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各種演算式
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内積（スカラー積）：
$A・B = |A| |B| cos(AB) ※AとBの内積。$ -
外積（ベクトル積）：
$A×B ※AとBの外積。|A×B| = |A| |B| sin(AB)$ -
$\nabla = i \frac{\partial}{\partial x} + j \frac{\partial}{\partial y} + k \frac{\partial}{\partial z} ※\nabla：ナプラ（ハミルトン演算子）$ -
$div A = \nabla \cdot A = \frac{\partial Ax}{\partial x} + \frac{\partial Ay}{\partial y} + \frac{\partial Az}{\partial z} ※divAはＡの発散という（スカラ積）$ -
$grad \varphi = \nabla \varphi （ベクトル積）$ -
$rot A = \nabla \times A = \begin{pmatrix} \frac{\partial Az}{\partial y} - \frac{\partial Ay}{\partial z} \\ \frac{\partial Ax}{\partial z} - \frac{\partial Az}{\partial x} \\ \frac{\partial Ay}{\partial x} - \frac{\partial Ax}{\partial y}\end{pmatrix}= \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ Ex & Ey & Ez \end{vmatrix} ※\nabla \times：ナプラクロス$ -
$\displaystyle \nabla^2\varphi = \nabla \cdot (\nabla \varphi) = \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial z^2}$ ※
$\nabla ^2 = \Delta ラプラスの演算子（ナプラ２乗、ラプラシアン）（スカラ積）$
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ベクトル積の演算
$A \times ( B \times C ) = ( A \cdot C ) B - ( A \cdot B ) C $ $\therefore \nabla \times (\nabla \times E) = (\nabla \cdot E ) \nabla - (\nabla \cdot \nabla ) E = (\nabla \cdot E ) \nabla - \nabla ^2 E $ -
加法定理
$ \\ \begin{cases}{\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta} \\ {\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} \end{cases} \\ ※α＝β＝Θとする事で倍角公式が導出できる。$ -
二項定理
$\ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{1 \times 2} x^2 + \cdots$ -
覚えていて便利な値
$log 2 \fallingdotseq 0.3, log 3 \fallingdotseq 0.48 $ $\frac{1}{\pi} \fallingdotseq 0.32, \pi^2 \fallingdotseq 10 $
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$\nabla\times H = J + \frac{\partial D}{\partial t} = J_0 + ( \sigma + jw\varepsilon ) E ※拡張されたアンペアの方式$ -
$\nabla\times E = -\frac{\partial B}{\partial t} = -jw\mu H ※ファラデーの法則$ $\begin{cases} D = \varepsilon E = \varepsilon_s \varepsilon_0 E = \varepsilon E_0 \epsilon ^jwt \\ E = \mu H = \mu_s \mu_0 H = \mu H_0 \epsilon ^{jwt} \\ J = J_0 + \sigma E ※\sigma ：導電率 \end{cases} \\ $ -
以下、
$J_0=0$ とした場合について。$\nabla\times\nabla\times E = -jw\mu \nabla \times H$ $= -jw\mu ( \sigma + jw\varepsilon ) E$ $= \nabla \nabla \cdot E - \nabla^2 E $ $= - \nabla^2 E$ $\therefore \nabla^2 E - jw\mu ( \sigma + jw\varepsilon ) E =0$ $\therefore \nabla^2 E + \gamma^2 E = 0, \gamma^2 = -jw\mu ( \sigma + jw\varepsilon )$ 本式を、Eに関する波動方程式と言う。
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誘電率が大きいほうに電波は曲がっていく。上空に行くにつれて電子密度は上がっていくが、電子密度が上がると誘電率は逆に下がるため、電離層で下向きに反射する。
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夜間になると電離層反射しやすくなるのは、D層が夜間になると消えるため、D層での電波吸収がなくなりE層に到達するため。
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データの種類とグラフ表現
- 量的変数：数えられる数か否かで判別する
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量的変数の要約方法
- 四分位範囲：
$Q_3-Q_1$ - 範囲：最大値と最小値の差
- 四分位範囲：
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変数データの分析
- 1変数データの分析
- 変動係数：標準偏差を平均値で割った値
- 偏差：
$\sum (x_i -\bar{x})$ - 偏差平方和：
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n \bar{x}^2 $ - 平均偏差：
$\frac{1}{n}\sum |x_i -\bar{x}|$ - 分散：
$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i -\bar{x}) ^2 = \frac{1}{n}\sum x_i ^2 -\bar{x}^2$ - 標準偏差：
$s=\sqrt{\sigma ^2}$ - 偏差値：
$\frac{X-\bar{x}}{s}\times10 + 50$ - 幾何平均値：
$\sqrt[n]{x_1\times x_2 \times \dots \times x_n}$
- 2変数データの分析
- 共分散
$\displaystyle S_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\bar{y} $ - 相関係数
$\gamma = \frac{S_{xy}}{S_x S_y}$
- 共分散
- 1変数データの分析
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回帰直線と予測
$\hat{\beta} = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = r_{xy} \frac{s_y}{s_x}、\hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x} $
統計学では推定値や予想値を表す記号として^を用いることが多い。 -
確率
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確率変数と確率分布
二項分布と正規分布は、それぞれ離散型確率分布と連続型確率分布の代表的な分布
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二項分布：
成功確率pが一定の反復試行をn回行ったとき、成功回数Xを確率変数とする離散型確率分布を二項分布という。pと反復試行回数nによって形状が決まる⇒B(n,p)
$\mu = np,\sigma^2 = np(1-p), \sigma=\sqrt{np(1-p)}$ -
正規分布：
連続型確率分布は離散型確率分布と異なり確率変数Xに対しある値xをとる確率P(X=x)が決まるのではなく、関数$f(x) \ge 0$ で分布全体を表す。この関数f(x)を確率変数Xの確率密度関数という。最も重要な連続型確率分布は正規分布である⇒$N(\mu,\sigma^2)$
$Z = (X - \mu)/\sigma$ と変換すると、Zは平均0、分散1の正規分布N(0,1)に従う。 -
確率変数Xが二項分布B(n,p)に従いnが大きいとき、確率変数Xが従う分布は正規分布N(np,np(1-p))で近似できる。
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データの収集：実験・観察・調査
- 実験研究と観察研究：前者は研究者の介入あり。
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統計的な推測、区間推定
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母集団の興味ある特性の平均や比率の値をそれぞれ母平均、母比率と表現する。母平均、母比率を知りたいが、全数調査が難しいときには母集団から無作為抽出により標本を選ぶ標本調査を行う。標本から計算した推定値を標本平均、標本比率と表現し、母平均、母比率と区別する。
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標本平均
$\bar{X}$ の標本分布：
母平均$\mu、母分散\sigma^2をもつ母集団から大きさnの標本としてX_1, X_2,\dots,X_nを無作為抽出するとき、$
これらはn個の確率変数であり、それらの標本平均$\displaystyle \bar(X)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_iも確率変数である。$
重要な性質１：n個の確率変数$X_1,X_2,\dots,X_nが互いに独立に母平均\mu、母分散\sigma^2の分布に従い、nが大きいとき、$
標本平均$\bar{X}は正規分布N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})に近似的に従う$
$Z = \displaystyle \frac{\bar{X}-u}{\sigma\sqrt{n}}は標準正規分布N(0,1)に近似的に従う$ - 母平均
$\muの信頼区間：\displaystyle p(|\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}|\leq 1.96) = 0.95$
- 母平均
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標本比率
$\hat{p}$ の標本分布：
重要な性質２：二項分布B(n,p)に従う確率変数Xの平均と分散はそれぞれnp,np(1-p)である。
従って、標本比率$\hat{p} = X /nの平均と分散はそれぞれp、p(1-p)/nである。$
nが大きいとき二項分布は正規分布で近似できることから、標本比率$\hat{p}は正規分布N(p,\frac{p(1-p)}{n})に近似的に従う$
$Z = \displaystyle \frac{\bar{p}-u}{\sqrt{p(1-p)/n}}は標準正規分布N(0,1)に近似的に従う$ - 母比率pの信頼区間：
$\displaystyle p(|\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\hat{p}(1-p)/n}}|\leq 1.96) = 0.95$
⇒母視聴率pに対する信頼度95%の信頼区間を求める
- 母比率pの信頼区間：
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仮説検定
- 帰無仮説、対立仮説を立てる
- 有意水準を決める
- 帰無仮説の下で棄却域を決める
- 判断をする
コイン投げの例：
- B(n,p)よりN(np, np(1-p))
$\sigma^2=np(1-p)より\sigma が求まる$ $Z=(X-\mu)/\sigma にて標準正規分布N(0,1)に変換$ - 標準正規分布の上側確率表よりPを求めて、帰無仮説が棄却されるか否かが判る
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