Алгебра и начала анализа в 11-м классе. Тема: "Логарифмы и его свойства"
Формулы и свойства логарифмов
Десятичный логарифм
Устройство и употребление четырехзначных таблиц. Показательные и логарифмические уравнения. Эти три примера выражают собой различные случаи действия, называемого возвышением в степень. В этом действии даются: Посмотрим, какие есть действия, обратные возвышению в степень. Обозначив искомое число буквой х , мы можем написать уравнение: Обозначив искомый показатель буквой х , можем написать уравнение:. Действие, посредством которого находится показатель степени по данной степени и данному основанию, называется нахождением логарифма данного числа 16 по данному основанию 4. Итак, возведение в степень имеет два обратных действия. Поставим вопрос, различны ли эти действия? Ведь и для умножения можно усмотреть два обратных действия: Однако действия эти рассматриваются не как различные, а как одно и то же действие, называемое делением. Причина слияния этих двух обратных действий в одно заключается в переместительном свойстве умножения, по которохму произведение не меняется от перемены мест 1-го и 2-го сомножителя. В таком же положении находится и сложение 2 слагаемых ; этому действию также можно указать два обратных действия — нахождение неизвестного числа 1-го слагаемого , к которому надо прибавить данное число 2-е слагаемое , чтобы получить данную сумму; другое — нахождение неизвестного числа 2-го слагаемого , которое надо прибавить к данному числу к 1-му слагаемому , чтобы получить данную сумму. Однако эти два действия рассматриваются как одно, называемое вычитанием, вследствие того, что сложение обладает переместительным свойством, по которому сумма не зависит от порядка слагаемых. Если бы это свойство принадлежало также и возведению в степень, то тогда и два указанных выше обратных действия составляли бы в сущности одно. Но возведение в степень не обладает свойством переместительности; напр. Вследствие этого нахождение основания по данным показателю и степени извлечение корня существенно отличается от нахождения показателя по данным основанию и степени нахождение логарифма. Заметим, что последнее действие в элементарной алгебре подробно не рассматривается; указываются главным образом его практические применения. Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число. Вместо того, чтобы писать: Впрочем, если заранее известно, какое число принято за основание, то его не пишут. Вместо знака log сокращения слова "logarithme" иногда пишут lg или Log. Прежде чем говорить о применениях логарифмов, мы предварительно рассмотрим свойства так называемой логарифмической функции. Обозначая по принятому независимое переменное буквой х , а функцию от этого переменного буквой у т. Такая функция называется логарифмической. Для этого составим таблицы значений этих функций. Всего проще их можно сделать из таблиц соответственных показательных функций. Сделав это, мы получим такие 3 таблицы:. Нанеся все эти значения на чертеж и обведя все точки непрерывными кривыми, получим три графика взятых функций. Имея график логарифмической функции, мы можем при помощи его найти логарифм приближенный числа, помещающегося между взятыми для чертежа значениями x. Для этого возьмем на чертеже абциссу, равную 6 , и построим соответствующую ей ординату. Измерив эту ординату, найдем приблизительно 2,6 ; это и будет log 6. При рассмотрении начерченных графиков мы наглядно представляем себе следующие свойства логарифмов:. Это значит, что при основании, большем 1, логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны, а логарифмы чисел, больших 1, положительны. Различные числа можно выражать как степени одного и того же числа , напр. Такие числа, как 10; ; Другие числа выразить степенью 10 затруднительно. Есть отделы математики, в которых указываются способы, как можно для всякогo данного числа N найти такой показатель х , при котором степень 10 x или в точности равняется N , или отличается от этого числа как угодно мало. Ученые, пользуясь этими способами, составили так называемые логарифмические таблицы , в которых помещены различные числа и около каждого из этих чисел указан показатель степени логарифм , в которую надо возвести 10, чтобы получить это число. Разъясним, для какой цели могут служить такие таблицы. Пусть требуется вычислить число х по формуле:. Извлекать корень 5-й степени мы не умеем. В подобных случаях нам могут помочь логарифмические таблицы. Находим в этих таблицах число 40 и около него логарифм этого числа. Пусть это будет 1, Так как при извлечении корня из степени показатель подкоренного числа какой бы он ни был делится на показатель корня, то. Теперь в тех же таблицах в столбце логарифмов находим 0,32 и около него соответствующее число, пусть это будет, положим, 2, Это и будет приближенное значение. Мы вскоре увидим, что логарифмические таблицы во многих случаях позволяют производить такие действия над числами, которые без таблиц мы или совсем не могли бы выполнить как в примере, только что указанном , или на выполнение которых потребовалось бы очень много времени. Теперь нам предстоит ознакомиться, во-первых, с тем, как при совершении какого-либо действия над данными числами можно найти логарифм искомого числа при помощи логарифмов этих данных чисел взятых из таблиц и, во-вторых, как найдя такой логарифм, отыскать по нему в таблицах искомое число. Попробуем выполнить это действие посредством логарифмов. Найдем в таблицах логарифмы чисел и 45,2. Так как при умножении степеней одного и того же числа показатели этих степеней складываются какие бы ни были эти показатели , то. Значит, логарифм произведения Пусть мы нашли в таблицах логарифмы этих чисел х 1 и х 2. Основание этих логарифмов может быть число 10, но может быть и какое-нибудь другое число, которое мы обозначим а. Тогда мы будем иметь равенства:. Отсюда видно, что логарифм частного Так как всякая дробь есть частное от деления числителя на знаменатель, то логарифм дроби равен логарифму числителя без логарифма знаменателя. Логарифмировать алгебраическое выражение значит выразить логарифм его посредством логарифмов отдельных чисел, составляющих это выражение. Выводы предыдущего параграфа позволяют это сделать в применении к произведению, частному, степени и дроби. Значит, логарифм целого числа, изображаемого единицею с нулями, есть целое положительное число, содержащее столько единиц, сколько нулей в изображении числа. Значит, логарифм десятичной дроби, изображаемой единицею с предшествующими нулями, есть целое отрицательное число содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении дроби, считая в том числе и 0 целых. Логарифм такого числа не может быть целым числом, так как, возвысив 10 в степень с целым показателем положительным или отрицательным , мы получим 1 с нулями следующими за 1, или ей предшествующими. Тогда мы имели бы равенства. Значит, нельзя допустить, чтобы log 35 и log 10,7 были равны дробям. Обыкновенно иррациональные логарифмы выражают приближенно в виде десятичной дроби с несколькими десятичными знаками. Логарифм такого числа состоит из характеристики и мантиссы. Оказывается, что десятичные логарифмы обладают тем удобством, что характеристику их мы всегда можем найти по одному виду числа. Для этого сосчитаем, сколько цифр в данном целом числе, или в целой части смешанного числа, В наших примерах этих цифр 3. Мы видим таким образом, что характеристика логарифма целого или смешанного числа содержит столько положительных единиц, сколько цифр в целой части числа без одной. Предположим, что эта дробь будет 0, Таким образом, из приведенной выше таблички видно, что. Так как из двух целых чисел: Таким образом, характеристика логарифма десятичной дроби, меньшей 1, содержит в себе столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая в том числе и нуль целых; мантисса же такого логарифма положительна. Посмотрим, как от этого изменится log N. Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, то. От умножения числа на 10, , ,.. Подобно этому, приняв во внимание, что логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, мы получим:. Если условимся при вычитании целого числа из логарифма вычитать это целое число всегда из характеристики, а мантиссу оставлять без изменения, то можно сказать:. Таким образом, логарифмы чисел:. Для вычислений употребляются десятичные логарифмы, вследствие тех удобств, которые были нами указаны, когда мы перечисляли свойства таких логарифмов. Натуральные логарифмы называются также Неперовыми по имени изобретателя логарифмов, шотландского математика Непера — гг. Значит, они состоят из отрицательной характеристики и отрицательной мантиссы. Обратно, всякий логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно превратить в отрицательный. Для этого достаточно к положительной мантиссе приложить отрицательную единицу, а к отрицательной характеристике — положительную 2: Для решения большинства практических задач вполне достаточны четырехзначные таблицы, обращение с которыми весьма просто 3. В них содержатся мантиссы. Так как характеристику логарифма целого числа или десятичной дроби мы можем, на основании свойств десятичных логарифмов, проставить непосредственно, то из таблиц мы должны взять только мантиссы; при этом надо вспомнить, что положение запятой в десятичном числе, а также число нулей, стоящих в конце числа, не имеют влияния на величину мантиссы. При этом могут представиться следующие случаи. Первые две цифры этого числа, т. В пересечении получим мантиссу т. Подобно этому для числа найдем мантиссу 0,, для числа найдем 0, и т. Тогда сначала находим в таблицах, как было сейчас указано, мантиссу для числа, изображенного первыми 3-мя цифрами данного числа, т. В пересечении находим поправку число 5 , которую надо приложить в уме к мантиссе , чтобы получить мантиссу числа ; мы получим таким образом мантиссу 0, Тогда отбрасываем все цифры, кроме первых 4-х, и берем приближенное четырехзначное число, причем последнюю цифру этого числа увеличиваем на 1 в том. Так, вместо мы берем , вместо берем , вместо берем и т. Для этого округленного четырехзначного числа находим мантиссу так, как было сейчас объяснено. Каменьщикова поправки на 4-ю цифру данного числа не помещены. Имея дело с такими таблицами, приходится поправки эти находить при помощи простого вычисления, которое можно выполнять на основании следующей истины: Мантисса эта, конечно, та же самая, что и для числа ,7. Находим в таблицах для числа мантиссу Сравнивая эту мантиссу с соседней вправо мантиссой , соответствующей числу , мы замечаем, что если число увеличится на 1, то мантисса его увеличится на 8 десятитысячных 8 есть так называемая табличная разность между двумя соседними мантиссами ; если же число увеличится на 0,7, то мантисса его увеличится не на 8 десятитысячных, а на некоторое меньшее число х десятитысячных, которое, согласно допущенной пропорциональности, должно удовлетворять пропорции:. Значит, мантисса для числа ,7 и следовательно, для числа будет: Заметим, что нахождение по двум рядом стоящим в таблицах числам промежуточного числа называется интерполированием. Интерполирование, описанное здесь, называется пропорциональным , так как оно основано на допущении, что изменение логарифма пропорционально изменению числа. Оно называется также линейным , так как предполагает, что графически изменение логарифмической функции выражается прямою линией. Предел погрешности приближенного логарифма. Если же данное число не точное , то к этому пределу погрешности надо еще добавить предел другой погрешности, происходящей от неточности самого числа. Доказано мы опускаем это доказательство , что за такой предел можно принять произведение. Таким образом предел окончательной погрешности логарифма выразится тогда формулой:. Найти число по данному логарифму. Для нахождения числа по данному логарифму могут служить те же таблицы, по которым отыскиваются мантиссы данных чисел; но удобнее пользоваться другими таблицами, в которых помещены так называемые антилогарифмы, т. Пусть дана 4-значная мантисса на характеристику не обращаем внимания и требуется найти соответствующее целое число. Тогда, имея таблицы антилогарифмов, надо пользоваться ими совершенно так же, как было раньше объяснено для нахождения мантисс по данному числу, а именно: Затем продвигаемся от этих цифр по горизонтальной строке вправо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от 3-й цифры мантиссы, которую надо искать в верхней строке или в нижней. В пересечении находим четырехзначное число , соответствующее мантиссе Затем от этого числа продвигаемся дальше по горизонтальной строке направо до пересечения с вертикальным столбцом, идущим от 4-й цифры мантиссы, которую надо найти наверху или внизу среди поставленных там цифр 1, 2, 3, В пересечении мы находим поправку 1, которую надо приложить в уме к найденному раньше числу , чтобы получить число, соответствующее мантиссе Таким образом, число это будет Поправку на 4-ю и следующие цифры мантиссы можно находить и посредством интерполирования. Предел погрешности найденного числа. Доказано, что в том случае, когда в найденном числе запятая стоит после 3-й слева цифры, т. Когда характеристика будет не 2, а какая-нибудь иная, то в найденном числе запятую придется перенести влево или вправо, т. При этом погрешность результата также разделится или умножится на ту же степень Число, соответствующее этому логарифму, найденное по таблице антилогарифмов, есть 39, Перенеся запятую после 3-й цифры слева, будем иметь число ,6 , заключающееся между и Погрешность числа ,6 будет меньше. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками. Сложение и вычитание логарифмов не представляют никаких затруднений, как это видно из следующих примеров:. Не представляет никаких затруднений также и умножение логарифма на положительное число, напр В последнем примере отдельно умножена положительная мантисса на 34, затем отрицательная характеристика на Если логарифм о отрицательной характеристикой и положительной мантиссой умножается на отрицательное число, то поступают двояко: При делении могут представиться два случая: В первом случае отдельно делят характеристику и мантиссу:. Во втором случае прибавляют к характеристике столько отрицательных единиц, чтобы образовавшееся число делилось на делитель; к мантиссе прибавляют столько же положительных единиц:. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми. Теперь, для избежания излишней потери времени и для уменьшения возможности ошибок, прежде всего расположим все вычисления, не исполняя пока их и не обращаясь, следовательно, к таблицам:. Значит, прежде всего надо найти а , т. Тогда погрешности в отдельных логарифмах будут следующие в десятитысячных долях:. Табличная разность d между мантиссами, соответствующими этим числам, равна Таким образом, найденное нами число 19,45 разнится от точного числа менее, чем на 0, Так как мы не знаем, с недостатком или с избытком найдено наше приближение, то можем только ручаться, что. Сплошного логарифмирования здесь применить нельзя, так как под знаком корня стоит с у м м а. В подобных случаях вычисляют формулу по частям. Такие уравнения могут быть разрешаемы только в частных случаях, причем приходится основываться на свойствах логарифмов и на том начале, что если числа равны, то равны и их логарифмы, и, обратно, если логарифмы равны, то равны и соответствующие им числа. Основная задача на сложные проценты. В какую сумму обратится капитал а рублей, отданный в рост по р сложных процентов, по прошествии t лет t — целое число? Еще через год, т. Таким образом, обозначив через А окончательный капитал, будем иметь следующую формулу сложных процентов:. В этом примере нам пришлось log 1,04 умножить на Поэтому в сумме 3, мы не можем ручаться не только за цифру десятитысячных, но и за цифру тысячных. Для этой цели мы приводим здесь небольшую табличку, в которой выписаны 7-значные логарифмы для наиболее употребительных значений р. Основная задача на срочные уплаты. Какова должна быть эта сумма? Таким же образом убедимся, что к концу 3-го года долг будет. По условию задачи, долг в конце t -го года должен равняться 0 ; поэтому:. Основная задача на срочные взносы. Некто вносит в банк в начале каждого года одну и ту же сумму а руб. Определить, какой капитал образуется из этих взносов по прошествии t лет, если банк платит по р сложных процентов. Ту же формулу можно получить и таким рассуждением:. Второй взнос, находясь в банке одним годом меньше, т. При вычислении помощью логарифмов этой формулы надо поступить так же, как и при вычислении формулы срочных уплат, т. Если бы срочный взнос в а руб. Таких действий можно указать следующие два: Обозначив искомый показатель буквой х , можем написать уравнение: Логарифмическая функция и ее график. Сделав это, мы получим такие 3 таблицы: При рассмотрении начерченных графиков мы наглядно представляем себе следующие свойства логарифмов: Понятие о значении логарифмических таблиц. Пусть требуется вычислить число х по формуле: Нахождение логарифма произведения, частного, степени и корня. Тогда мы будем иметь равенства:
Маска со спирулиной состав
Расписание сгму диспетчерский
Географическая структура управления
Детские кроватки сделать своими руками фото
Где можно отдохнуть в августе за границей
Получить root через recovery