Skip to content

Instantly share code, notes, and snippets.

Embed
What would you like to do?
Toutes les erreurs du dernier papier de Petit sur Janus
Sorry, something went wrong. Reload?
Sorry, we cannot display this file.
Sorry, this file is invalid so it cannot be displayed.
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\newcommand{\plus}[1]{#1^{(+)}}
\newcommand{\minus}[1]{#1^{(-)}}
\newcommand{\gp}{\plus{g}}
\newcommand{\gm}{\minus{g}}
\newcommand{\act}[1]{\int_{D4} \left[#1\right] d^4x}
\title{Le modèle Janus de J.P. Petit est\\ irrémédiablement faux}
\author{Luc J. Bourhis}
\begin{document}
\maketitle
\abstract{
Dans ce document, je vais montrer comment le dernier article~\cite{pip} mis en avant par Jean-Pierre Petit est faux à de très nombreux niveaux. Ce papier est censé répondre à la critique~\cite{td} de Thibault Damour montrant que le modèle Janus est inconsistant mathématiquement et physiquement mais la plus grande partie de l'analyse ci-dessous est indépendante de celle de Damour et seul un minimum d'accointances avec le modèle Janus est nécéssaire, ce pour quoi une lecture attentive de~\cite{pip} est suffisante.
Voici un avant-goût des conclusions. Les auteurs font cinq erreurs très basiques en à peine plus d’une page. Les pires sont que la section 3 et la section 4 se contredisent quant au sens à donner à la notation $\varphi T^{(\pm)}_{\mu\nu}$ qui apparaît dans les nouvelles équations Janus (42) et (43): la section 4 voudrait que cela soit un produit matriciel (qui serait alors écrit avec une notation absurde) alors que la section 3 implique nécessairement que cela soit simplement le produit d'une matrice et d'un scalaire, le simple nombre $T^{(\pm)}_{\mu\nu}$, auquel cas ces équations impliquent qu'il ne peut pas y avoir de matière (à masse positive ou négative) dans le modèle Janus.
}
\section{Introduction}
Les auteurs veulent dériver les équations Janus d’un principe de variation de l’action. Ils commencent donc par écrire cette action $S$ à l’équation~(33). Cette action est la combinaison linéaire de deux matrices $I$ et $\varphi$. Des matrices $4\times4$. Ceci, déjà, est bizarre: une action est un scalaire (c'est à dire un simple nombre). Passons et notons que ces deux matrices sont constantes et linéairement indépendantes, cela sera important dans la suite. Les auteurs regardent ensuite la variation $\delta S$ de cette action $S$ quand la métrique positive $\gp$ et la métrique négative $\gm$ varie respectivement de $\delta\gp$ et $\delta\gm$ et demandent, comme il se doit, que $\delta S$ soit nulle. Et là, les erreurs vont s’enchaîner.
\section{Première erreur}
La variation d’une combinaison linéaire de deux matrices constantes est nécessairement une combinaison linéaire de ces deux matrices. Comme elles sont indépendantes, cette variation est nulle si et seulement si les coefficients de ces deux matrices sont nuls. Cela donne deux équations qui ne donnent en aucun cas les équations Janus. Avec plus de détails, en combinant les équations (33) à (37), on obtient, en notant $G^{(\pm)}$ le tenseur d'Einstein relatif à la métrique $g^{(\pm)}$,
\begin{multline}
\delta S = I \act{\left( G^{(+)}_{\mu\nu} -\chi T^{(+)}_{\mu\nu}\right)\sqrt{-\plus{g}}\delta g^{(+)\mu\nu} + \chi T^{(-)}_{\mu\nu}\sqrt{-\minus{g}}\delta g^{(-)\mu\nu}}\\
+\varphi \act{\left( G^{(-)}_{\mu\nu} +\chi T^{(-)}_{\mu\nu}\right)\sqrt{-\minus{g}}\delta g^{(-)\mu\nu} - \chi T^{(+)}_{\mu\nu}\sqrt{-\plus{g}}\delta g^{(+)\mu\nu}}
\end{multline}
Il faudrait alors annuler les crochets pour annuler $\delta S$, puis si on joue le jeu des auteurs qui consiste à annuler les coefficients de $\delta\gm$ et $\delta\gp$, on obtiendrait alors que $\plus{T}$ et $\minus{T}$ devrait être des tenseurs identiquement nuls: donc pas de matière dans ce modèle!! Les équations restantes seraient des équations de champs d'Einstein sans source et complètement découplées pour $\plus{G}$ et $\minus{G}$. Une voie sans issue donc.
\section{Deuxième erreur}
Soyons généreux et oublions ce problème. On va jouer le jeux: comme les auteurs le font de manière implicite, on factorise les variations des métriques $\delta\plus{g}$ et $\delta\minus{g}$ et on voudrait alors pouvoir dire que la nullité de $\delta S$ implique que le coefficient de $\delta\plus{g}$ et aussi celui de $\delta\minus{g}$ soit nul. Cela donnera alors les équations Janus. Si les métriques $\plus{g}$ et $\minus{g}$ étaient indépendantes, on pourrait conclure de suite mais ce n’est pas le cas comme on va le voir plus loin. Et les auteurs le savent puisqu’ils ne s’essaient pas à ce raisonnement. Au lieu de cela, ils prétendent que la variation de $\plus{g}$ est l’opposé de celle de $\minus{g}$, c’est l’équation (38). Mais alors, $\delta S$ est proportionnelle à $\delta\plus{g}$ par exemple et donc tout ce que l’on peut conclure est que le coefficient de $\delta\plus{g}$ est nul. Cela donne donc une seule équation et non pas les deux équations Janus. Notons que cette erreur était déjà présente dans leur papier précédent, référence [7].
\section{Troisième erreur}
Le pire est que cette relation (38), $\delta\minus{g}=-\delta\plus{g}$ est fausse! Les auteurs ne la justifient nulle part d’ailleurs: ils se contentent de citer leur papier précédent, référence [7], mais dans celui-ci cette relation était introduite par ``Let’s write''!! (Traduction: écrivons) sans autres explications. Et dans le papier présentement critiqué les auteurs écrivent que l'on peut considérer que cette relation est vérifiée (``we may consider''). Mais elle est fausse car les équations Janus, dans leur version du papier [7], impliquent que
\begin{equation}
\plus{w} \plus{G} + \minus{w} \minus{G} = 0 \label{janusconstraint}
\end{equation}
$w^{(\pm)}$ est la racine carrée du déterminant de $g^{(\pm)}$. La nouvelle mouture des équations Janus avec la matrice $\varphi$ n’y change rien: avec les mêmes manipulations formelles que les auteurs font avec cette matrice, $I\varphi = \varphi$ et $\varphi\varphi=I$ (manipulations qui ne tiennent pas la route comme on va le voir mais ici je joue encore une fois le jeu), on peut facilement voir que la même contrainte~(\ref{janusconstraint}) existe avec $\varphi$ multipliant $\minus{G}$. Cette relation~(\ref{janusconstraint}) est une fonction non-linéaire des métriques et on a certainement pas une relation aussi simple que $\delta\minus{g}=-\delta\plus{g}$ dans le cas général. Encore une fois une erreur reproduite directement du papier [7].
\section{Conclusion intermédiaire}
Résumons: on part d’une relation fausse (troisième erreur), sur laquelle on rajoute un raisonnement faux (deuxième erreur), et de toute façon toute l’approche est fausse depuis le début (première erreur)! Tout ceci en une page. Une seule page. Mais ce n’est même pas fini, il y a encore pire à venir!
\section{Quatrième erreur}
Oublions toutes les objections faites jusqu’à présent et revenons à la variation de l’action $\delta S$ écrite avec les variations $\delta\plus{g}$ et $\delta\minus{g}$. Regardons un des termes de matière (36) ou (37). Quand on va le combiner selon (33), on va avoir un terme qui est la matrice $\varphi$ multiplié par le scalaire $T^{(\pm)}_{\mu\nu}\delta g^{(\pm)\mu\nu}$. Quand on met tout ensemble et que l’on factorise $\delta g^{(\pm)\mu\nu}$, le coefficient de cette variation va donc contenir le produit de la matrice $\varphi$ par le scalaire $T^{(\pm)}_{\mu\nu}$: les composantes d’un tenseur sont en effet de simples nombres. Et donc dans les équations Janus obtenues, (42) et (43), on retrouve ces mêmes produits $\varphi T^{(\pm)}_{\mu\nu}$ d'une matrice et d'un scalaire. Donc dans le membre de droite des équations (42) et (43), le deuxième terme est une matrice mais le premier terme, $T^{(\pm)}_{\mu\nu}$ est à priori un scalaire: toujours la même histoire, c’est la composante d’un tenseur.
Le seul moyen de donner un sens à ces équations est de supposer que les auteurs ont omis la matrice $I$ partout où elle devrait apparaître. En particulier dans le membre de gauche des équations. Encore une fois, il n’y a pas de miracle: on est parti d’une combinaison linéaire de $I$ et $\varphi$, on doit nécessairement finir avec de telles combinaisons. Mais alors, la première erreur élucidée ci-dessus revient en force: comme les matrices $I$ et $\varphi$ sont indépendantes, ces deux équations Janus dégénère en 4 équations pour les tenseurs d'Einstein et les tenseurs d'énergie-impulsion. Des équations sans issue comme nous l'avons vu plus haut.
\section{Cinquième erreur}
Oublions toute la dérivation à partir d'un principe de moindre action. Table rase donc, aucune des quatre premières erreurs n'a plus cours. On part maintenant des équations (42) et (43) en oubliant comment elles ont été construites. On se demande alors quel sens donné aux produits $\varphi T^{(\pm)}_{\mu\nu}$. La section 4 nous renseigne immédiatement sur le sens que les auteurs voulaient y donner. En effet, les auteurs commencent cette section avec un raisonnement que l’on peut résumer en disant que le produit de la matrice $\varphi$ par le tenseur énergie impulsion $\plus{T}$ est un produit matriciel. C’est très clair en regardant les équations (44) et (45) qui garde le signe de la composante temporelle mais inverse celles des composantes spatiales, exactement comme le produit par la matrice diagonale +1, -1, -1, -1 qu’est $\varphi$ le ferait.
Ce produit matriciel est essentiel car c’est grâce à cela que les auteurs espèrent contredire Damour. Ce dernier montrait en effet~\cite{td} que, dans le cas particulier du modèle d’une étoile statique dans la limite Newtonienne, la deuxième équation Janus donne des termes espace avec le mauvais signe dans le membre de droite: non seulement un signe incompatible avec la première équation Janus mais un signe donnant des résultats physiques absurdes (pression de l’étoile augmentant du centre vers la surface). Et donc si cette matrice $\varphi$ vient inverser ces mauvais signes, tout est sauvé. Il apparaît donc clair que les auteurs ont cherché à voir comment ils pouvaient bidouiller leur équations Janus pour annihiler l'argument de Damour, et l'introduction de ce produit matriciel avec cette matrice $\varphi$ leur est apparu comme une solution.
Seulement voilà, $\varphi T^{(+)}_{\mu\nu}$ n'est non seulement pas un produit matriciel mais il est difficile de voir comment donner du sens à un tel produit. La voie qui consisterait à traiter $T$ comme une matrice et à écrire en fait $\varphi T$ est sans issue: dans un cadre géométrique comme celui-ci, on traite de tenseurs et pas de matrices. On pourrait tenter un produit tensoriel $\varphi_\mu^\rho T^{(+)}_{\rho\nu}$ mais alors il faudrait préciser quelle métrique on utilise pour monter et descendre les indices. Et ensuite, il faudrait poser que les composantes de $\varphi_\mu^\rho$ forme une matrice diagonale +1, -1, -1, -1.
La remarque qui s'impose est que les auteurs n'ont pas sérieusement réfléchi aux conséquences d'introduire $\varphi$. Ils ont même perdu de vue que c'était un produit matriciel dans la section 3! En conséquence de quoi, les sections 3 et 4 se contredisent. Mais ayant fait table rase de cette section 3, est-ce que les équations (42) et (43) sont viables une fois réécrites avec un bon choix de produit tensoriel?
\section{Sixième erreur}
En fait, il va s'agir plus d'une omission que d'une erreur. Le bidouillage de leurs équations avec $\varphi$ n'a permis aux auteurs que de construire un argument (faux!) contrant le deuxième argument de Damour. Mais les auteurs ne prennent pas en compte le premier argument de Damour. Argument que Henri-Couannier fit il y a bien longtemps dans les champs de commentaires youtube, et que j'ai essayé d'expliquer aussi dans ces mêmes champs plus tard. Prenons toutes les possibilités de donner du sens au produit de $\varphi$ et $T^{(\pm)}$:
\begin{align}
G^{(+)}_{\mu\nu} &= +\chi\left(T^{(+)}_{\mu\nu} + \sqrt{\frac{-\minus{g}}{-\plus{g}}}\varphi_{\mu\rho}g^{(\xi)\rho}_\sigma T^{(-)\sigma\nu}\right)\\
G^{(-)}_{\mu\nu} &= -\chi\left(T^{(-)}_{\mu\nu} + \sqrt{\frac{-\plus{g}}{-\minus{g}}}\varphi_{\mu\rho}g^{(\zeta)\rho}_\sigma T^{(+)\sigma\nu}\right)
\end{align}
$\xi$ et $\zeta$ sont ou bien $+$ ou bien $-$, indépendamment l'un de l'autre. Plaçons nous dans une région où il n'y a pas de matière négative et prenons la dérivée covariante de la première équations pour la métrique $\plus{g}$, et de la seconde pour la métrique $\minus{g}$. Cela annule les tenseurs d'Einstein, et il reste
\begin{align}
\nabla^{(+)\mu}T^{(+)}_{\mu\nu} &=0\\
\nabla^{(-)\mu}\left(\sqrt{\frac{-\plus{g}}{-\minus{g}}}\varphi_{\mu\rho}g^{(\zeta)\rho}_\sigma T^{(+)\sigma\nu}\right) &= 0
\end{align}
La première équation signifie que la matière à masse positive se déplace sur les géodésiques de $\plus{g}$. Mais elle se déplace aussi sur les courbes solutions de la deuxième équation. En général, il n'y a aucune raison pour que ces deux courbes soient les mêmes. Et donc les équation Janus ne sont pas consistantes quelle que soit la manière de les goupiller.
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{pip} Physical and mathematical consistency of the Janus Cosmological Model (JCM), J.P. Petit, G. d'Agostini, et N., Debergh, to appear in Progress in Physics, \url{http://www.jp-petit.org/papers/cosmo/2019-Progress-in-Physics-1.pdf}
\bibitem{td} Sur le \enquote{modèle Janus} de J. P. Petit., \url{http://www.ihes.fr/\~damour/publications/JanusJanvier2019-1.pdf}
\end{thebibliography}
\end{document}
@ontologiae

This comment has been minimized.

Copy link

@ontologiae ontologiae commented Mar 26, 2019

Bon, c'est très bien tout ça, mais ça ne vaut absolment rien si ce n'est pas publié, ou envoyé à la revue qui a publié le papier de JPP, Debergh et D'Agostini.

Donc, falloir le traduire en anglais et au boulot !

@luc-j-bourhis

This comment has been minimized.

Copy link
Owner Author

@luc-j-bourhis luc-j-bourhis commented Mar 30, 2020

@ontologiae Je n'avais pas vu votre commentaire. Peut-être lirez-vous ma réponse même un an après! Le papier que je critique n'a pas été publié. J'ose espérer que n'importe quel referee peut voir les problèmes que je souligne! Franchement, je me demande même si Petit l'a soumis ce papier.

Sign up for free to join this conversation on GitHub. Already have an account? Sign in to comment