/ численные методы
Оценка погрешности численного интегрирования
Учебные материалы для студентов
Численные методы — математическая дисциплина, изучающая методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. Численные методы сводят решение математических задач, которые могут быть проведены как в ручную, так и с помощью ЭВМ. Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине. Геометрически интерполяция заключается в проведении графика интерполирующей функции F x через узловую точку: Пусть в точка х0, х1 известны значения функций у х: Требуется построить многочлен F х такой что. Такая система имеет единственное решение, то есть коэффициенты многочлена а0, а1, …, an могут быть найдены единственным образом. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы, прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Достоинство — метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса, относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции, использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Недостаток метода — при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново, медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. Если в интерполяционный многочлен подставить значения коэффициентов, то будет получен первый интерполяционный многочлен Ньютона. К недостатку формулы Ньютона можно отнести то, что при вычислениях в таблице с постоянным шагом при увеличении количества узлов не всегда удается добиться повышения точности вычислений. Рассмотрим интерполяционную задачу для функции:. Сплайн - функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны. В качестве начального приближения корня х0 рассмотрим середину отрезка [a,b]: Сравнив методы прямоугольников и трапеций с методом Симпсона, отметим, что последний обладает более высоким порядком точности — четвертым. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Московский государственный университет приборостроения и информатики. Что такое Численные методы? Численные методы сводят решение математических задач, которые могут быть проведены как в ручную, так и с помощью ЭВМ 2. Перечислите типичные задачи численных методов. Что такое абсолютная и относительная погрешность вычислений. Что такое интерполяция функции? Понятие об интерполяционном многочлене Лагранжа. Если в интерполяционный многочлен подставить значения коэффициентов, то будет получен первый интерполяционный многочлен Ньютона Достоинство: Что такое конечные разности? Рассмотрим интерполяционную задачу для функции: Понятие об интерполировании сплайнами. Spline — планка, рейка. Сплайн — лекало, гибкая металлическая линейка. Чаще всего используются кубические сплайны. В сплайне фрагменты стыкуются гладко. Два этапа численного решения уравнений: Метод половинного деления или дихотомии. Их связь с определением определённого интеграла. Сравнение методов численного интегрирования. Методы левых и правых прямоугольников являются методами первого порядка точности по степени h Соответственно метод средних прямоугольников и метод трапеций второго порядка точности Сравнив методы прямоугольников и трапеций с методом Симпсона, отметим, что последний обладает более высоким порядком точности — четвертым.
Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность. Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются следующие факторы. Данная причина возникает, например, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т. Все погрешности можно разделить на три вида: Если а - точное значение некоторой величины и а известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а называют некоторую величину, про которую известно. Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину про которую известно. Относительную погрешность часто выражают в процентах. Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. Требуется построить функцию F х интерполяционная функция , принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f x , т. Пусть дана сетка x 0 , x 1 , x n и даны значения функции в узлах этой сетки y 0 , y 1 , y n , далее строим полином. Погрешность интерполяции функции полиномом Лагранжа оценивается формулой: Сплайном n-го порядка называется функция, которая является полиномом m-ой степени и которая является непрерывной на любом подотрезке вместе со своими производными до mго порядка. Чаще всего используются кубические сплаиды. Величины коэффициентов a,b,c,d, находятся из системы уравнений 1. Для нахождения значений этих коэффициентов удобно, с помощью последовательного исключения неизвестных, редуцировать систему 1 к системе трехточечных уравнений относительно коэффициентов с i , и решать ее далее с помощью метода прогонки. Разобьем [ a , b ] на N равных подотрезков, длина каждого подотрезка: Данный полином можно однозначно провести через одну точку. Тогда полином, очевидно, имеет вид: Суммируя площади всех таких прямоугольников на отрезке [ a,b ], получим квадратурную формулу средних прямоугольников:. Просуммировав такие площади по всему отрезку [ a,b ], получим квадратурную формулу трапеций:. В результате суммирования величин по всему отрезку [ a,b ] получим квадратурную формулу Симпсона формулу парабол:. Формула 1 является квадратурной формулой интерполяционного типа, когда коэффициент с к вычисляется из формулы 2. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла. Построим квадратурную формулу так, чтобы она была точна для многочлена как можно большей степени. Данный метод предназначен для решения систем специального вида трехдиагональной матрицы коэффициентов. Для корректности метода прогонки достаточно, чтобы коэффициенты a i были по модулю меньше единицы, а выражения в знаменателях формул были отличны от нуля. Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, до достижения требуемой точности. К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высокую надежность и простоту, при этом от функции требуется только непрерывность. Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое. Он также не может быть обобщен на случай комплексных корней и на системы уравнений. Пусть известно начальное приближение x 0. Заменим f x двумя первыми членами ряда Тейлора. Дифференциальное уравнение заменяем соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге дифференциальная задача заменяется аппроксимируется разностной схемой системой разностных уравнений. Численное решение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти такую функцию, которая при подстановке в исходное дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Общее решение — это соотношение между функцией, независимой переменной и произвольными постоянными. Количество произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения. Частное решение — получается из общего решения, если придать произвольным постоянным определенное значение. Задача нахождения решения уравнения 1 удовлетворяет заданному начальному условию называется задачей Коши для ДУ 1-го порядка. Общая формулировка методов Рунге-Кутта для решения ОДУ. Семейство методов 3-го и 4-го порядка. Одним из способов повышения порядка сходимости разностных схем для ОДУ является использование методов Рунге-Кутта. Пусть известно приближенное значение. Кроме того, чтобы формула 2 аппроксимировала уравнению 1 необходимо чтобы. Наиболее удобной и употребительной является схема метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Она имеет следующий вид. Метод Рунге—Кутта часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода — уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка для двучленных схем Рунге—Кутта или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка. Если предположить что в 1 , то получим явную схему. Производные заменяем конечно-разностными соотношениями. Предположим, что искомое частное решение разложимо в ряд Тейлора по степеням вблизи точки. В классическом методе Гаусса производится пошаговое исключение неизвестных. Однако может случиться так, что на главной диагонали, после ряда преобразований, будет стоять ноль. Итак, под главным элементом понимается максимальный по модулю элемент текущей строки в прямом проходе Гаусса. Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор. Метод Зейделя - модификация метода простой иттерации, имеет лучшую сходимость, удобен для программирования. Недостатками являются сложный контроль условий сходимости и выбор начального приближения. Процесс отыскания корней делиться на два этапа: Отделение корней, то есть определение отрезка содержащего один корень. Уточнение корня с заданной точностью. Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами. Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0 Выходом из итерационного процесса являются условия: Берется отрезок на графике, в котором функция меняет свой знак. Этот отрезок делится пополам, и берется та часть, на которой знак меняется. Эта процедура повторяется до достижения требуемой точности. Метод простой итерации применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата. Метод деления отрезка пополам Достоинства: Помоги другим студентам сдать сессию! Отправь свои работы на почту info studystuff. Курсовые Контрольные Статьи Конспекты Методички Веб-блог. Учебные материалы для студентов Методические указания, конспекты, лекции, контрольные, лабораторные работы, курсовые. Виды погрешностей Все погрешности можно разделить на три вида: Интерполирование функции многочленами Лагранжа. Интерполяционный полином в форме Лагранжа Рассмотрим задачу интерполяции: Интерполирование сплайн-функциями Сплайном n-го порядка называется функция, которая является полиномом m-ой степени и которая является непрерывной на любом подотрезке вместе со своими производными до mго порядка. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников. Суммируя площади всех таких прямоугольников на отрезке [ a,b ], получим квадратурную формулу средних прямоугольников: Вычисление определенного интеграла по формулам трапеции. Просуммировав такие площади по всему отрезку [ a,b ], получим квадратурную формулу трапеций: Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона. В результате суммирования величин по всему отрезку [ a,b ] получим квадратурную формулу Симпсона формулу парабол: Квадратурные формулы интерполяционного типа. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла. Метод наивысшей алгебраической точности Построим квадратурную формулу так, чтобы она была точна для многочлена как можно большей степени. Решение СЛАУ методом Гаусса. Считаем до тех пор, пока Достаточные условия сходимости: Метод деления отрезка пополам. Метод Ньютона нахождения корней нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации. Вместо функции непрерывного аргумента мы вводим функции дискретного аргумента. Cx — некоторая произвольная постоянная. Для исследования устойчивости используют модельное уравнение: Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Берем три соседних узла , шаг будет постоянен И пусть знаем значения этих узлов Выделяют следующие виды производных: Численное решение ОДУ методом Эйлера. Краевая задача для ОДУ. Рассмотрим линейную задачу, то есть соотношение исходного уравнения и краевой задачи линейны. Численное интегрирование ОДУ методом Рунге-Кутта 2-го порядка. Задаются коэффициенты , а затем вычисляется значение функции: Кроме того, чтобы формула 2 аппроксимировала уравнению 1 необходимо чтобы Наиболее удобной и употребительной является схема метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Погрешность аппроксимирующей схемы 1: Метод Адамса решения задачи Коши для ОДУ. Метод конечных разностей для ДУ 2-го порядка. Тогда после подстановки, линейное уравнение 2-го порядка и краевые условия будут иметь вид: Аналитические методы решения задачи Коши для ОДУ. Интерполирование функций Лабараторная работа 2. Интегральное исчисление Лабараторная работа 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений Лабараторная работа 4. Нелинейные уравнения Лабараторная работа 5. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Лабараторная работа 6. NET Windows Presentation Foundation Автоматизация товарооборота и услуг косметической компании Исследование процесса принятия решения о покупке наручных часов Разработка базы данных для учета товара ООО Компания Парфюм Косметик Экспертные системы на Prolog.
Из каких роз делают варенье
Реверси правила игры
Какие цвета делают красный
Кальций магний хелат инструкция
Свойства субъектов правоотношений по тихомирову