Уравнение теплопроводности
Лекция 6. Уравнения с частными производными. Одномерное уравнение теплопроводности. Построение явной разностной схемы одномерного уравнения теплопроводности и ее решение.
Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.
Были получены две двухслойные схемы - явная 2. Неявная схема безусловно устойчива, явная схема устойчива при выполнении условия. Обе схемы сходятся к решению исходной задачи со скоростью. Однако граничные условия в смешанной задаче 2. В этом случае, как и при решении волнового уравнения, данное условие нужно записывать в схемах 2. Перейдем теперь к построению разностных схем для уравнения теплопроводности с двумя пространственными переменными. Тогда это уравнение можно записать в виде. В отличие от волнового уравнения, требующего два начальных условия, в уравнение теплопроводности входит только первая производная по t , и необходимо задавать одно начальное условие. Часто задачи теплопроводности или диффузии, описываемые двумерным уравнением 2. Тогда, кроме начального условия 2. В частности, если расчетная область представляет прямоугольный параллелепипед рис. Введем простейшую сетку с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов, для чего проведем три семейства плоскостей: Значение сеточной функции в узлах обозначим символом. С помощью этих значений можно построить разностные схемы для уравнения 2. Построим явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис. Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получаем следующее сеточное уравнение:. При получается особенно простой вид схемы 2. Полученная схема сходится со скоростью. На нулевом слое используется начальное условие 2. Значения в граничных узлах вычисляют с помощью граничных условий. Алгоритм решения смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности изображен на рис. Здесь решение хранится на двух слоях: Блоки граничных условий необходимо сформировать в зависимости от конкретного вида этих условий. Результаты выводят на каждом слое, хотя можно ввести шаг выдачи см. Построим теперь абсолютно устойчивую неявную схему для решения уравнения 2. Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое:. На нулевом слое решение находится из начального условия 2. Таким образом, распространение неявной схемы на многомерный случай приводит к значительному усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений. Недостатком явной схемы 2. Существуют абсолютно устойчивые экономичные разностные схемы, позволяющие вести расчет со сравнительно большим значением шага по времени и требующие меньшего объема вычислений. Две из них будут рассмотрены в разд. Неявная схема безусловно устойчива, явная схема устойчива при выполнении условия Обе схемы сходятся к решению исходной задачи со скоростью. Тогда это уравнение можно записать в виде 2. Расчетная область Введем простейшую сетку с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов, для чего проведем три семейства плоскостей: Рассмотренные выше схемы для одномерного уравнения легко обобщаются на двумерный случай. Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получаем следующее сеточное уравнение: Алгоритм решения двумерного уравнения теплопроводности Построим теперь абсолютно устойчивую неявную схему для решения уравнения 2.
В однородный тонкий стержень, неравномерно нагретый, на концах -ого, установлены тепловые машины печь или холодильник , то есть концов стержня изменяется по заданному закону. Как изменяется во времени распределение температуры. Заменим производные и разностными соотношениями:. Эта схема называется явной так как вычисление решения по ней не представляет труда и проводится по явной формуле. Зная значение на слое сетки, мы можем вычислить его значение на следующем слое. При схема имеет 2 порядок аппроксимации относительноh. Разностное уравнение нельзя разрешить относительно , выразив его через известные с предыдущего слоя. Поэтому для определения , придется решать разностное уравнение, относительно сеточной функции аргументаm. Тем не менее неявная схема как правило удобнее явной. При обе схемы имеют 2 порядка аппроксимации относительноh. Данная схема устойчива при. Уравнение Лапласа описывает стационарное распределение на 2-ой области. Однако для расчета какого-либо физического процесса, необходимо указать краевые условия. З адача Дирихле для уравнения Лапласа. Итерационный процесс продолжается до тех пор пока отклонение значений в узлах для двух последовательных интеграций не станет меньше некоторого заранее определенного Е. Эти условия задают решение задачи с точностью до прибавления одного и того же числа к температуре всех точек. Присвоим всем внутренним точкам области Днекоторые температуры, например. Присвоим краевым точкам такие температуры, что бы выполнялись краевые условия то есть произведем пересчет по разностным схемам полученным для разных участков границы. Найдем максимальное изменение температура на данном и предыдущем этапе, если оно достаточно мало, то будем считать найденную функцию решением задачи, иначе перейдем к шагу 2. Используя краевые условия и температуры внутренних точек вычисляем температуры граничных точек. Чаще всего решается комбинированная задача, то есть на разных участках границы вводятся групповые условия разных типов. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Yanus Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Модели и методы анализа проектных решений. Разностные схемы первого и второго порядка. Решение разностных уравнений первого порядка по схеме Эйлера. Схемы Рунге-Кутта и Адамса. Решение разностных уравнений первого порядка по схемам Рунге-Кутта и Адамса. Решение разностных уравнений второго порядка методом прогонки. Программирование алгоритма метода прогонки на эвм. Уравнения с частными производными. Построение явной разностной схемы одномерного уравнения теплопроводности и ее решение. Построение неявной разностной схемы одномерного уравнения теплопроводности и ее решение методом прогонки. Решение двумерного уравнения теплопроводности методом конечных разностей. Уравнение Лапласа и три краевые задачи. Задача Дирихле и ее решение методом итераций. Задача Неймана и ее решение методом конечных разностей. Третья краевая задача и ее решение методом конечных разностей. Программирование расчетного алгоритма решения задачи Дирихле и задачи Неймана. Оптимальность плана транспортной задачи. Открытые модели тз и усложнения в ее постановке. Математическое моделирование - язык и инструментарий рационального исследования операций. Исследование операций в условиях определенности. Модели и методы математического программирования. Программируемые проблемы в экономике. Разностная постановка задачи В однородный тонкий стержень, неравномерно нагретый, на концах -ого, установлены тепловые машины печь или холодильник , то есть концов стержня изменяется по заданному закону. Одномерное уравнение теплопроводности Явная схема. Заменим производные и разностными соотношениями: Неявная схема Разностное уравнение нельзя разрешить относительно , выразив его через известные с предыдущего слоя. L G Шаблон положим внутри областиG Итерационный процесс продолжается до тех пор пока отклонение значений в узлах для двух последовательных интеграций не станет меньше некоторого заранее определенного Е. Задача Неймана для уравнения Лапласа ; наS На участке границы. Аналогично строятся разностные уравнения и на других участках. План решения задачи Неймана с помощью разностных схем: Решим задачу Дирихле, при фиксированных граничных точках. Третья краевая задача для уравнения Лапласа Составим разностную схему для границы ; Аналогично для остальных участков границы Установить все Используя краевые условия и температуры внутренних точек вычисляем температуры граничных точек. Зафиксируем температуры группы точек и решим задачу Дирихле Замечание: Соседние файлы в предмете Модели и методы анализа проектных решений
Телевизор ситроникс инструкция
Как нарисовать водопад карандашом поэтапно для начинающих
Сколько калорий в борще на воде
Gbp to mdl
Какие виды схем вы знаете