= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Комплексные числа для чайников
§27. Понятие и представления комплексных чисел
Комплексные числа
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Длина вектора r , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается z или r. Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно см. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия в пространстве. Понятие и представления комплексных чисел. Действия над комплексными числами.. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач.
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число [3]. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач в различных областях математики и физики. При любом из способов определения арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка больше-меньше , потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона. На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных. Множество комплексных чисел является двумерным векторным пространством. Определим отношение эквивалентности для многочленов с вещественными коэффициентами. На множестве классов эквивалентности можно задать структуру кольца с единицей. Это поле изоморфно полю комплексных чисел. Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Такая плоскость называется комплексной или плоскостью Аргана. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями. Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат , в которой координатами точки являются расстояние до начала координат модуль и угол радиус-вектора точки показанного синей стрелкой на рисунке с горизонтальной осью аргумент. В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство. Модулем абсолютной величиной комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости или, что то же самое, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат. На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком. Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию ; перечислим её свойства. Из этого следует, что многочлен с вещественными коэффициентами имеет либо только действительные корни, либо, если он имеет корни с ненулевой мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряжённых. Произведение комплексно-сопряженных чисел важно в квантовой механике: Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции. Применяя формулу Эйлера к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:. Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:. В современной символике она опубликована Эйлером в году. Комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры над полем вещественных чисел. Если функция комплексного переменного имеет производную в некоторой области, то она имеет производную любого порядка. Он получил для этой задачи квадратное уравнение для одного из слагаемых, и нашёл его корни: В комментарии к решению он написал: Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин , впервые описал Бомбелли Лейбниц , например, писал [ когда? Несмотря на это, математики смело применяли формальные методы алгебры вещественных величин и к комплексным, получали корректные вещественные результаты даже из промежуточных комплексных, и это не могло не начать внушать доверие. Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм , на комплексную область. Эйлер также высказал в году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Арифметическая стандартная модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном ; это доказало непротиворечивость их свойств. Но это прошло незамеченным. Аргана , повторявшей независимо выводы Весселя. Таким образом было обнаружено, что комплексные числа пригодны и для выполнения чисто алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов на плоскости, что сильно изменило векторную алгебру. В развитие этого подхода начались поиски способа аналогично представить и вектора в трёхмерном пространстве. Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Возможно, этот раздел содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники , в противном случае он может быть удалён. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи: При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы: Большая советская энциклопедия , 3-е изд. Советский энциклопедический словарь , стр. В Большой российской энциклопедии том 14, год приводятся варианты: Орфографический словарь русского языка изд. Теория функций комплексной переменной. Статьи, подозреваемые в наличии оригинальных исследований с июня года Статьи, требующие уточнения источников Википедия: Нет источников с апреля Википедия: Статьи без источников тип: Статьи с утверждениями без источников более 14 дней Статьи со ссылками на Викиучебник Википедия: Ссылка на Викисклад непосредственно в статье Википедия: Ссылка на Викиучебник непосредственно в статье Википедия: Статьи с нерабочими ссылками с сентября Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Просмотр вики-текста История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 30 октября в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Комплексные числа в Викиучебнике. Комплексные числа на Викискладе.
Как правильно уложить вьющиеся волосы
Лента каталог товаров бассейны
Сколько стоит бмх в россии
Модульное оригами схемы объемное сердце
Видное южная промзона владение 7 на карте