Решить двойной интеграл
Практическое занятие 2.3. Двойной интеграл, расстановка пределов, вычисление в декартовой системе координат
Вычисление двойных интегралов
Some of these cookies are essential to make our site work and others help us to improve by giving us some insight into how the site is being used. By using our site you accept the terms of our Privacy Policy. Двойные интегралы в произвольной области. Уравнения N -го порядка. Выразим двойной интеграл через повторный: Преобразуя двойной интеграл в повторный, получаем:
Двойной интеграл по плоской области D , от заданной на ней функции записывают так:. Вычисление двойного интеграла сводят к последовательному вычислению двух линейных интегралов по переменным x и y. Область D называют правильной, если прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее границу не более чем в двух точках рис. Неправильную область можно разбить на части и представить как объединение правильных областей, например D 1 и D 2 рис. Плоскую область D правильной формы считают заданной , если известны уравнения ограничивающих ее линий. Напомним, что элементарные части элементарные области , на которые разбивают область D при составлении интегральной суммы, были обозначены в круглых скобках:. Для этого разобьем D на элементарные части прямыми, параллельными координатным осям рис. Тогда мера элементарной части будет равна площади прямоугольника:. Пусть уравнение линии, ограничивающей правильную область D известно. Найдем пределы изменения переменных х и у внутри этой области. Для этого спроектируем ее крайние точки А и В на ось Ох рис. Получим отрезом [ a,b ], в пределах которого изменяется переменная х внутри D. Далее, заметим, что точки А и В делят на две части линию, ограничивающую область D. Пусть уравнения этих линий: В результате двойной интеграл 2. Внутренний интеграл берут по переменной y , при этом x — считают постоянной. После нахождения первообразной и подстановки пределов во внутреннем интеграле остается одна переменная x , по которой вычисляют внешний интеграл. Порядок интегрирования в выражении 2. Чтобы внешний интеграл вычислялся не по x , как следует из формулы 2. Тогда проекции ее крайних точек дадут постоянные пределы во внешнем интеграле для y. Внутренний же интеграл следует вычислять по переменной x , при этом пределы у этой переменной будут зависеть от у. Таким образом, у внешнего интеграла в обоих случаях пределы постоянны, они равны проекциям крайних точек области на соответствующую координатную ось. Последовательное вычисление двух линейных интегралов называют двукратным интегрированием. Следует отметить, что основная трудность при сведении двойного интеграла к двукратному заключается в расстановке пределов во внутреннем интеграле, которые в большинстве случаев переменные. Поэтому сначала строят область D и выбирают координатную ось, на которую проектируют область. Расставить пределы изменения переменных х и у в двойном интеграле:. Приведем уравнение окружности к каноническому виду. Выделяя полный квадрат по переменной х , получим:. Таким образом, радиус равен , центр смещен вправо на рис. Переменная х внутри D изменяется от 0 до 1, вторая переменная у — от своих значений на нижней части окружности уравнение которой до значений на её верхней части, то есть до уравнение окружности решено относительно у. Пределы изменения переменных внутри области расставлены. Так как они постоянны, область D является прямоугольником со сторонами: Вычислим внутренний интеграл по переменной х , считатя у — постоянной. После подстановки пределов вместо переменной х осталась только вторая переменная у. Вычислим внешний интеграл по этой переменной:. Спроектируем построенную область на ось Oх рис. Таким образом, внутри области D переменная x изменяется от 0 до 1. Пределы изменения второй переменной y будут зависеть от x. Чтобы найти их, проведем прямые параллельные оси Оy , пересекающие область D. Как отмечалось выше, чтобы внешний интеграл вычислялся по переменной y , нужно область D спроектировать на ось Oy. Найдем проекции крайних точек области на эту ось:. Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной линиями: Область D изображена на рис. Вид области указывает на то, что внешний интеграл удобнее взять по переменной y. Спроектируем область на эту ось и найдем проекции крайних точек. Раскрывая скобки в интеграле, стоящем в правой части последнего равенства и приводя подобные, получим:. Если область D спроектировать на ось Oх рис. Задачи для самостоятельного решения. По заданной области расставить пределы в интеграле. Тройной интеграл, расстановка пределов, вычисление в декартовой системе координат. Будем считать, что пространственная область тело W ограничена одной замкнутой поверхностью, уравнение которой известно. Как и в случае двойного интеграла найдем удобное выражение для меры элемента тела — dv. Для этого разобьем область W на элементарные части плоскостями, параллельными координатным плоскостям рис. Вычисление тройного интеграла 2. Найдем пределы изменения переменных x , y , z в заданной пространственной области W мы уже говорили, что область W считают заданной, если известно уравнение ограничивающей ее поверхности. Спроектируем тело W на координатную плоскость xOy , в результате получим плоскую область D рис. При этом точки касания, проектирующего цилиндра и тела W образуют линию, которая делит поверхность z x,y , ограничивающую тело W , на две части. Обозначим уравнения этих частей: Очевидно, что переменная z в пределах пространственной области W изменяется от своих значений на поверхности z 1 x,y до значений на поверхности z 2 x,y. Если проводить прямые, параллельные оси Oz , то они будут входить в данную область на поверхности z 1 x,y и выходить из нее на поверхности z 2 x,y. И наконец, заметим, что точки А и В делят на две линию, ограничивающую область D. Следовательно, переменная y в пространственной области W изменяется от своих значений на линии y 1 x до значений на линии y 2 x. После его вычисления и подстановки пределов остаются две переменные x и y. После его вычисления остается одна переменная x , по которой берут последний внешний интеграл. Пределы внешнего интеграла постоянны. Рассмотрим несколько примеров связанных с вычислением тройных интегралов. Расставить пределы в тройном интеграле:. Проекцией области W на координатную плоскость хОу является прямоугольник. Поэтому переменная х внутри W изменяется от 0 до 3, а у — от 0 до 2. Верхний предел для переменной z зависит от у. У внутренних интегралов пределы переменные. Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной y, считая xпостоянным. Вычислить тройной интеграл , где область W ограничена координатными плоскостями: Чтобы найти пределы изменения переменной z в области W , проведем пересекающие тетраэдр прямые, параллельные оси Oz. Таким образом, верхний предел для z непостоянен и зависит от x, y , то есть от координат точки на плоскости xОy , через которую проходит пересекающая тетраэдр прямая Рис 2. В результате тройной интеграл сводится к трехкратному линейному вида:. Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной z , считая x и y постоянными. После вычисления среднего интеграла и подстановки пределов осталась одна переменная x. Последний внешний интеграл возьмем по этой переменной, при этом интеграл от логарифма найдем по частям:. В данном примере верхние пределы у внутреннего и среднего интегралов были переменными. Поэтому изменение порядка интегрирования привело бы к изменению пределов по каждой переменной. Вычислить тройной интеграл, где область W ограничена двумя цилиндрическими поверхностями:. Цилиндрические поверхности параллельны оси Oх рис. Найдем точки пересечения направляющих линий этих поверхностей из условия:. Проекцией области W на плоскость xOy является прямоугольник Рис. Поэтому пределы изменения для переменных x и y внутри W постоянные:. Данный тройной интеграл сводится к трехкратному линейному интегралу вида:. Подставляя вместо z пределы и находя оставшиеся интегралы по переменным y и x получим:. Если область интегрирования W представляет собой параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, то пределы интегрирования будут постоянными во всех трех интегралах. В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке, при этом пределы сохраняются. Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога - - или читать все Полярная система координат I. Решите практическое задание I. Цилиндрическая система координат I. Местное самоуправление в системе децентрализации государственного управления II. Практическое употребление предлогов С - СО II. Практическое употребление существительных в форме единственного и множественного числа винительного падежа II. Служебные части речи в морфологической системе современного русского языка II. Сферическая система координат II. Цилиндрическая система координат II. Организация исследований рынка в системе маркетинга. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Двойной интеграл по плоской области D , от заданной на ней функции записывают так: При этом область D должна быть правильной. Напомним, что элементарные части элементарные области , на которые разбивают область D при составлении интегральной суммы, были обозначены в круглых скобках: Найдем удобное выражение для меры элемента области — ds. Тогда мера элементарной части будет равна площади прямоугольника:
Желтое тело 11 мм возможна ли беременность
Перечень инструкций перечень
Партизанская расписание автобусов партизанская ногинск
Расписание автобусов электросталь 2016
Питер трагедия новости