an example of Schwarz-Christoffel mapping with Adobe Illustrator and python

ai_schwarz_christoffel_mapping.md

Adobe Illustrator と python を使った Schwarz-Christoffel mapping の一例

Schwarz-Christoffel mapping という変換手法を使って、Illustrator でこんな図を作成してみました。

以下の頁を参考にさせて頂きました。
http://squircular.blogspot.jp/2015/09/schwarz-christoffel-mapping.html
ただし、大きさや向きを変更するための計算は省いています。
計算方法などの詳しい説明は、上記頁からリンクしている PDF ファイルにあります。
中心になる式だけを書くと、変換後の座標を得る式はそれぞれ以下のようになります。

四角から円に変換： F(acos(z), 1/sqrt(2))
円から四角に変換： cn(z, 1/sqrt(2))

 (ただし、z : 複素数（複素平面上の座標値）／ F : 第１種不完全楕円積分 ／ cn : ヤコビ楕円関数）

なるほどわからないのですが python のライブラリに頼ることにします。
Illustrator からはファイルを介して座標データをやりとりします。  

手順  

1. Illustratorから 座標を出力
2. それをpythonで変換して出力
3. それをIllustratorで描画

（以下で言及しているスクリプト（DLリンクのないもの）は、下の方に掲載しています。）

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1. Illustratorから 座標を出力

元になる形を Illustrator で描き、座標データをファイルに書き出します。

1-1. 曲線を折れ線化する

python側では座標値を変換するだけで曲線は扱えないので、あらかじめ曲線は折れ線化しておきます。
ここでは以前書いたスクリプト( brokenCurve.jsx )を使いました。パスを選択して実行し、元のパスとの最大誤差(単位:point)を指定して分割させます。

1-2. データを出力する

書き出す範囲を選択して、出力用スクリプト（getCoords.jsx）を実行します。

前述の PDF ファイル(p.19)にあるように、入力座標値は既定の領域の中にある必要があります。
入力が円の場合：原点を中心とした半径 1 の円。
入力が四角の場合：対角線が 2 * Ke (Ke=約1.854) の正方形を45度回転して、右の角を原点に置いた形。

スクリプトでは、取得した座標値をこの範囲に収まるように換算して出力します。
換算が正しく行われるように、選択範囲を囲む円周の上下左右の端、または正方形の各頂点にアンカーポイントが存在するようにしてください。

2. python で座標値を変換する

mapping.py を実行します。
やっていることは、ほぼ mpmath の関数に座標値を渡しているだけです。

3. 変換後の座標値を Illustrator で描画する

Illustrator で描画用スクリプト（drawCoords.jsx）を実行します。

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補足

1.

四角の頂点近くに位置していた円は、円でなくてカージオイドっぽい形になります。こういうものなのか、誤差があるのか。

2.

円 → 四角の変換結果です。円を円に写すわけではないのですね？ こういうものなのか、何か間違っているのか。

drawCoords.jsx

// Adobe Illustrator Script
// ファイルから座標値を取得して描画する。

// 入力ファイルの書式は、１行ごとに
// x座標値 y座標値
// の形式。（半角空白区切り）
// 線で描画する場合、空行をパス１つごとの区切り目とする。

// 座標値に対する倍率
var SCALE_FACTOR = 1.0;
// 線幅 (point)
var STROKE_WIDTH = 0.5;

// 座標を線として繋がずに点として描画する
var DRAW_DOTS = false;
// 座標を点（丸）として出力する場合の半径
var RADIUS = 1;

function main(){
    var txt = File.openDialog("select a TXT file", "TXT files:*.txt");
    if(txt && txt.open("r")){
        lines = txt.read().split("\n");
        txt.close();

        var pitems = activeDocument.pathItems;
        var p = null;  // PathItem
        var pts = null;  // PathPoints
        var dotColor = getBlack();
        var err = false;

        for(var i = 0; i < lines.length; i++){
            if(lines[i] == ""){
                // パス１つの描画の終了(線を描画するとき)
                // 点で描画するときは何も行わないだけ
                p = null;  
                continue;
            }

            if(DRAW_DOTS){
                // 点をドットで描画
                err = drawPoint(pitems, lines[i].split(" "), dotColor);
                if(err) break;
            } else {
                // 線を描画
                if(p == null){
                    // パス１つの描画の開始
                    p = pitems.add();
                    p.filled = false;
                    p.stroked = true;
                    p.strokeWidth = STROKE_WIDTH;
                    p.closed = true;
                    pts = p.pathPoints;
                }
                
                with(pts.add()){
                    var r = lines[i].split(" ");
                    anchor = [r[0] * SCALE_FACTOR,
                              r[1] * SCALE_FACTOR];
                    leftDirection = anchor;
                    rightDirection = anchor;
                }
            }
        }
    }
}

// 座標を点（小さい円）として描画する
// p: document.pathItems
// r: [x, y]
// dotColor: ドットの色
// 戻り値: エラー時=true, 正常時=false
function drawPoint(p, r, dotColor){
    try{
        // top, left, width, height
        var dot = p.ellipse(r[0] *SCALE_FACTOR + RADIUS,
                            r[1] *SCALE_FACTOR - RADIUS,
                            RADIUS*2, RADIUS*2);
        dot.filled = true;
        dot.stroked = false;
        dot.fillColor = dotColor;
    } catch(e) {
        alert("r=" + r + "\r" + e);
        return true;
    }
    return false;
}

function getBlack(){
    var gray = new GrayColor();
    gray.gray = 100.0;
    return gray;
}

main();

getCoords.jsx

// Adobe Illustrator Script

// 選択パスのアンカーポイントの座標値を、選択パスを含む範囲が
// -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1 の範囲になるように換算して
// ファイルに出力する。

// Schwarz-Christoffel mapping の入力データ用で外周が正方形の場合 true
var MODE_SQUARE = true;
// MODE_SQUARE 用の定数
var Ke = 1.8540746773013719;
// 出力座標値は 0 <= x <= -2*Ke, -Ke < y < Ke の範囲になる

function main(){
    if(app.documents.length < 1) return;
    var sel = app.activeDocument.selection;
    if(sel.length < 1) return;

    alert("getCoords\rMODE_SQUARE=" + MODE_SQUARE.toString());

    var points = [];
    for(var i = 0; i < sel.length; i++){
        // グループ、複合パス、効果が適用されているオブジェクトは対象外
        if(sel[i].typename == "PathItem"){
            getCoords(sel[i], points);
        }
    }
    if(points.length < 1){
        alert("選択オブジェクトから座標を取得できませんでした。");
        return;
    }

    var rect = getRectSpec(points);

    var k = MODE_SQUARE ? Ke : 1.0;
    var rate = k * 2.0 / Math.max(rect.height, rect.width);
    if(MODE_SQUARE) rect.center[0] = rect.right;
    
    // output
    var output_lines = [];
    for(var i = 0; i < points.length; i++){
        var p = points[i];

        if(p.length < 1){
            // 空の配列はパスごとの区切り。空行として出力
            output_lines.push("\n");
        } else {
            output_lines.push(
                (rate * (p[0] - rect.center[0])).toFixed(8)
                + " "
                + (rate * (p[1] - rect.center[1])).toFixed(8) + "\n");
        }
    }

    writeToFile(output_lines.join(""), "txt");
}

// ----------------------------------------------
// dat: 出力用データ。直接 File.write される
// ext: ファイル選択ダイアログのフィルタ用拡張子。例："txt"
function writeToFile(dat, ext){
    var afile = File.saveDialog("save to a file",ext + " File:*." + ext);
    if(!afile){ // cancel
      return false;
    }
    if(!afile.open("w")){
      alert("failed to open a file");
      return false;
    }
    afile.write(dat);
    afile.close();
    alert("saved");
    return true;
  }
  
// ----------------------------------------------
// 座標値のリストを元に、全体を囲む矩形範囲の情報を取得する
// points: 座標値 [x, y] の配列
// 戻り値: rect { left, right, top, bottom, center:[x, y], width, height }
function getRectSpec(points){
    var x = points[0][0];
    var y = points[0][1];
    var rect = {left:x, right:x, top:y, bottom:y, center:[x,y],
    width:0, height:0};

    for(var i = 1; i < points.length; i++){
        var p = points[i];
        if(p.length < 1) continue;  // パスごとの区切り

        x = p[0];
        y = p[1];

        if(rect.left > x) rect.left = x;
        if(rect.right < x) rect.right = x;
        if(rect.top < y) rect.top = y;
        if(rect.bottom > y) rect.bottom = y;    
    }
    rect.center = [(rect.left + rect.right)/2, (rect.top + rect.bottom)/2];
    rect.width = rect.right - rect.left;
    rect.height = rect.top - rect.bottom;
    return rect;
}
// ----------------------------------------------
// item: PathItem
// points: Array
function getCoords(item, points){
    var pts = item.pathPoints;
    for(var i = 0; i < pts.length; i++){
        points.push(pts[i].anchor);
    }
    points.push([]);  // パスごとの区切り。空行として出力
}
main()

mapping.py

#!python
# coding:utf-8
from __future__ import print_function

from tqdm import tqdm  # プログレスバー用
from mpmath import ellipf, ellipfun, acos

# Schwarz-Christoffel mapping
# 以下の頁を参考にさせて頂きました。ただし、変換元と大きさや向きを合わせるための計算は省いています。
# http://squircular.blogspot.jp/2015/09/schwarz-christoffel-mapping.html

# 別途作成した入力座標データを元にします。
# 入力ファイル名
INPUT_FILE = "coords.txt"
# 各行が「x座標 y座標」の形式。（ex.0.1234 -0.5678)
# 途中の空行は空行として出力される。
# mapping のための入力座標の範囲など詳しくは、上記頁からリンクしているPDF参照。

# 出力ファイル名
OUTPUT_FILE = "out_coords.txt"
# 入力ファイルと同じ形式。

# 出力時の倍率
OUTPUT_SCALE_FACTOR = 100.0

# 正方形 → 円 の変換をする場合、True。逆の場合は False
MODE_SQUARE_TO_CIRCLE = True


def loadData():
    u"""ファイルから座標データを読み取る"""
    coords = [];
    with open(INPUT_FILE, "r") as f:
        for line in f:
            line = line.strip()
            if line == "":
                # 空行はNoneとする
                coords.append(None)
                continue

            r = map(float, line.split(" "))
            w = complex(r[0], r[1])
            coords.append(w)

    print("loaded")
    return coords


def main():
    print("OUTPUT_SCALE_FACTOR = %f" % OUTPUT_SCALE_FACTOR)
    print("MODE_SQUARE_TO_CIRCLE = %s" % str(MODE_SQUARE_TO_CIRCLE))

    coords = loadData()

    zs = []  # 出力する複素数のリスト
    m = 0.5

    for w in tqdm(coords):
        if w is None:
            zs.append(None)

        elif MODE_SQUARE_TO_CIRCLE:
            # 正方形 --> 円
            zs.append(ellipfun("cn", w, m))
        else:
            # 円 --> 正方形
            zs.append(ellipf(acos(w), m))

    # 出力
    with open(OUTPUT_FILE, "w") as f:
        for z in zs:
            if z is None:
                # 入力ファイルの空行は出力時も空行とする
                f.write("\n")
            else:
                # Illustratorに描かせるので、小数点以下は4桁程度にしてみた
                f.write("%.4f %.4f\n"
                  % (z.real * OUTPUT_SCALE_FACTOR,
                     z.imag * OUTPUT_SCALE_FACTOR))
    print("done")

if __name__=="__main__":
    main()