Upload.cs

public IActionResult Upload(IFormFile arquivo)
{
  //Cria um blob client
  CloudBlobClient blobClient = _storageAccount.CreateCloudBlobClient();

  //Recupera a referencia do container documentos
  CloudBlobContainer container = blobClient.GetContainerReference("documentos");

  //Caso não exista, ele cria
  container.CreateIfNotExists();

  //Setar permissão de acesso para 'público'
  container.SetPermissions(
      new BlobContainerPermissions { PublicAccess = BlobContainerPublicAccessType.Blob }
  );

  //Recupera a referência de um blob chamado 'cliente01'
  CloudBlockBlob blockBlob = container.GetBlockBlobReference("cliente01.pdf");

  //Stream do arquivo
  Stream streamFile = arquivo.OpenReadStream();

  //Cria ou substitui o blob com o conteúdo do upload
  blockBlob.UploadFromStream(streamFile);

  return RedirectToAction("VerArquivos");
}