4.3.md

4.3.md

Аналіз методу простої ітерації для розв'язання системи лінійних рівнянь

Вступ

Представлений код реалізує метод простої ітерації (також відомий як метод Якобі) для розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Цей ітераційний метод є альтернативою прямим методам, таким як метод Гауса, і особливо ефективний для розріджених систем або систем з діагональним домінуванням.

Покроковий аналіз

1. Оголошення функції та ініціалізація

def simple_iteration(epsilon=0.001, max_iter=1000):
    # Початкове наближення (можна змінити за потреби)
    x = [0, 0, 0, 0]

Функція simple_iteration приймає два параметри:

• epsilon - допустима похибка (критерій зупинки ітерацій)
• max_iter - максимальна кількість ітерацій

Початкове наближення розв'язку встановлюється як нульовий вектор [0, 0, 0, 0]. У загальному випадку, можна обрати будь-яке початкове наближення, але вдалий вибір може пришвидшити збіжність.

2. Основний цикл ітерацій

for k in range(1, max_iter + 1):
    x_new = [0, 0, 0, 0]
    # Обчислення за формулами
    x_new[0] = (0.32 * x[1] - 0.23 * x[2] + 0.41 * x[3] + 0.67) / (1 - (-0.06))
    x_new[1] = (0.18 * x[0] - 0.33 * x[2] - 0.88) / (1 - 0.12)
    x_new[2] = (0.12 * x[0] + 0.32 * x[1] + 0.67 * x[3] - 0.18) / (1 - (-0.05))
    x_new[3] = (0.05 * x[0] - 0.11 * x[1] + 0.09 * x[2] + 1.44) / (1 - (-0.12))

У цьому блоці відбувається основна робота методу. На кожній ітерації:

1. Створюється новий вектор x_new для зберігання наступного наближення
2. Обчислюються нові значення для кожної змінної за спеціальними формулами

Ці формули отримані перетворенням системи рівнянь до вигляду x = φ(x). Для цього кожне рівняння переписується таким чином, щоб виразити одну змінну через інші.

Наприклад, перше рівняння виглядає як: 1.06x₁ - 0.32x₂ + 0.23x₃ - 0.41x₄ = 0.67

Звідси x₁ виражається як: x₁ = (0.32x₂ - 0.23x₃ + 0.41x₄ + 0.67) / 1.06

Що в коді записано як:

x_new[0] = (0.32 * x[1] - 0.23 * x[2] + 0.41 * x[3] + 0.67) / (1 - (-0.06))

Аналогічно для інших змінних.

3. Перевірка збіжності

# Обчислення максимальної різниці між ітераціями
diff = max(abs(x_new[i] - x[i]) for i in range(4))
print(f"Iteration {k}: x = {x_new}, diff = {diff:.6f}")
# Перевірка досягнення заданої точності
if diff < epsilon:
    return x_new, k
x = x_new

Цей блок коду:

1. Обчислює максимальну абсолютну різницю між поточним і попереднім наближеннями (diff)
2. Виводить інформацію про поточну ітерацію
3. Перевіряє, чи досягнуто заданої точності (diff < epsilon)
4. Якщо так, повертає поточне наближення та кількість виконаних ітерацій
5. Якщо ні, оновлює вектор x для наступної ітерації