибка или материал оказался недоброкачественным, это повлияет на правильность и достоверность как теоретических, так и практических выводов. Поэтому статистическое наблюдение от начальной до завершающей стадии должно быть тщательно продуманным и четко организованным. Классификация видов статиситческого наблюдения. Однако не всякий сбор сведений является статистическим наблюдением. О статистическом наблюдении можно говорить лишь тогда, когда, во-первых, обеспечивается регистрация устанавливаемых фактов в специальных учетных документах и, во-вторых, изучаются статистические закономерности, то есть такие, которые проявляются только в массовом процессе, в большом числе единиц какой-то совокупности. Поэтому статистическое наблюдение должно быть планомерным, массовым и систематическим. К статистическому наблюдению предъявляются следующие требования: Любое статистическое исследование необходимо начинать с точной формулировки его цели и конкретных задач, а тем самым и тех сведений, которые могут быть получены в процессе наблюдения. После этого определяются объект и единица наблюдения, разрабатывается программа, выбираются вид и способ наблюдения. Формы, виды и способы статистического наблюдения. С точки зрения полноты охвата фактов статистическое наблюдение может быть сплошным и несплошным. Сплошное наблюдение представляет собой полный учет всех единиц изучаемой совокупности. Несплошное наблюдение организуют как учет части единиц совокупности, на основе которой можно получить обобщающую характеристику всей совокупности. К видам несплошного наблюдения относятся: При непосредственном учете фактов сведения получают путем личного учета единиц совокупности: Документальный способ сбора статистической информации базируется на систематических записях в первичных документах, подтверждающих тот или иной факт. В ряде случаев для заполнения статистических формуляров прибегают к опросу населения, который может быть произведен экспедиционным, анкетным или корреспондентским способом. Существуют различные способы формирования выборочной совокупности. Это, во-первых, индивидуальный отбор, включающий такие разновидности, как собственно случайный, механический, стратифицированный, и, во-вторых, серийный, или гнездовой, отбор. Есть аномальные значения выбросы. Любая изучаемая совокупность может содержать единицы наблюдения, значения признаков которых резко выделяются из основной массы значений. Такие нетипичные значения признаков выбросы могут быть обусловлены воздействием каких-либо сугубо случайных обстоятельств, возникать в результате ошибок наблюдения или же быть объективно присущими наблюдаемому явлению. В любом случае они являются аномальными для совокупности, так как нарушают статистическую закономерность изучаемого явления. Следовательно, статистическое изучение совокупности без предварительного выявления и анализа возможных аномальных наблюдений может не только исказить значения обобщающих показателей средней, дисперсии, среднего квадратического отклонения и др. Для выявления и исключения аномальных единиц наблюдения построена диаграмма рассеяния изучаемых признаков. Диаграмма рассеяния изучаемых признаков. Данные содержат ярко выраженные подгруппы наблюдений. Собранный в процессе статистического наблюдения материал нуждается в определенной обработке, сведении разрозненных данных воедино. Научно организованная обработка материалов наблюдения по заранее разработанной программе , включающая в себя кроме обязательного контроля собранных данных систематизацию, группировку материалов, составление таблиц, получение итогов и производных показателей средних, относительных величин , называется в статистике сводкой. Сводка представляет собой второй этап статистического исследования. Целью сводки является получение на основе сведенных материалов обобщающих статистических показателей, отражающих сущность социально-экономических явлений и определенные статистические закономерности. Данные могут содержать ярко выраженные подгруппы наблюдений. Статистическая сводка осуществляется по программе, которая должна разрабатываться еще до сбора статистических данных, практически одновременно с составлением плана и программы статистического наблюдения. Программа сводки включает определение групп и подгрупп; системы показателей; видов таблиц. Группировка - это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. С точки зрения отдельных единиц совокупности группировка - это объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам. Устойчивое разграничение объектов выражается классификацией, которая основывается на самых существенных признаках например, классификация отраслей народного хозяйства, классификация основных фондов и т. Метод группировки основывается на следующих категориях - это группировочный признак, интервал группировки и число групп. Интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, он представляет собой промежуток между максимальными и минимальными значениями признака в группе. При проведении группировки приходится решать ряд задач: Статистические группировки и классификации преследуют цели выделения качественно однородных совокупностей, изучения структуры совокупности, исследования существующих зависимостей. Каждой из этих целей соответствует особый вид группировки: Типологическая группировка решает задачу выявления и характеристики социально-экономических типов частных подсовокупностей. Структурная дает возможность описать составные части совокупности или строение типов, а также проанализировать структурные сдвиги. Аналитическая факторная группировка позволяет оценивать связи между взаимодействующими признаками. В зависимости от числа положенных в их основание признаков различают простые и многомерные группировки. Группировка, выполненная по одному признаку, называется простой. Многомерная группировка производится по двум и более признакам. Частным случаем многомерной группировки является комбинационная группировка, базирующаяся на двух и более признаках, взятых во взаимосвязи, в комбинации. Структурная группировка применяется для характеристики структуры совокупности и структуры сдвигов. Структурный называется группировка, в которой происходит разделение выделенных с помощью технологической группировки типов явлений, однородных совокупностей на группы, характеризующие их структуру по какого либо варьирующему признаку. Например, группировка населения по размеру среднедушевого дохода. Анализ структурных группировок взятых за ряд периодов или моментов времени, показывает изменения структуры изучаемых явлений, то есть структурные сдвиги. В изменении структуры общественных явлений отражаются важнейшие закономерности их развития. Способы первичного наблюдения объектов учета. Показатель численности групп представлен либо частотой количеством единиц в каждой группе , либо частотностью удельным весом каждой группы. Среди простых группировок особо выделяют ряды распределения. Ряд распределения - это группировка, в которой для характеристики групп упорядоченно расположенных по значению признака применяется один показатель - численность группы. Другими словами, это ряд чисел, показывающий, как распределяются единицы некоторой совокупности по изучаемому признаку. Ряды, построенные по атрибутивному признаку, называются атрибутивными рядами распределения. Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными рядами. Пример графического представления ряда распределения показателей. Примером атрибутивных рядов могут служить распределения населения по полу, занятости , национальности, профессии и т. Примером вариационного ряда распределения могут служит распределения населения по возрасту, рабочих - по стажу работы, заработной плате и т. Вариационные ряды распределения состоят их двух элементов вариантов и частот. Вариантами называются числовые значения колличественного признака в ряду распределения, они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Частоты - это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности. Вариационные ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на дискретные и интервальные. Понятие частоты в статистике. До сих пор статистические методы касались одной случайной переменной и ее распределения. Однако многие проблемы в статистике касаются нескольких переменных. Во многих проблемах несколько переменных изучаются с целью установления их взаимосвязи или определения корреляции между ними. Две случайные величины - Х и Y - находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению любой из них соответствует определенное распределение другой величины. Чтобы определить корреляцию между двумя случайными величинами Х и Y , необходимо иметь две случайные выборки, одна из которых соответствует Х, другая - Y. Взаимосвязь между этими случайными величинами можно проанализировать с использованием диаграммы рассеивания. С помощью этой диаграммы можно установить, есть ли связь между переменными и какого она вида. Для представленных данных диаграмма рассеивания имеет вид:. Анализ этой диаграммы показывает, что при увеличении цен продажа имеет тенденцию к снижению. Более того, можно грубо оценить, что этот спад идет по прямой. Взаимосвязь между переменными Х и Y можно представить следующими диаграммами:. Взаимосвязь между переменными Х и Y. Взаимосвязь между Х и Y, представленная на этих рисунках, классифицируется как: Для оценки линейной взаимосвязи между двумя случайными переменными Х и Y используется выборочный коэффициент корреляции Пирсона:. Оценка линейной взаимосвязи между двумя переменными - коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициент корреляции Пирсона предполагает, что случайные переменные Х и Y являются непрерывного типа. Кроме того, предполагается, что они распределены по нормальному закону. Это ограничивает применение коэффициента корреляции. Существует непараметрический аналог коэффициента корреляции Пирсона - ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена. То есть в данном случае проблема оценки тесноты связи решается с использованием ранжирования или упорядочивания объектов по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Объекту с наименьшим значением признака присваивается ранг 1, следующему за ним - ранг 2 и т. При ранжировании иногда сталкиваются со случаями, когда величина проявления рассматриваемого признака одна и та же для нескольких объектов. В таких случаях объекты называются связанными. Связанным объектам приписываются одинаковые средние ранги. При наличии связанных рангов ранговый коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле:. При наличии связанных рангов ранговый коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле. Десять однородных предприятий были проранжированы по двум признакам - x1 и x2. В итоге имеем следующие выборки:. Условия примера для определения ранговой корреляции. Определить коэффициент корреляции рангов. В первой ранжировке имеем четыре группы неразличимых рангов. Во второй ранжировке имеем две таких группы:. Первая и вторая ранжировка. Коэффициент корреляции рангов может использоваться для изучения связи между ординальными порядковыми переменными, которые еще называются качественными. В отличие от количественных переменных, для которых можно определить, на сколько или во сколько раз проявления одного признака у одного объекта больше меньше , чем у другого, для качественных признаков этого определить нельзя. По некоторой дисциплине два студента имеют соответственно оценки "отлично" и "удовлетворительно". В этом случае можно утверждать, что уровень подготовки у первого студента выше, чем у другого, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз. Линейный корреляционный анализ позволяет установить прямые связи между переменными величинами по их абсолютным значениям. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициентом линейной корреляции Пирсона. В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова:. Формула для подсчета коэффициента корреляции в общем виде. Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные X и Y распределены нормально. Даная формула предполагает, что из каждого значения xi переменной X, должно вычитаться ее среднее значение x. Это не удобно, поэтому для расчета коэффициента корреляции используют не данную формулу, а ее аналог, получаемый с помощью преобразований:. Расчет коэффициента корреляции Пирсона. Используя данную формулу, решим следующую задачу: Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Переменная X - обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y - среднее время решения вербальных заданий тестов. Для решения данной задачи представим исходные данные в виде таблицы, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета по формуле В таблице 12 даны индивидуальные значения переменных X и Y, построчные произведения переменных X и Y, квадраты переменных всех индивидуальных значений переменных X и Y, а также суммы всех вышеперечисленных величин. Исходные данные для примера по коэффициенту Пирсона. Эмпирическая величина коэффициента корреляции. Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции. Величины критических значений коэффициентов линейной корреляции Пирсона даны по абсолютной величине. Следовательно, при получении как положительного, так и отрицательного коэффициента корреляции по формуле оценка уровня значимости этого коэффициента проводится по той же таблице приложения без учета знака, а знак добавляется для дальнейшей интерпретации характера связи между переменными X и Y. При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента корреляции Пирсона число степеней свободы рассчитывается как:. Число расчета степеней свободы. Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в зону значимости - Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных и наоборот. Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие условия: Пример решения задачи при помощи коэффициента Пирсона. На основании наблюдений за развивающимся сайтом и изменением его средневзвешенной позиции по основным запросам в поисковой системе необходимо проверить, можно ли говорить о линейной зависимости между позицией сайта и числом посетителей. X число посетителей в сутки , Y усредненная позиция сайта в поисковой системе. В таблице представлены значения признаков X и Y:. Значение признаков Х и У в задаче по коэффициенту Пирсона. Среднее значение Х и У. Все необходимые для расчета коэффициента корреляции промежуточные данные и их суммы представлены в таблице:. Расчет коэффициента корреляции Пирсона в примере. Оценим полученное нами эмпирическое значение коэффициента Пирсона, сравнив его с соответствующим критическим значением для заданного уровня значимости из таблицы критических значений коэффициента корреляции Пирсона. Так как абсолютное значение, полученного нами коэффициента корреляции меньше критического значения, взятого из таблицы находится вне зоны значимости , мы принимаем гипотезу Н0 об отсутcтвии корреляционной зависимости между выборками. Полученный результат свидетельствует об отсутствии линейной зависимости между числом посетителей сайта и его позицией в поисковой системе, однако это не означает, что эти параметры не связаны между собой. Наиболее часто используемый коэффициент корреляции Пирсона r называется также линейной корреляцией. До сих пор мы подробно рассматривали два вида коэффициентов корреляции: Существуют и другие типы коэффициентов для различных сочетаний шкал. Для коррелирования переменных, измеренных в дихотомической и интервальной шкале используют точечно-бисериальный коэффициент корреляции. Формула расчета коэффициента точечно-бисериальной корреляции:. Формула расчета коэффициента точечно-бисериальной корреляции. Переменные коэффициента точечно-бисериальной корреляции. Чаще всего данный вид коэффициента корреляции применяется для расчета связи пунктов теста с суммарной шкалой. Это один из видов проверки валидности. Если обе переменные представляют собой дихотомическую шкалу то следует использовать коэффициент четырехклеточной сопряженности Пирсона. Классификация объектов по дихотомической шкале приведет к построению четырехклеточной таблицы. На основе такой классификации построим таблицу:. Пример построения четырехклеточной таблицы. В клетки a,b,c,d таблицы следует вписать количество объектов, обладающих соответствующими признаками. Формула расчета коэффициента четырехклеточной сопряженности Пирсона:. Формула расчета коэффициента четырехклеточной сопряженности Пирсона. Коэффициент четырехклеточной сопряженности часто применяется для коррелирования ответов на вопросы теста, закодированные в дихотомической шкале. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена Spearman rank correlation coefficient - мера линейной связи между случайными величинами. Для оценки силы связи между величиными используются не численные значения, а соответствующие им ранги. Этот коэффициент определяет степень тесноты и направленность связи признаков. Абсолютное значение характеризует тесноту связи, а знак - направленность связи между двумя признаками. При экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелирующие с оценками других. Коэффициент корреляции рангов применяется для оценки устойчивости тенденции динамики. Вычисление коэффициента корреляции Спирмена. Недоучет размеров отклонений признаков от их средних величин занижает меру тесноты связи. Поэтому для количественных признаков корреляция рангов обладает меньшей информативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений этих признаков. Вычисление коэффициент корреляции Спирмена при наличии связок. Значение 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, значение - 1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи. Для оценки данных необходима выборка от 5 до 40 наблюдений по каждой переменной. При большом количестве одинаковых рангов по сопоставляемым переменным коэффициент дает приближенные значения. При совпадении значений вносится поправка на одинаковые ранги. В этом случае формула имеет вид:. Свойство ограниченности коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Чтобы получить адекватный результат, необязательно наличие нормального закона распределения коррелируемых рядов. Коэффициент корреляции рангов используется для оценки качества связи между двумя совокупностями. Кроме этого, его статистическая значимость применяется при анализе данных на гетероскедастичность. При ранжировании возможно появление одинаковых рангов в каждом ряду. Одинаковые ранги называются связками. Возможно присутствие нескольких связок в одном ряду рангов. Повторяющиеся ранги для X и Y отсутствуют: Повторяющиеся ранги для X и Y есть. В этом случае вводится поправка на связки в ранговых рядах. Поправка рассчитывается для каждого ряда отдельно. Поправка для каждого ряда рассчитывается с учетом всех связок в этом ряду: Критическая область критерия Спирмена. Пример решения задачи с использованием коэффициента Спирмана: На основании наблюдений за развивающимся сайтом и изменением его средневзвешенной позиции по основны м запросам в поисковой системе необходимо проверить, можно ли говорить о линейная зависимость между позицией сайта и числом посетителей. Значение признаков Х и У для примера решения задачи коэффициента Спирмена. Проранжируем каждый из элементов признаков X и Y в порядке возрастания значений самому маленькому элемнту присвоим ранг 1 и т. Результаты ранжирования представлены в таблице:. Кроме рангов, для каждого элемента из наборов признаков X и Y в таблице расчитаны Di - разность рангов и D2 - квадрат разности рангов пары соответствующих элементов X и Y. Для расчета коэффициена ранговой корреляции Спирмена используется формула:. Формула для расчета коэффициента Спирмена. Найдем сумму квадратов разностей рангов, сложив для этого элементы столбца. Подставим полученные значения в формулу, и найдем значение коэффициента Спирмена. Оценка коэффициента корреляции Спирмена. Оценим полученное нами эмпирическое значение коэффициента Спирмена, сравнив его с соответствующим критическим значением для заданного уровня значимости из таблицы критических значений коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Так как абсолютное значение, полученного нами коэффициента корреляции больше критического значения, взятого из таблицы, мы отклоняем гипотезу H0 об отсуттвии корреляционной зависимости между выборками и принимаем альтернативную гипотезу о статистической значимости отличия коэффициента корреляции от нуля, и наличии связи. Оценка коэффициента корреляции Спирмена на основании t-критерия. Произведем оценку значимости полученного нами коэффициента ранговой корреляции Спирмена, используя таблицу "Стьюдента". Так как коэффициент ранговой корреляции больше t-критерия мы отклоняем гипотезу H0 об отсуттвии корреляционной зависимости между выборками и принимаем альтернативную гипотезу о статистической значимости отличия коэффициента корреляции от нуля, и наличии отрицательной связи между числом посетителей сайта и его позицией в поисковой системе. Заметим, что для тех же исходных данных при подсчете коэффициента корреляции Пирсона в результате было получено заключение об отсутствии связи. Такой результат можно обьяснить тем, что коэффициент корреляции Пирсона подтверждает илиопровергает наличие линейной зависимости. Коэффициент рангов Спирмена подтверждает присутствие монотонно-возрастающей или убывающей зависимости не обязательно линейной. В нашем случае зависимость нелинейная, но монотонно-убывающая. Значимость коэффициента ранговой корреляции. Коэффициент корреляции Кенделла Kendall tau rank correlation coefficient - мера линейной связи между случайными величинами. Корреляция Кенделла является ранговой, то есть для оценки силы связи используются не численные значения, а соответствующие им ранги. Коэффициент инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критическая область критерия Кендалла. Таким образом, коэффициент Кенделла можно считать мерой неупорядоченности второй последовательности относительно первой. Статистическая проверка наличия корреляции. Выборки x и y не коррелируют. Рассмотрим центрированную и нормированную статистику Кенделла:. Центрированная и нормированная статистика Кенделла. Условия отвержения нулевой гипотезы. Ниже приведены примеры вычисления корреляций Кенделла и Спирмена. Значения коэффициентов указаны над каждым изображением. Заметно, что в большинстве случаев коэффициент Спирмена больше коэффициента Кенделла. Объяснение этого эффекта приводится ниже. Корреляции Кенделла и Спирмена. Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления и зашумлённость линейной зависимости между переменными. Коэффициенты корреляции реагируют на изменение направления, но не реагируют на изменение наклона тренда. На первом, четвёртом и седьмом рисунках дисперсия одной из переменных близка к нулю, поэтому не удаётся зафиксировать факт линейной зависимости. Корреляции Кенделла и Спирмена не отражают меры нелинейной зависимости между переменными. Линейная и нелинейная зависимости. На каждой из приведённых ниже иллюстраций осуществляется переход от линейной зависимости к нелинейной. Коэффициенты корреляции Кенделла и Спирмена реагируют на это одинаковым образом. Синусоида с переменной амплитудой. По мере смены линейной зависимости нелинейной значения коэффициентов корреляции падают. В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона по формуле:. Оценка коэффициента корреляции Пирсона. Выборкам x и y соответствуют последовательности рангов. Коэффициент корреляции Кенделла и коэффициент корреляции Спирмена выражаются через ранги следующим образом:. Выражение через ранги коэффициента корреляции Спирмена и Кенделла. Заметно, что в случае с коэффициентом Спирмана инверсиям придаются дополнительные веса, таким образом коэффициент Спирмана сильнее реагирует на несогласие ранжировок, чем коэффициент Кенделла. Этот эффект проявляется в приведённых выше примерах: Если выборки x и y не коррелируют выполняется гипотеза Н0 , то величины Кенделла и Спирмена сильно закоррелированы. Коэффициент корреляции между ними можно вычислить по формуле:. Коэффициент корреляции между коэффициентами Кенделла и Спирмена. Коэффициент Фехнера - это оценка степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от средних значений факторного и результативного признаков. Коэффициент Фехнера наряду с такми коэффициентами, как коэффициент Спирмэна и коэффициент Кэндэла, относится к коэффициентам корреляции знаков. Фехнер предложил очень простой способ оценки степени связи между составляющими двумерной выборки без использования уравнения регрессии. Для определения индекса Фехнера вычисляют средние Х и У, а затем для каждой пары определяют знаки отклонений. Для каждой пары возможны четыре сочетания знаков: Пример расчета коэффициента Фехнера. Графическое представление коэффициента Фехнера. До сих пор рассматривались модели простой корреляции, то есть корреляционной зависимости между двумя признаками Однако в практике экономического анализа часто приходится изучать явления, которые складываются под влиянием не одного, а многих различных факторов, каждый из которых в отдельности может не производить решающего влияния Совокупный же влияние факторов иногда оказывается достаточно сильным, чтобы по их изменениях можно было делать виснет овкы о величинах показателя изучаемого явления Методы измерения корреляционной связи одновременно между двумя, тремя и более корреляционными признакам создают учение о множественной корреляции. Графическое представление коэффициента конкордации рангов. В моделях множественной корреляции зависимая переменная рассматривается как функция нескольких в общем случае п независимых переменных. Множественное корреляционное уравнение устанавливает связь между исследуемыми признаками и позволяет вычислить ожидаемые значения результативного признака под влиянием включенных в анализ признаков-факторов, связанных да аниме уравнением. Для оценки степени тесноты связи между результативным и факторными признаками вычисляют коэффициент множественной корреляции Величина его всегда положительное число, которое находится в пределах от 0 до 1. В множественных корреляционно-регрессионных моделях коэффициент простой корреляции между результативным признаком и факторными, а также между самими факторными признаками. В множественных корреляционно-регрессионных моделях коэффициент простой корреляции. Методы корреляции произведения моментов Пирсона и линейного регрессионного анализа Гальтона были обобщены и расширены в г. Джорджем Эдни Юлом до модели множественной линейной регрессии, предполагающей использование многомерного нормального распределения. Методы множественной корреляции позволяют оценить связь между множеством непрерывных независимых переменных и одной зависимой непрерывной переменной. Коэффициент множественной корреляции обозначается через R0. Его вычисление требует решения совместной системы линейных уравнений. Число линейных уравнений равно числу независимых переменных. Френсис Гальтон - выдающийся английский ученый. Частный парциальный коэффициент корреляции выражает связь между двумя переменными при исключенном элиминированном влиянии еще одной или несколко других переменных. В простейшем случае частный коэффициент корреляции вычисляется как функция парных корреляций произведений моментов между Y, X1 и Х2. При небходимости можно воспользоваться услугами группы из m-экспертов, установить результирующиеранги целей, но тогда возникнет вопрос о согласованности мнений этих экспертов или конкордации. Пусть у нас имеются ранжировки 4 экспертов по отношению к 6 факторам, которые определяют эффективность некоторой системы. Ранжировки экспертов по отношению к факторам. Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор. Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определится выражением. Среднее значение суммы рангов. Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать квадраты значений. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент конкордации, определяемый как:. В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0,, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с вероятностью не более 0. Дело в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность просчитывается достаточно просто. В заключение вопроса об особенностях метода экспертных оценок в системном анализе отметим еще два обстоятельства. В первом примере мы получили результирующие ранги 10 целей функционирования некоторой системы. Как воспользоваться этой результируюзей ранжировкой? Как перейти от ранговой шкалы целей к шкале весовых коэффициентов - в диапазоне от 0 до 1? Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3 имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. Вес цели придется определять как:. При использовании групповой экспертной оценки можно не только выяснять мнение экспертов о показателях , необходимых для системного анализа. Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод Дельфы от легенды о дельфийском оракуле. Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило - анонимно. После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и ее обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед очередным этапом без указания авторов обоснований. Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений экспертов. Определение рангового коэффициента конкордации. Для проверки гипотезы о равенстве двух корреляций H0 величины сравниваемых корреляций r1 и r2 подвергаются преобразованию Фишера:. Определенные таким образом z1 и z2 можно считать нормально распределенными с параметрами распределений:. В том случае, если верна нулевая гипотеза, то есть значения корреляций не различаются, величина z1 - z2 оказывается нормально распределенной со средним равным 0 и дисперсией:. Таким образом, для z1 и z2 уровень значимости равен:. Сравнение двух коэффициентов корреляции необходимо, когда нужно узнать, какой из них достоверно выше или ниже, иными словами, насколько достоверно различие между ними. Для сравнения коэффициентов корреляции применяем следующий алгоритм и сразу же разберем его на примере. Преобразование коэффициентов с помощью z-преобразования Фишера. Проверяем значимость полученного значения. Вычисляем количество степеней свободы df , далее пользуемся таблицей критических значений t-критерия Стьюдента или используем Excel:. Проверка значимости полученного значения. Чтобы сравнить два коэффициента корреляции с Excel нужно использовать формулу:. Сравнение двух коэффициентов корреляции в Excel. Естественно, вместо R1, R2, N1, N2, df подставляем или адреса ячеек или конкретные числа. Таким образом можно сравнивать целые матрицы корреляций, что очень удобно и позволяет значительно повысить точность выводов. Для сравнения матриц необходимо указывать адреса ячеек коэффициентов корреляций из этих матриц, а количество пар постоянно для обеих коэффициентов и может быть введено как постоянное число в формулу. Приведем пример с матрицами:. Пример сравнения коэффициентов корреляции с матрицами. Одна из наиболее распространенных задач статистического исследования состоит в изучении связи между выборками. Обычно связь между выборками носит не функциональный, а вероятностный или стохастический характер. В этом случае нет строгой, однозначной зависимости между величинами. Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя случайными величинами X и Y. В качестве меры тесноты такой связи используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции оценивается по выборке объема п связанных пар наблюдений x, y из совместной генеральной совокупности X и Y. Пакет офисной программы Excel. Коэффициент корреляции - параметр, который характеризует степень линейной взаимосвязи между двумя выборками. Приближенно принимают следующую классификацию корреляционных связей: Для более точного ответа на вопрос о наличии линейной корреляционной связи необходима проверка соответствующей статистической гипотезы. В MS Excel для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции используется специальная функция КОРРЕЛ массив1; массив2 , где массив1 - ссылка на диапазон ячеек первой выборки X ; массив2 - ссылка на диапазон ячеек второй выборки Y. Результаты вычисления коэффициента корреляции. Переменная X - среднее время решения конструкторских заданий, а переменная Y- среднее время решения логических заданий тестов. Для выявления степени взаимосвязи, прежде всего, не-обходимо ввести данные в таблицу MS Excel. Затем вычисляется значение коэффициента корреляции. Для этого курсор установите в ячейку C1. На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции fx. В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию КОРРЕЛ, после чего нажмите кнопку ОК. Указателем мыши введите диапазон данных выборки Х в поле массив1 А1: В поле массив2 введите диапазон данных выборки Y В1: В ячейке С1 появится значение коэффициента корреляции - 0, После этого нужно вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле:. Далее необходимо по статистическим таблицам определить критические значения по Приложению 6 критические точки распределения Стьюдента - двусторонние. При нахождении критических значений число степеней свободы. Поскольку наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия нулевой гипотезы, она принимается. Иными словами линейной корреляционной связи между временем решения конструкторских и логических заданий теста нет. При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять для нескольких выборок, для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами. Корреляционная матрица - это квадратная таблица, в которой на пересечении соответствующих строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы. В MS Excel для вычисления корреляционных матриц используется процедура Корреляция из пакета Анализ данных. Процедура позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами. Для реализации процедуры необходимо:. Входной интервал должен содержать не менее двух столбцов;. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. Представление корреляционной матрицы в excel. В выходной диапазон будет выведена корреляционная матрица, в которой на пересечении каждых строки истолбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат значение 1, так как каждый столбец во входном диапазоне полностью коррелирует сам с собой. Рассматривается отдельно каждый коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Отметим, что хотя в результате будет получена треугольная матрица, корреляционная матрица симметрична. Подразумевается, что в пустых клетках в правой верхней половине таблицы находятся те же коэффициенты корреляции, что и в нижней левой симметрично относительно диагонали. Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков. Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков. Условия примера для расчета коэффициента корреляции в Exel. Для выполнения корреляционного анализа введите в диапазон A1: G3 исходные данные рис. Затем выберите пункт Анализ данных и далее укажите строку корреляция. В появившемся диалоговом окне укажите Входной интервал А2: Укажите, что данные рассматриваются по столбцам. Укажите выходной диапазон Е1 и нажмите кнопку ОК. Результаты вычисления корреляционной матрицы. На рисунке видно, что корреляция между состоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,92; а между состоянием погоды и посещаемостью парка 0,97; между посещаемостью парка и музея -0, Таким образом, в результате анализа выявлены зависимости: Итак, коэффициент корреляции свидетельствует о линейной зависимости, или связи, между двумя переменными. Знаккоэффициента корреляции определяет характер зависимости: Сильная корреляция не является причинно-следственной зависимостью. Она лишь свидетельствует о наличии тенденции, характерной для данной выборки. Допустим, у меня есть две дискретных случайных величины: Как рассчитать ковариацию на основе этих распределений? Нужно ли считать распределение произведения? В Excel есть функция КОВАР - но она вместо мат. Использование функции корреляции в анализе данных. Перепробовал все какие нашел формулы из Интернета, все выдают какую-то лажу, в частности коэффициент корреляции по ним получается то больше единицы, то всегда 0, то не получается единицей в указанном выше случае. Коэффициент корреляции получаю делением на произведение среднеквадратичных отклонений, дисперсию для стандартного отклонения считаю как взвешенную по вероятностям сумму разниц квадратов значений случайной величины и её мат. Расчет корреляционной матрицы - пример. Для вычисления корреляции случайных величин нужно знать их совместное распределение. То есть, грубо говоря, знать, как часто вторая величина принимает значения , и , если первая величина равна то же для других значений. Вы такой информации не дали. То, что Вы нашли в Excel - это другая величина, выборочная корреляция ее можно рассматривать как оценку истинной, но это другая тема. Она вычисляется для парной выборки x1,x2, При таком понимании эти величины взаимосвязаны. Если же значения в каждом наборе перемешать независимо от другого например, упорядочить , получим совсем другой и неправильный ответ. Вы пытаетесь найти совместное распределение как произведение распределений двух величин. Это означает, что две Ваши величины независимы, и корреляция между ними должна быть равна 0. Скриншот вычисления при правильно подобранных совместных вероятностях. Основные принципы интерпретации различных коэффициентов корреляции одинаковы. Полученный коэффициент нужно проверить на значимость, которая зависит от вероятности ошибки и количества человек. С другой стороны, при выборке в 5 человек очень большой коэффициент мы признаем незначимым, так как из-за малого количества человек мы можем совершить ошибочный вывод об этой корреляции. Расчет значимости коэффициента корреляции. Таким образом, для нас главное узнать какой должна быть вероятность ошибки и количество человек, чтобы признать полученный коэффициент действительно значимым. Расчет значения р вероятности ошибки - сложная процедура, поэтому компьютерные программы, в которых можно считать коэффициент корреляции, расчитывают вероятность ошибки самостоятельно. Если же расчет производился вручную или по другим причинам конкретное значение р неизвестно, то используем уже рассчитанные таблицы критических значений. Таблицы критических значений предназначены чтобы можно было найти критическое значение коэффициента корреляции, то есть такое, после которого взаимосвязь можно считать значимой и неслучайной. При этом значение вероятности ошибки задаётся исследователем. Таким образом, пользуясь таблицами мы отвечаем на вопрос: Пример таблицы критических значений. В первой колонке таблицы критических значений находится значение df Degrees of Freedom - степени свободы , которое расчитывается очень просто: На пересечении нужного df и выбранной вероятности ошибок находим критический коэффициент корреляции. Если рассчитанное значение больше критического - коэффициент значимый, в обратном случае взаимосвязь является случайной. Существуют различные формулы расчета коэффициента корреляции для различных типов шкал. В следующей таблице написаны названия коэффициентов корреляции для различных типов шкал. Названия коэффициентов корреляции для различных типов шкал. Коэффициент корреляции - это мера взаимосвязи измеренных явлений. На самом примитивном уровне его можно рассматривать как меру совпадения двух рядов чисел. Отрицательные значения говорят про обратнопропорциональную взаимосвязь, положительные о прямопропорциональной. Полученный коэффициент необходимо сравнивать с критическим табличным. Для каждого трейдера важно понимать, что мы работаем с торговыми инструментами, состоящими из пары валют. В отличие от фондовой биржи , где, как правило, каждый торговый инструмент это всего лишь одна индивидуальная единица, на Форекс используется измерение стоимости одной валюты в единицах другой. При этом мы не редко можем наблюдать, визуальную схожесть в движении нескольких валютных пар. Это может быть связано с тем, что обе пары могут содержать одну и ту же валюту в обоих случаях. Торговые инструменты трейдера рынка Forex в терминале. Одним из способов использования корреляции пар в торговле является устранение расхождения инструментов. В этом случае, при наблюдении за движением подопытных, человек заметит, что К время от времени меняется, то несколько увеличиваясь, то несколько уменьшаясь. Тем не менее, средние значения коэффициента все равно находятся в диапазоне 0. То есть, при росте одной пары рост другой окажется весьма ограничен. Торговые индикаторы на рынке Forex. Нахождение подобных ситуаций и дальнейшее их использование затрудняется непостоянностью значения К. Мы можем не верно толковать новые значения коэффициента, принимая из за ожидаемый нами разрыв, но позже может оказаться, что это новое значение данного коэффициента, которое теперь станет постоянным на определенное время. Существуют специальные корреляционные индикаторы, помогающие трейдерам наблюдать за схождением и расхождением инструментов, а другими словами, за изменениями текущих значений К. Сложно переоценить значимость коэффициента корреляции в рыночной торговле. Его использование позволяет смотреть на трейдинг более глобально, учитывая движения пар, относительно друг друга. Еще одной областью применения коэффициента стало хеджирование. Желая снизить риски в своей торговле, спекулянты могут проводить хеджирование не только на разных рынках, но и с помощью коррелирующих инструментов. Таким образом, происходит частичное хеджирование. Для начала разберемся в самой сути такого понятия, как арбитраж. Выделяют эквивалентный арбитраж - операции с комбинацией составных или производных активов опционов , фондовых индексов и обычных контрактов, когда между теоретически эквивалентными комбинациями на практике возникает разница цен. Понятие арбитража на рынке Forex. Упрощенно арбитраж выглядит следующим образом: При отклонении стоимости корзины от расчетной величины, совершается сделка. В первоначальном виде арбитраж возник на заре развития вторичных региональных бирж , когда один итот же актив торговался на разных площадках по разным ценам и с 44 каждым годом разрыв этой цены стремительно сокращался, а вместе с ним скорость арбитражных стратегий и их объем. Сегодня существует в качестве межбиржевого варианта, когда актив торгуется на биржах разных стран, например на токийской и нью-йоркской, лондонской и франкфуртской. А также на New York Stock Exchange и Nasdaq Composite в качестве арбитража разных активов, например двух-трех акций из одного сектора. В основе арбитража лежит такое понятие, как корреляция. Корреляция, если простыми словами - это взаимосвязь двух или более событий, то есть когда происходит одно, то вероятно статистически подтверждено и другое. Когда-то корреляции на рынке были невыраженными в моменте, они были растянуты во времени. Однако совершенно очевидно, что если все так просто, то все бы с легкостью зарабатывали, чего, как мы все прекрасно знаем, не происходит. Пример самой жесткой корреляции - это пары типа EUR USD. Они намертво связаны между собой. Малейшее изменение цены одного приводит к мгновенному изменению цены другого. Тут, понятно, корреляция обратная и речь идет о торгуемых инструментах, например, на СМЕ. И данная корреляция действительна в обе стороны. Когда речь заходит о корреляциях, в том смысле, в каком я их понимаю, неизбежно возникает вопрос: Основные поводыри для Американского фондового рынка следующие в порядке убывания силы глобального влияния:. Фьючерсный контракт на индекс SNP - главный поводырь, самый влиятельный, нет ни одного ликвидного инструмента, на который бы не оказало влияние изменение цены фьючерса хотя бы на тик, реакция есть всегда. Я могу ответственно заявить, что фьючерсный контракт - быстрее, изменчивее в разы и главнее в данном контексте. Фьючерс на нефть сорта Лайт Свит - углеводороды, что тут еще сказать. Сильное влияние оказывает на некоторые сектора, на отдельные индустрии , связанные с нефтедобычей и нефтепереработкой , а также на те отрасли, где существенная статья издержек - топливо и ГСМ, например авиакомпании. Сам актив несколько зависим от Индекса доллара. Фьючерс на нефть марки West Texas Intermediate. Также как и нефть , оказывает серьезное влияние на компании, занимающиеся золотодобычей , переработкой, реализацией и прочим. Сам по себе поводырь зависим в моменте от Индекса доллара. Индекс доллара - с появлением евро все сильнее стал подвержен колебаниям, связанным с проблемами в Еврозоне , также изменчив за счет спекулятивных действий в торгуемой валютной паре EURUSD. Сам зависим от макроэк. Оказывает влияние на многие товарные фьючерсы, расчет по которым ведется в американских долларах. А вот обратное не будет иметь такого влияния. Это один из вариантов, комбинаций может быть очень много. Теперь давайте рассмотрим какой-нибудь самый необычный пример. И не нужно рассказывать, что у них все поставки фьючерсные, с фиксированной ценой на пару лет вперед и прочее, это все так, но откройте их график минутный и понаблюдайте, что происходит, когда нефть очень резко изменяется в цене. А теперь добавьте сюда индекс доллара, который влияет на них самих, так как Цены их услуг - они в долларахи сама нефть зависит от него доллара , ну и SNP , который частенько идет в противоход нефти… Вот их акции авиакомпаний разрывает в разные стороны. LCC валится на растущей нефти и растущем фьючерсе, и отрастает на падающей нефти. Да все, особенно скальперы, роботы-скальперы, люди-скальперы. Роботы-арбитражеры в первую очередь, а также алгоритмы, котирующие акцию читай маркетмейеры. Ведь иначе невозможно было бы такую массу акций заставить двигаться более менее одинаково, речь, понятно, внутри дня. Потому что, если мы взглянем на большие тайм фреймы , то выясниться, что многие сектора живут своей отдельной жизнью. Вот например, график месячный, с года:. Месячный график движения акций. Интересно, они рванут вверх, за ростом фьючерсного контракта или на малейшем его откате шлёпнутся еще ниже? А вот, что на меньших масштабах времени, дневка, за год:. Действующие лица те же. В общем есть некое понимание, что графики похожи, но одни сильнее рынка в целом, а другие слабее, в абсолютном выражении, при расчете на начало года. Это все глобально, на год, а вот на месяц:. Меня же в торговле интересует арбитраж внутридневной, график - от пятиминутного до минутного:. Пятиминутный график движения акций. Или, например, технологический сектор в пятницу Технологический сектор рынка акций. Это, что касательно фьючерсного контракта SNP на графиках, для моего удобства показан не сам фьючерсный контракт, а ETF на индекс SNP , учитывая, что график - линия, различий нет совсем. А вот пример акций нефтяной индустрии, в сравнении с черным золотом:. Пример акций нефтяной индустрии. USO - United States Oil , XOM - Exxon Mobil Corporation , SLB - Schlumberger Limited, CVX - Chevron Corporation. GLD - SPDR gold Shares, NEM - Newmont mining industry Corp. Показать в картинках, что происходит и какая реакция - сложно, потому распишу немного словами. Что можем видеть на ведомых, если на ведущих есть большое движение? Если же движение общее, не только на сильных акциях, а на всем рынке в целом, то может произойти сильное движение, с объемом, и с еще большим расширением спреда в противоположную от него движения сторону. Это один из десятков сценариев, понятно, что всегда есть вариации, но уловить общее можно, если тщательно понаблюдать и проанализировать поведение акций и их поводырей. Сложим все варианты арбитража в одну табличку и определим четыре варианта действий простым языком, не пинайте, но так понятно всем будет: При арбитраже как правило торгуется два инструмента. Имея ввиду торговлю одного инструмента, чаще поступают так, торгуя по тренду сектора индустрии: Еще более кратко сам процесс можно описать так: Те, кто первый в столбце, те и рулят, как правило. В случае, если нет глобальных новостей по сектору или если нет отчетов у разных акций из этого сектора. Определение главного в секторе индустрии. Мы предполагаем, что доходность по каждой из акций А и В - это случайные величины Rа и Rв. Теперь нас интересует, каково будет среднее значение доходности портфеля и стандартное отклонение для портфеля. Вопрос средней доходности портфеля решается просто. А вот стандартное отклонение - показатель уровня изменчивости доходности портфеля, не отражает средней изменчивости доходности его компонентов акций. Причина в том, что диверсификация снижает изменчивость, так как цены различных акций изменяются неодинаково. Во многих случаях снижение стоимости одной акции компенсируется ростом цены на другую. Ожидаемая доходность нашего портфеля равна средневзвешенной ожидаемых значений доходностей отдельных акций:. Средневзвешенное ожидаемое значение доходности отдельных акций. Для того, чтобы найти дисперсию и стандартное отклонение доходности портфеля, мы должны знать значения ковариации акций А и В. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций. Общая формула вычисления ковариации:. Общая формула вычисления ковариации. Из формулы видно, что ковариация любой акции с ней самой равна ее дисперсии. В задачах, значение ковариации двух активов будет дано. Или, вместо нее будет дано значение коэффициента корреляции - безразмерной величины, которая стандартизует ковариацию для облегчения сравнения, и принимает значения от -1 до 1. Пусть нам дано, что коэффициент корреляции акций А и В равен 0,7. В большинстве случаев, изменение акций происходит в одном направлении. В этом случае коэффициент корреляции и, соответственно, ковариация, положительны. Если акции изменяются соверженно не связанно, тогда коэффициент корреляции и ковариация равны нулю. Если акции изменяются в противоположных направляения - коэффициент корреляции и ковариация отрицательны. Для нахождения дисперсии портфеля, нам надо заполнить матрицу:. Матрица для нахождения дисперсии. Эта матрица очень похожа на матрицу ковариаций. Заполнив матрицу, надо просто сложить полученные в ней величины и найдем дисперсию портфеля:. Пример вычисления дисперсии портфеля. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии. Средневзвешенное стандартное отклонение доходности отдельных акций. К сожалению, в реальности, отрицательная корреляция акций практически не встречается. В настоящей статье я хочу предложить вашему вниманию небольшое исследование, посвященное одному из статистических показателей - линейному коэффициенту корреляции. А также поделюсь некоторыми соображениями по его применению в трейдинге на примере акций Лукойла. Корреляция корреляционная зависимость - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми. При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит корреляционное отношение либо коэффициент корреляции. В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической. Общее понятие показателей корреляции. Жорж Кювье - французский ученый, впервые ввел понятие корреляции. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором - также и ее направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях - это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи - например, для независимых случайных величин. Линейный коэффициент корреляции далее ЛКК коэффициент корреляции Пирсона , который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон в х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:. Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках в частности в психологии и социологии , хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи. Популярность метода обусловлена двумя моментами: В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных. Итак, коллеги, ЛКК определяет: Важным и необходимым условием для расчета ЛКК является наличие двух одинаковых по количеству данных потоков данных. Так же в общем случае считается, что значения ЛКК можно считать достоверным, если в расчете участвует поток из более, чем 30 пар данных. Чем теплее на улице, тем больше покупаем летних вещей. Рост температуры - рост продаж. Чем холоднее на улице, тем больше покупаем зимних теплых вещей. Снижение температуры - рост продаж. Примеры применения ЛКК в трейдинге. Области применения ЛКК в трейдинге достаточно широки. Например, долго считалось, что при падении фондовых рынков в целом растет спрос на золото. То есть между динамикой фондовых рынков и динамикой стоимости золота существует обратная корреляционная зависимость. Но в последние несколько лет, а именно в основном начиная с года, такие зависимости явно изменились. И либо сильно ослабли, либо исчезли совсем. Линейный коэффициент корреляции широо применяется в трейдинге. У приведенных выше примеров есть одна общая особенность: Тем не менее, в одной из книг, посвященных теории управления капиталом а именно, Р. Это может быть, например, непрерывный поток исходов в системных сделках или поток цен какой-то одной акции. О таком методе построения ЛКК ниже. Итак, давайте исследуем, например, поток цен на акции Лукойла LKOH. Составим поток из недельных свечей. Мне удалось найти архив, начиная с Исследовать будем не свечи в целом, а, например, максимальные цены в каждой свечей. Таким образом, перед нами непрерывный поток из данных - максимальные цены в каждой торговой неделе, начиная с 01 января года. Кроме этих данных, пока никакие другие данные нам не нужны. Динамика максимальных недельных цен в акциях LKOH. На рисунке показана динамика максимальных недельных цен в акциях LKOH. Расчет ЛКК должен дать ответы на вопросы: Есть ли зависимость между максимальными ценами двух любых соседних недель. Если зависимость есть, то какова ее направленность? Коллеги, если упростить, то вопрос можно сформулировать так: Если на истекшей неделе Лукойл обновил свой недельный максимум по сравнению с предыдущей неделей, то можем ли мы ожидать продолжения роста и на будущей неделе? Для расчета ЛКК поток данных требует некоторой трансформации. Таблица удобного представления данных для примера. В противном случае значение равно 0. Таким образом, поток цен преобразован в поток единиц и нулей. Поскольку для расчета ЛКК необходимо два потока данных, то сделаем следующее:. Распределение двух потоков данных. Таким образом, из одного потока данных получено два. И теперь смысл расчета ЛКК заключается в выяснении связи между двумя соседними значениями выборки. В нашем случае - максимальными ценами соседних недель текущей и предыдущей. Теперь собственно по расчету ЛКК. Расчет произведем двумя способами: Охватим весь период выборки недель. Начиная с 30й недели выборки август года для каждой недели рассчитаем значение ЛКК по последним 30 неделям. То есть для каждой недели рассчитаем т. Результаты расчетов отражены на рисунке:. Результаты расчета корреляции по неделям. То есть факт обновления максимальной цены на текущей неделе по сравнению с предыдущей позволяет сделать предположение о том, что на следующей неделе в сравнении с текущей вероятность обновления максимума выше вероятности НЕобновления максимума. Самый продолжительный период, в течение которого корреляция между недельными максимумами была положительная - это период с мая года до августа года. В этот период обновление максимумов на прошлой неделе в большинстве случаев приводило к обновлению максимумов в течение текущей недели. Именно в этот период акции Лукойла агрессивно росли. Прогноз движения акций Лукойла. Самый продолжительный период, в течение которого корреляция между недельными максимумами была отрицательная - это период с августа года по июль года. В этот период недельной обновление максимумов на прошлой неделе в большинстве случаев не приводило к обновлению максимумов в течение текущей недели. И наоборот, НЕобновление недельных максимумов в течение текущей недели в большинстве случае приводило к росту на следующей неделе. Пример торговли акциями Лукойла. В точках, где синяя линия находится выше красной, корреляция между недельными максимумами выше средней за период и имеет прямую направленность. В таких точках при обновлении недельных максимумов на текущей неделе наиболее вероятно обновление максимумов в течение следующей недели.
Рассчитать полным факторным экспериментом влияние давления, жирности и кислотности на качество продукции. Планирование эксперимента -математико-статистическая дисциплина, изучающая методы рациональной организации экспериментальных исследований — от оптимального выбора исследуемых факторов и определения собственно плана эксперимента в соответствии с его целью до методов анализа результатов. Начало планирования эксперимента положили труды английского статистика Р. Фишера , подчеркнувшего, что рациональное планирование экспериментадаёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. В х годах 20 века сложилась современная теория планирования эксперимента. Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей. Планирование эксперимента — выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий. Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления. В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами. Цель планирования эксперимента — нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к производственно-технической деятельности по специальности с применением методов теории планирования и современных информационных технологий. Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, может ли рост влиять на вес человека или может ли давление влиять на качество продукции? Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого. Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики. Оба термина - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синонимы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого. Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака. Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления положительное или отрицательное и формы линейная, нелинейная связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции. По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи рисунок 1. При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности. Рисунок 1 - Связь между эффективностью решения задачи и силой мотивационной тенденции. По направлению корреляционная связь может быть положительной "прямой" и отрицательной "обратной". При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого рисунок 2. При отрицательной корреляции соотношения обратные рисунок 3. При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак[1]. Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции. Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения x i , y i двух признаков. Если экспериментальных данных немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i и y i. При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x i и y i. Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал метры, секунды, килограммы и т. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x i и y i графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называются также диаграммой рассеивания или корреляционным полем. Данная модель двумерного нормального распределения корреляционное поле позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, так как распределение в совокупности зависит от пяти параметров: В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y. В этом случае говорят о полной корреляции. Чем ближе р к , тем уже эллипс и тем теснее экспериментальные значения группируются около прямой линии. Здесь же следует обратить внимание на то, что линия, вдоль которой группируются точки, может быть не только прямой, а иметь любую другую форму: В этих случаях мы рассматривали бы так называемую, нелинейную или криволинейную корреляцию риунок 5, д. Таким образом, визуальный анализ корреляционного поля помогает выявить не только наличия статистической зависимости линейную или нелинейную между исследуемыми признаками, но и ее тесноту и форму. Корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Коэффициенты корреляции является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Линейная связь между переменными X i и X j оценивается коэффициентом корреляции:. Только при совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин X i и X j коэффициент корреляции имеет определенный смысл связи между переменными. В противном случае коэффициент корреляции может только косвенно характеризовать эту связь[5]. В качестве оценки генерального коэффициента корреляции р используется коэффициент корреляции r Браве-Пирсона. Для его определения принимается предположение о двумерном нормальном распределении генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные данные. Это предположение может быть проверено с помощью соответствующих критериев значимости. Следует отметить, что если по отдельности одномерные эмпирические распределения значений x i и y i согласуются с нормальным распределением, то из этого еще не следует, что двумерное распределение будет нормальным. Для такого заключения необходимо еще проверить предположение о линейности связи между случайными величинами Х и Y. Строго говоря, для вычисления коэффициента корреляции достаточно только принять предположение о линейности связи между случайными величинами, и вычисленный коэффициент корреляции будет мерой этой линейной связи. Коэффициент корреляции Браве—Пирсона относится к параметрическим коэффициентам и для практических расчетов вычисляется по формуле:. Из формулы видно, что для вычисления необходимо найти средние значения признаков Х и Y, а также отклонения каждого статистического данного от его среднего. Зная эти значения, находятся суммы. Если , то можно говорить о том, что между признаками наблюдается достоверная взаимосвязь. Если , то между признаками наблюдается недостоверная корреляционная взаимосвязь[2]. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Переменная X — обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y— среднее время решения вербальных заданий тестов. Представим исходные данные в виде таблицы 4, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета по формуле. Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле расчета коэффициента корреляции Браве—Пирсона:. Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции по таблице. Если потребуется установить связь между двумя признаками, значения которых в генеральной совокупности распределены не по нормальному закону, т. Коэффициент ранговой корреляции также имеет пределы 1 и —1. Таким образом, коэффициент ранговой корреляции является мерой совпадения рангов значений x i и y i. Когда ранги всех значений x i и y i строго совпадают или расположены в обратном порядке, между случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость, причем эта зависимость не обязательно линейная, как в случае с коэффициентом линейной корреляции Браве-Пирсона, а может быть любой монотонной зависимостью т. Следовательно, коэффициент ранговой корреляции является мерой любой монотонной зависимости между случайными величинами Х и Y. Из формулы видно, что для вычисления необходимо сначала проставить ранги dx и dy показателей xi и yi, найти разности рангов dx - dy для каждой пары показателей и квадраты этих разностей dx - dy 2. Зная эти значения, находятся суммы , учитывая, что всегда равна нулю. Затем, вычислив значение , необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции, сравнив его фактическое значение с табличным. Если , то между признаками наблюдается недостоверная корреляционная взаимосвязь. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется значительно проще, чем коэффициент корреляции Браве-Пирсона при одних и тех же исходных данных, поскольку при вычислении используются ранги, представляющие собой обычно целые числа. Тогда даже в случае двумерного нормального распределения генеральной совокупности можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции вместо точного коэффициента корреляции Браве-Пирсона. Определить достоверность взаимосвязи между показателями веса и максимального количества сгибания и разгибания рук в упоре лежа у 10 исследуемых с помощью расчета рангового коэффициента корреляции, если данные выборок таковы:. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи;. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции. Для проверки значимости коэффициентов корреляции чаще всего используют распределение Стьюдента и условие:. Для проверки значимости коэффициента парной корреляции нужно сравнить его значение с табличным критическим значением r, которое приведено в таблице 3. При этом возрастает надежность ответа. Проверка гипотезы сводится к сравнению абсолютной величины коэффициента парной корреляции с критическим значением. Если экспериментально найденное значение r меньше критического, то нет оснований считать, что имеется тесная линейная связь между параметрами, а если больше или равно, то гипотеза о корреляционной линейной связи не отвергается[6]. Рассчитать полным факторным экспериментом влияние давления МПа, жирности ,5м. Так как мы имеем 2 уровня варьирования факторов и 3 фактора, то получаем матрицу. Число опытов равно 8. Таблица 3 — Матрица планирования типа. Для проверки однородности дисперсии был выбран критерий Кохрена. Для этого рассчитываем дисперсию в каждом опыте по формуле:. Сравниваем расчетное значение с табличным и видим, что значение незначительные и их коэффициенты следует исключить из уравнения регрессии. Так как коэффициенты получились незначимы и мы не имеем возможности заново поставить новый эксперимент и продолжаем вычисления, выбрав наиболее близкие к значимым коэффициенты. Находим табличное значение критерия Фишера для степеней свободы. Однако точную формулу для подсчета коэффициента корреляции разработал его ученик Карл Пирсон. Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные преимущества. Но на практике чаще всего приходится учитывать несколько выходных параметров. Иногда их число довольно велико. Так, например, при производстве резиновых и пластмассовых изделий приходится учитывать физико-механические, технологические, экономические, художественно-эстетические и другие параметры прочность, эластичность, относительное удлинение и т. Математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно. Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения цели исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. Поэтому из многих выходных параметров выбирается один в качестве параметра оптимизации, а остальные служат ограничениями. Всегда полезно исследовать возможность уменьшения числа выходных параметров. Для этого и используется корреляционный анализ. С использованием результатов корреляционного анализа исследователь может делать определённые выводы о наличии и характере взаимозависимости, что уже само по себе может представлять существенную информацию об исследуемом объекте. Результаты могут подсказать и направление дальнейших исследований, и совокупность требуемых методов, в том числе статистических, необходимых для более полного изучения объекта[7]. Особенно реальную пользу применение аппарата корреляционного анализа может принести на стадии ранних исследований в областях, где характеры причин определённых явлений ещё недостаточно понятны. Это может касаться изучения очень сложных систем различного характера: Планирование эксперимента в химической технологии. Высшая школа, — с. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Все материалы в разделе "Экономико-математическое моделирование". Понятие корреляционных связей, их классификация. Корреляционные поля и цель их построения. Коэффициенты корреляции, их виды, свойства и проверка значимости. Расчет факторным экспериментом влияние давления, жирности и кислотности на качество продукции. Планирование многофакторного эксперимента 2. Число степеней свободы f Критиче-ское значение r Число степеней свободы f Критиче-ское значение r Число степеней свободы f Критиче- ское значение r 1 2 3 4 5 6 7 8 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9 10 11 12 13 14 15 16 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 17 18 19 20 30 50 80 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Фактор Номер фактора Верхнее значение Нижнее значение Давление. Критиче- ское значение r. Анализ динамики трудоёмкости продукции предприятия ДУП "ПМК" и корреляционный анализ влияния среднего разряда бригады на выполнение норм выработки. Корреляционный анализ морфологических структур плацент жительниц сурьмяного биогеохимического региона. Влияние состояния здравоохранения и транспортной обеспеченности на. Корреляционный анализ солнечной и геомагнитной активностей. Состав и движение рабочей силы и эффективности использования рабочего времени. Корреляционный и регрессионный анализ в экономических расчетах. Корреляционный анализ для ранговых шкал.
томат красная шапочка характеристика
воспаление подчелюстных лимфоузлов причины и лечение
валерия путицкая курс для начинающих