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（拖了好久，终于有时间回答了。）

问题：http://www.guokr.com/question/558719/

惯性质量为什么和引力质量相等？

没道理啊……电场中Eq=ma可以理解；而引力场中mg=ma，为啥两个m相等？ 如果场和引力场比较，也就是说。。。q和m是类似的参数，但是为啥引力场中这个参量等于质量呢？

不太清楚……

惯性质量和引力质量

• 惯性质量

惯性质量是通过 $F=m_I a$定义的，也就是说力与加速度的比值。这个定义本身就很值得怀疑，因为这样定义下来，直接就意味着，$m_I$ 这个东西是一个物体本身的属性，跟力的具体形式没有关系。且不管为什么，因为实验证明确实是对的，至于背后有什么深刻的内涵，是个更加复杂的话题（为什么我们的世界会满足这么多的对称性）。

• 引力质量

引力质量其实有两种，

1. Passive potential mass: 拿万有引力公式来说，$\phi m_G = F_G$，这里显然 $m_G$ 是被动受力的一个 coupling constant,所以叫做 passive 的。
2. Active potential mass：还是万有引力公式里面，上面我写的 $\phi = G M/r^2$，所以说 $\phi\propto M$，这个 $M$ 是引力的源，原则上来说，是跟上面的 passive potential mass 不同的一种质量。

二者相等

我们现在可以考虑在引力场中的物体的下落：

$$\phi m_G = m_I a$$

稍加变形，

$$\frac{m_I}{m_G} = \frac{a}{\phi}$$

因为我们可以测量 $a$，而再同一个体系中，例如地球环境中,$\phi$ 是个固定的值。

所以引力质量和惯性质量（在牛顿理论中）是否相等，就看对于不同的物体，右侧这个比值是否是个定值。加入右侧是个定值。在标准单位制中，这个定值必须是 1.

跟我们的问题相关的两个原理是

• Galileo 等效原理：

  在一个给定的引力场中所有的质点以相同的加速度下落。也就是说上面的 $a/\phi=1$.

• Newton 惯性质量与引力质量等效原理：

  引力质量和惯性质量相等，即 $m_I/m_G=1$.

可见在牛顿理论体系中，这两个说法是等价的，只要证明其中一个，另一个也是对的。

实验证明

我所知道的理论中，并没有什么理论可以推导出上面三种定义的等价性。所以这个是依靠实验来证明的。

有记录的最早的实验[2]是 Galileo 做的。他利用了单摆来验证两个质量相等。原理也非常简单，单摆的周期是

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\sqrt{\frac{m_I}{m_G}}$$

其中 l 是单摆长度，g 是重力常数。这些都是可测量的，原则上来说我们可以测定出惯性质量和引力质量的比值。

不过 Galileo 还没有我们现代人这么博学多才，所以他只是用来不同的物体（据记载是铅球和软木球），然后用眼观察了一下，说对于这两种球，不一样重，但是有相同的 $m_I/m_G$ 比值。

当然如果这个实验是现在的大学生做的，一定会被导师大骂一顿，认为没有基本的实验技能。时代不同，Galileo 这个实验还是很有启发性的。后来牛顿在此基础上进行的非常好的改进[2]，考虑了空气摩擦的因素，并且做了定量的分析。而且他用了更多的物体。

当然大家一致在努力测量这个量，再晚些，有个非常出名的实验，Eötvös 扭秤实验，将引力质量和惯性质量的差异限制在了一个非常非常小的量级上。

这个实验我在问答提到多次了，所以就不再在这里重复了。详细的介绍在维基百科或者我的这个回答中有（还有一个小故事）。

后来 Dicke 有测量了更复杂的情况，也在 [2] 中有介绍。再后来就是卫星试验（STEP, Satellite Test of Equivalence Principle），这个实验实际上就是个太空中的自由落体实验。

下面是一些结果，图表来源[2]

按照这些结果，两者差异可以忽略了。

说到这里可能有个疑问，如果 Galileo 一开始做的那个实验，用铅球和软木球的意义是什么？这是考虑到可能物体的不同的组成可能会有不同的惯性质量引力质量比值。关于这个大家也做过很多实验，

引力理论

上面一直在说牛顿引力理论。既然是引力理论，就有个问题。引力系统复杂的地方在于，它是一个极端普适的力，他跟所有的东西都有 coupling，所有形式的能量，所有形式的质量。引力源也会跟自己有 coupling. 所有说，darn，我们上面压根就没有考虑各种 coupling 的能量，包括引力的自能。然后我们需要去讨论广义相对论，进一步发现我们还需要讨论量子场论，需要了解量子场论里面的质量跟我们的宏观质量的测量的相关，然后发现需要更多的假设。

几乎所有的物理问题的答案都取决于你做什么样的 cut off. 如果仔细想，很少有物理问题真的是有答案的，只不过我们在尝试忽略一些问题（problem）而已，这也是大家做科研和科普的区别吧。所以，大家也明白了，我现在要在这里做 cut off.如果你有很强的求知欲，可以去看看参考文献和扩展阅读的内容。

定义质量

这个是对评论里面问题的一个补充，在相对论里面除了上面提到的三种定义质量的方法，还有另外两种比较常见，

1. 利用动量守恒，费曼物理讲义里面有。
2. 利用 $E^2=m^2c^4+p^2c^2$.

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参考文献和扩展阅读

1. Eötvös experiment
2. Gravitation and Spacetime 2nd ed.
3. Concepts of Mass by Max Jammer.
4. STEP
5. Theory and Experiment in Gravitational Physics by Clifford M. Will
6. The equivalence of inertial and passive gravitational mass by Roll, Krotkov, Dicke. Dicke 就是 Brans-Dicke 理论的那个。这是一个比 Einstein 广义相对论更加复杂然而更多多彩的一个引力理论。如果你特别喜欢 Mach 原理，那么应该去了解一下这个理论。