Last active
August 29, 2015 14:02
-
-
Save dobrokot/4eb2229599b34c8d55e9 to your computer and use it in GitHub Desktop.
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
докажите что в последовательности [2/sqrt(2)], [2^2/sqrt(2)], ... [2^n/sqrt(2)] .... , где [] - операция взятия целой части бесконечно много нечетных чисел | |
--------------------------------------------------- | |
Для определёности, две последовательности (вторая - целые части первой): | |
An = (2^n)/sqrt(2) | |
Bn = [An] = [ (2^n)/sqrt(2) ] | |
Метод решения: посмотрел на картинке, что происходит с числами последовательности An "по модулю 2" в промежутке [0..2), там сразу видно: если число нечётное, то каждый раз удваивается расстояние от правой границы отрезка [0..2) | |
--------------------------------------------------- | |
Формальные логические шаги: | |
Если четных Bn - конечное число, то бесконечно много нечетных Bn. | |
Пусть n такое, что Bn - нечётное. | |
Если Bn нечётное - то An = 2*k - x, где x от 0 до 1 (0 < x < 1). Поскольку при делении на sqrt(2) всегда будет дробное число (иначе бы sqrt(2) было рациональным), то неравенство строгое, x строго больше 0. Вместо sqrt(2) можно было бы использовать и 3, тогда An тоже были бы всегда дробными (степени двойки на 3 не делятся). | |
Пусть i - наименьшее целое число, что x при умножении на 2^i больше 1 (такое есть, так как x > 0, см. предыдущий пункт). | |
Путь y = x*2^i, y будет от 1 до 2. ( 1 < y ). | |
Пусть K = k*2^i | |
Тогда A(n+i) = 2^i * (An) = 2*(k*2^i) - (x*2^i) = 2*K - y | |
Поскольку y от 1 до 2, то у числа A(n+i) = (2*K - y) будет четная целая часть, т.ч. B(n+i) будет четным. | |
Итак, если нечетных Bn бесконечно много - то тогда бесконечно много и четных B(n+i). |
Sign up for free
to join this conversation on GitHub.
Already have an account?
Sign in to comment