Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений. Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:. Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно. Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь внезапно! Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:. Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Существует много способов преобразования дробей. Лучше посмотрим на примеры:. Во втором будем искать НОК. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть. Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:. Если не помните — обязательно повторите. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть. Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время. В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:. Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа. ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Сложение и вычитание дробей 30 июля Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. По определению сложения и вычитания дробей получаем: Как видите, ничего сложного: Поэтому запомните раз и навсегда: Ну и конечно, не забывайте два простых правила: Плюс на минус дает минус; Минус на минус дает плюс. Разберем все это на конкретных примерах: В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей: Что делать, если знаменатели разные Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. Лучше посмотрим на примеры: Что делать, если у дроби есть целая часть Могу вас обрадовать: Лучше используйте простую схему, приведенную ниже: Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые пусть даже с разными знаменателями , которые считаются по правилам, рассмотренным выше; Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ; Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть. Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные; Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом если, конечно, этого не сделали составители задач ; Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе Для тех, кто сильно "не очень Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить. Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо. Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби. А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику. Сложить отнять дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет очень надеюсь! Ну уж совсем забывчивым напомню: Числители складываются вычитаются и дают числитель результата. А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби вот оно и опять пригодилось! Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения. Здесь мы из 16 делаем Простым умножением на 3. Но вот нам попалось что-нибудь типа:. Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Откуда же я узнал про 63? Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет! Если надо сложить вычесть несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить Это число и будет общим знаменателем. Кстати, если за общий знаменатель взять , тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений Дорешайте уж пример самостоятельно. Итак, со сложением вычитанием дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах И ничего не забыл. А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями. Здесь обнаружатся новые грабли, да Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:. И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: А во второй дроби - на х. Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, то есть перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях любых всегда приятнее произведение! Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате! И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. С буквами - то же самое. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам. Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Умножение и деление дробей. Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом! А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными. Hовое на сайте В разделе Решение задач на формулу n-го члена. Основа для решения заданий. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях. Что такое математическая модель? Как решать дробные уравнения? Содержание сайта Раздел 1. Сергей Смирнов Редакция от Копирование материалов разрешается только при указании работающей ссылки на этот сайт. Иное использование материалов допускается с разрешения автора. Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.
https://gist.github.com/6bf53a234c9e35dec66bba1708ec9e57
https://gist.github.com/f689aa64fdaaa6d0c9a40c284f4c8a75
https://gist.github.com/8df75a5aca6b46c3e19a8019c3f6d2ff