Содержание темы уравнения. Решение уравнений. Решение текстовых (прикладных) задач с помощью уравнений. Обеспечение вариативности обучения на приеме изучения этой темы
Особенности методики обучения решению текстовых задач с помощью составления уравнений в 5-6 классах
Методика обучения решению задач с помощью пропорций
Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителей, задающим масштаб модели. Справедлива и другая пропорция, которая показывает, что отношения точек оригинала такие же, как и отношения расстояний соответствующих точек модели. Пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали только пропорции, составленных из натуральных чисел. Древние греки использовали законы пропорции для строительства зданий. Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры — Парфенон — построено в V в. При строительстве фасада этого здания использовано золотое сечение. Египтяне использовали золотое сечение при строительстве пирамид. Древнегреческие математики с помощью пропорций решали задачи, которые в настоящее время решают с помощью уравнений, выполняли алгебраические преобразования, переходя от одной пропорции к другой. Роль теории пропорции заметно уменьшилась после того, как было осознано, что отношение величин является числом может быть, иррациональным , а поэтому пропорция — это равенство чисел. Это позволило вместо пропорции использовать уравнения, а вместо преобразований пропорций — алгебраические преобразования. Систематизировать знания по данной теме и отбор соответствующего теоретического материала. Задачи на пропорции по традиции изучаются в курсе математики 6-х классов. Считается, что именно в этом возрасте учащиеся должны научиться решать пропорции, ознакомится с двумя практически важными зависимостями — прямой и обратной пропорциональностями, научится их различать и решать соответствующие задачи. Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для последующего изучения математики, формирования первоначальных представлений о функции [14]. Эта тема демонстрирует учащимся широту спектра областей, в которых могут возникать пропорции. Необходимо чтобы учащиеся усвоили эту тему, так как оно находит применение на уроках математики, химии, физике при решении задач ; географии, черчении , технологии масштаб и т. С задачами, решение которых сводится к составлению пропорций, встречаются люди любой профессии, начиная от домохозяйки, кончая учеными в разных областях наук [15]. Вопрос о пропорциях рассматривается в школьном курсе математики дважды: Обычное определение о пропорции как равенства двух отношений полезно сопровождать указанием на то, что четыре числа, ее составляющих, называются пропорциональными. Утверждая, что каких-нибудь четыре числа, например, 8, 6, 4, 3, пропорциональны, мы тем самым утверждаем, что из них можно составить пропорцию, причем эти числа берутся в том порядке, в каком они указываются, а именно составляется отношение первого из них ко второму и третьему к четвертому. Запись короче и удобнее, чем запись 8: Далее никаких затруднений не вызовет и запись пропорции в общем виде или. Проверив его на ряде примеров, дают его логическое доказательство. Доказав, что в случае пропорциональности четырех чисел a, b, c, d произведения ad и bc равны, естественно переходим к вопросу, верно ли обратное предположение. Третий, заключительный, шаг в изучении пропорции — разыскание неизвестного члена пропорции, т. После этого переходим к решению уравнений с использованием основного свойства пропорции. Изучение дополнительных тем сопровождается решением задач с помощью пропорций. Типичные ошибки и затруднения, учащихся при изучении пропорций и их применения к решению задач. Задачи на пропорции всегда оказываются особенно сложными для детей и подростков. С точки зрения пиажеанского подхода способность решать задачи на метрические пропорции является признаком перехода на высшую стадию развития мышления стадию формальных операций — и возникает лишь в возрасте примерно 11 лет. Показано, что даже подростки часто испытывают затруднения при решении задач на пропорции в тех случаях, когда для решения задачи необходимы вычисления. Задачи на определение неизвестной величины в пропорции, требующие осуществления вычислений по известной формуле, оказываются проще. Более сложными являются задачи на сравнение, в которых необходимо сравнить два отношения; они начинают правильно решаться в более старшем возрасте [11]. Но, несмотря на это, учащиеся средней школы все-таки не овладевают в достаточной степени умениями необходимыми для их решения. Причин этому много, но основная из них — недостаточная работа с учащимися по раскрытию связей между различными величинами, а также отсутствие единого подхода к записи условия и решения задач на уроках по различным предметам. Для изготовления варенья из инжира нужно взять 3 кг сахара на каждые 4 кг свежего инжира. Сколько сахара потребуется, чтобы сварить варенье из 10 кг инжира? Приведенная форма записи условия задачи и оформления ее решения доступна всем учащимся, такой способ решения хорошо запоминается. В процессе решения задач на пропорцию желательно рассмотреть и такие задачи, для решения которых предварительно требуется найти дополнительные данные. Думая над этим вопросом, учащиеся обнаруживают, что в условии не дано расстояние от Москвы до Махачкалы. Однако это число км — воздушная трасса можно найти в справочнике или пользуясь графической картой. Для эффективного обучения решению задач на пропорции целесообразнее использовать методы, связанные с предметной практической деятельностью самих учащихся; это позволяет им лучше понять суть пропорциональных отношений между величинами [11]. Числа изображены на карточках, которые демонстрируются учащимся поочередно. На обратных сторонах карточек записаны ответы. По материалу каждой карточки задаются дополнительные вопросы: Пропорцией называется равенство двух отношений. Числа, составляющие пропорцию 1,4; 0,7; 50; 25 , называют членами пропорции. Вывод делают сами ученики. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Итак, мы сформулировали основное свойство пропорции: Запишем основное свойство пропорции:. На размышление учащимся дается две минуты, затем верное решение демонстрируется на доске с помощью следующей таблицы. Таблица не убирается до конца урока. Применение основного свойства пропорции при решении уравнений. Учащиеся записывают в тетрадях. Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны. Неизвестный крайний член пропорции равен произведению средних членов, деленному на известный крайний член пропорции. Неизвестное число х является средним членом пропорции. Используя основное свойство пропорции, можно записать,. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный средний член пропорции. Работа с карточками при выполнении устных упражнений экономит время учителя и учащихся и обеспечивает наглядность. Один из фрагментов данного плана-конспекта показывает возможность создания проблемной ситуации в конкретных условиях, что позволяет включить каждого ученика в активную учебно-познавательную деятельность и учитывать требования уровневой дифференциации обучения. В нем содержится 18 задач. Причем, начиная с образцов в учебном тексте, соответствующие значения величин выражаются десятичными дробями или натуральными числами, отношения которых не выражаются целыми числами. Кроме того, треть всех задач — задачи на проценты. Сами пропорции ненамного обогащают арсенал способов решения задач, используемых школьниками в процессе изучения всего курса математики классов, а без нарастания сложности задачи не оказывают желаемого влияния на развитие школьников. На небольшом числе несложных однотипных задач не всегда удается достичь еще одной важной цели — научить школьников хорошо различать прямую и обратную пропорциональность [13]. Во-вторых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения. В-третьих, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними. Только после этого, для подготовки к решению более сложных задач на пропорциональные величины нужно показать учащимся способ решения изученных задач вообще без пропорций. Первые задачи предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на подготовку к введению понятий прямой и обратной пропорциональности. Наблюдения, полученные учащимися при решении задач , нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональности. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их купили в 2 раза меньше? Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых в 2 раза дороже? Имеются деньги на покупку 30 карандашей. Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза? Велосипедист за несколько часов поехал 36 км. Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста? Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч. За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста? Перейдем к решению задач с помощью пропорций. Первая из них содержит целые значения величин, отношение которых тоже целое число. За 6 ч поезд прошел км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна? В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны. Здесь и далее уменьшение величины показываем вниз, а увеличение — стрелкой вверх. В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее в направлении стрелок. На первых порах это число должно быть целым, позднее — дробным. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров? В этой задаче, как и во многих других задачах, предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащиеся внимательнее относились к такого рода условиям. Чтобы у них не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов — прямой и обратной пропорциональностью, - полезно рассматривать провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц? Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность: Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз. Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель? Так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полностью покрылся лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину. То есть пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель. До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух известных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: В случае затруднения нужно просить учащихся округлить данные и дать ответ сначала приближенно, а потом точно. Так для задачи 10 учащиеся могут сказать: Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна? Если учащиеся хорошо освоили применение пропорции, то им можно показать способ решения тех же задач без пропорций. Применим его к задаче Количество сукна увеличилось в раза, значит, денег во второй раз было в раза больше, на них можно купить ситца в раза больше:. Некоторое расстояние пассажирский поезд проходит за 3 ч, а скорый поезд — за 2 ч. Однажды эти поезда одновременно вышли навстречу друг другу из двух городов. Пассажирский поезд прошел км до встречи со скорым. Сколько километров прошел скорый поезд до встречи с пассажирским? Первый раз поезда прошли один и тот же путь, при этом скорость обратно пропорциональна времени, то есть путь, пройденный скорым поездом, в раза больше скорости пассажирского. А во второй раз постоянным было время движения, при этом расстояние прямо пропорционально скорости, то есть путь, пройденный скорым поездом, в раза больше пути, пройденного пассажирским поездом. Составим пропорцию , решив которую, получим. Скорый поезд до встречи с пассажирским прошел км. Речь идет о трудной теме, хотя многие сначала не видят в ней сложностей. Вроде бы все известно. Уже хорошо отработаны понятия: Теперь надо только по-новому назвать одно специфическое отношение — расстояние на карте между двумя пунктами к расстоянию между теми же пунктами на местности. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. Учитель должен знать о тех трудностях которые неизбежны, и помочь своим воспитанникам, хорошо продумав способ изложения и закрепления материала. В изложении особых трудностей не будет, а вот при закреплении, т. На первых порах учащиеся спрашивают: Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте расстояние между ними 12,6 см? Учащиеся должны каждый раз видеть, что вычисляется отношение величин, измеренных одной и той же единицей. Затем, проговаривая определение масштаба, заполняем две последние клетки в таблице. А карта у нас одна и та же? Значит, масштаб в обоих случаях один и тот же? Тогда мы можем прировнять два отношения:. Вот теперь учащиеся вступают на достаточно известную дорогу. Они уже отработали способ решения уравнений такого вида. Записывают равенство произведения крайних членов пропорции произведению ее средних членов и находят значения х:. Здесь, как правило, учащиеся торопятся умножать. Но этого делать не следует. Надо попытаться сначала сократить дробь, воспользовавшись равными отношениями 12,6: Такой подход демонстрирует учащимся возможность отказаться от калькулятора, не загружая себя скучной вычислительной работой. Отрезок на местности длиной 3 км изображен на карте отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображающего отрезок на карте длиной 1,8 см? Составляем таблицу, подробно разбирая, в какую строчку какое данное записать. При этом вводим две переменные. Это во-первых, делает наглядной запись условия, а во-вторых, служит подготовкой к решению задач с двумя неизвестными. Ведя такую беседу и каждый раз проговаривая определение масштаба, что очень важно , получаем уравнение 2: Снова вспоминая понятие масштаба, получаем уравнение 2: Конечно, в более сильных классах можно не проговаривать определение масштаба каждый раз. Но таблица, облегчающая запись решения задач, думаю, поможет всем учащимся. Масштаб используют не только при вычерчивании карт. Прежде чем построить здание или сделать шагающий экскаватор, их чертят на бумаге. Конечно, все размеры при этом уменьшают, используя подходящий масштаб. А если нужно изготовить маленькие наручные часы? Их детали тоже сначала вычерчивают на бумаге, но в увеличенном виде. Для этого применяют масштаб, который больше 1 Площадь поля 12 га, из них 8 га засеяно пшеницей. Какая часть поля засеяна пшеницей? Чтобы решить эту задачу, надо 8 разделить на Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно разделить первое на второе. Площадь поля 3 га, этого поля засеяли рожью. На какой площади посеяли рожь? Чтобы решить эту задачу, надо найти от 3 га. На площади 6 га посеяна гречиха, эта площадь составляет поля. Эту задачу очень легко решить уравнением. Обозначим площадь всего поля буквой х. Тогда - это площадь, на которой посеяна гречиха, т. Решая его, получаем га. Если известна дробь, показывающая, какую часть искомого числа составляет данное число, то, чтобы найти искомое число, нужно данное число разделить на дробь; другими словами: Сколько учеников класса имеют пятерку? Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 64 кг сушеных? В 85 г железной руды содержится 51 г железа. Сколько процентов железа содержится в железной руде? Для изготовления посуды часто применяют сплав с красивым названием нейзильбер в быту его называют мельхиором. Это сплав никеля, цинка и меди, массы которых берут пропорциональными числам 3, 4 и Сколько килограммов этих металлов требуется для получения кг нейзильбера? Обозначим буквами x , y и z неизвестные массы никеля, цинка и меди. Условие задачи означает, что выполняется двойная пропорция: Обозначив буквой коэффициент пропорциональности, получим:. Так как сумма x , y и z равна , должно выполняться равенство. Перепишем его, применив распределительный закон умножения: Пятна от чая удаляются смесью глицерина и нашатырного спирта, взятых в отношении 4: Сколько надо взять нашатырного спирта для пятновыводителя, если глицерина взято 50 г? Обозначим за х количество нашатырного спирта взятого для пятновыводителя, тогда - это отношение смеси, а оно нам известно. Составим пропорцию и решим ее:. Возьмем квадрат и обозначим буквой а длину его стороны, а буквой Р его периметр. Значит, для вычисления Р нужно знать величину а. В таких случаях говорят, что Р зависит от а. Говорят также, что между величинами а и Р имеется зависимость. У этой зависимости есть одно замечательное свойство, а именно: Иначе говоря, какие бы квадраты мы не брали, их периметры пропорциональны длинам сторон с коэффициентом пропорциональности 4. Зависимость между величинами называют прямо пропорциональной, если отношение этих величин остается постоянным. Обозначим величины буквами х и y. Тогда прямо пропорциональная зависимость между ними выразится формулой. Представьте, что вам поручили вырезать из бумаги несколько прямоугольников. Но с одним непременным условием: Обозначим буквами x и y длины смежных сторон прямоугольника. Про такие величины говорят, что они обратно пропорциональны, а число 4 называют коэффициентом обратной пропорциональности. Зависимость между величинами называют обратно пропорциональной, если произведение этих величин остается постоянным. В 8 классе изучается функция и ее график. Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны [5. При решении задач, с помощью пропорций, у учащихся развивается логическое мышление, они приучают детей пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Решая такие задачи, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на правильно организованном уроке. Таким образом, поставленные нами задачи при изучении поставленной проблемы выполнены, а поставленная цель работы достигнута. Решение задач с помощью пропорций. Совайленко обучения математике в классах: Помощь детям в решении задач на пропорции: Текстовые задачи в школьном курсе математики. Методика обучения решению задач с помощью пропорций. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА по теме Методика обучения решению задач с помощью пропорций Выполнили: Теоретический аспект изучения пропорций в школе 5 1. Типичные ошибки и затруднения учащихся при изучении пропорций и их применение к решению задач. Методика обучения решению задач с помощью пропорций в курсе математики основной школы 10 2. Изучение пропорции и ее основного свойства в курсе математики 6 класса. Обучение решению задач с помощью пропорций в 6 классе. Методика обучения шестиклассников решению задач с использованием пропорций. Применение пропорций при решении практических задач. Применение пропорций при решении алгебраических и геометрических задач. Связь пропорций с функциями: Использование пропорций при решении задач на подобие фигур. Разработать методику обучения решению задач с помощью пропорций. Теоретические аспекты изучения пропорций в школе 1. Подписаться на рассылку Pandia. Интересные новости Важные темы Обзоры сервисов Pandia. Основные порталы, построенные редакторами. Бизнес и финансы Бизнес: Каталог авторов частные аккаунты. Все права защищены Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов. Минимальная ширина экрана монитора для комфортного просмотра сайта: Мы признательны за найденные неточности в материалах, опечатки, некорректное отображение элементов на странице - отправляйте на support pandia. Теоретический аспект изучения пропорций в школе. Методика обучения решению задач с помощью пропорций в курсе математики основной школы. Масса сахара в кг. Масса инжира в кг. Время полета в ч. О проекте Справка О проекте Сообщить о нарушении Форма обратной связи. Авторам Открыть сайт Войти Пожаловаться. Архивы Все категории Архивные категории Все статьи Фотоархивы. Лента обновлений Педагогические программы. Правила пользования Сайтом Правила публикации материалов Политика конфиденциальности и обработки персональных данных При перепечатке материалов ссылка на pandia.
Хронологические события войны 1812 года
Шишкин дождь в дубовом лесу описание картины
Результаты огэ 2017 математика профиль
Сервер host food описание
Болезни абиссинских кошек
Печать на холсте какой принтер выбрать