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rook.tex

\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{aligned-overset} 

\newcommand{\Lagr}{\mathcal{L}}
\newcommand{\matr}[1]{\mathbf{#1}} 
\newcommand{\X}{\matr{X}} %Matrix von X
\newcommand{\y}{\matr{y}} %y als voller Vektor
\newcommand{\yct}{\ubar{\y}^\mathbf{T}} %Zentriert
\newcommand{\betahat}{\hat{\beta}} %betahat
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}

\begin{document}
\begin{align*}
  \Lagr(\beta_{0},\beta)
  &=\min_{\beta_{0}, \beta}
    \biggl\{
      \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \Bigl(y_{i}-\beta_{0}
        - \sum_{j=1}^p\beta_{j}\tilde{x}_{ij}\Bigr)^{\!2}
      + \lambda\sum_{j=1}^p \abs{\beta_{j}} \biggr\}\\
  &= \min_{\beta_{0}, \beta}
     \biggl\{
       \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N
       \Bigl(y_{i}-\beta_{0} -
         \sum_{j=1}^p\beta_{j}(x_{ij}-\bar{x}_{j})\Bigr)^{\!2}
       +\lambda\sum_{j=1}^p \abs{\beta_{j}} \biggr\}
\end{align*}

\begin{align*}
  \frac{\partial \Lagr}{\partial \beta_{0}}
  &=-\sum_{i=1}^N \Bigl(y_{i}-\betahat_{0}
      - \sum_{j=1}^p\betahat_{j}(x_{ij}-\bar{x}_{j})\Bigr)\\
  &= -\sum_{i=1}^{N}y_i +N\betahat_{0}
     +\sum_{j=1}^p \Bigl(\betahat_{j}\sum_{i=1}^N x_{ij} \Bigr)
     - N\sum_{j=1}^p\betahat_{j}\bar{x}_{j}\\
  &= -N\bar{y}+N\betahat_{0}+\sum_{j=1}^p\betahat_{j}N\bar{x}_{j}
     -N\sum_{j=1}^p\betahat_{j}\bar{x}_{j}\\
  &= -N\bar{y}+N\betahat_{0}
\end{align*}
Für die Nullstelle der Ableitung muss also
\[ \betahat_0 = \bar{y} \]
gelten.
Aus der Annahme, dass $\y$ zentriert ist, folgt für den kritischen Punkt
\[\betahat_{0}=0.\]
\end{document}