§ 3. Простые числа Ферма
Простые числа Ферма это:
Числа Ферма
Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители 2. Среди первых чисел простыми являются следующие 25 чисел:. Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р — простое число, так как если бы р — было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель. Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители 2. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с , то это число является простым. Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. За последние лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. Лемера, содержащая все простые числа до 10 Наша таблица 1 содержит все простые числа до Некоторые энтузиасты-вычислители уже подготовили таблицы простых чисел, превосходящих 10 Но, по-видимому, не имеет большого смысла идти на значительные затраты и усилия, чтобы опубликовать эти таблицы. Лишь в очень редких случаях математику, даже специалисту в теории чисел, приходится решать вопрос о том, является ли какое-то большое число простым. Кроме того, большие числа, о которых математик хочет узнать, являются они составными или простыми, не берутся им произвольно. Числа, которые он хочет исследовать, обычно появляются в специальных математических задачах, и, таким образом, эти числа имеют очень специфическую форму. Какие из следующих чисел являются простыми: Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел. В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого большого из известных простых чисел. Разумеется, можно было бы выбрать несколько очень больших чисел, не имеющих таких очевидных делителей, как 2, 3, 5, 7, и проверить, являются ли они простыми числами. Этот способ, как мы вскоре убедимся, не очень эффективен. Теперь эта погоня утихла, она идет только в одном направлении, оказавшемся удачным. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о совершенных числах, которые мы рассмотрим позже. Свое название они получили в честь французского монаха Мерена Мерсенна — , который много занимался проблемой совершенных чисел. Если начать вычислять числа 2. Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверке всех чисел М p для различных простых чисел р. Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение. То, что с этой работой все-таки можно справиться уже для довольно больших чисел, объясняется существованием эффективных способов выяснения простоты для чисел такого вида. К этому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна, соответствующих значениям. Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В году французский математик Лукас установил, что огромное число. Простые числа Мерсенна, меньшие этого числа, задаются значениями р , указанными выше, а также значениями. Эти 12 простых чисел Мерсенна были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины. Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна. Затем задача была переложена на плечи ЭВМ. Создание все более высокопроизводительных ЭВМ дало возможность продолжить поиск новых простых чисел Мерсенна. Лемер установил, что значения. Дальнейшие поиски также увенчались успехом. Ризель показал, что. Огромного успеха добился Гиллельс , который нашел простые числа Мерсенна, соответствующие значениям. Итак, общий урожай составил 23 простых числа Мерсенна, и, так как мощности ЭВМ продолжают увеличиваться, мы надеемся на дальнейший успех. Простое число Лукаса М , как мы уже упоминали, имеет 39 цифр. Даже вычисление самого большого из известных простых чисел, числа M , является довольно сложной задачей и, по-видимому, нет смысла воспроизводить здесь это число. Если же мы захотим узнать, сколько цифр содержит это число, то мы можем сделать это, не вычисляя самого числа. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда. Из таблиц находим, что Ig 2 приближенно равняется 0,, откуда. Самое большое известное в настоящее время простое число имеет цифр. Это число было найдено на ЭВМ Иллинойского университета США. Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме, для всеобщего восхищения. Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма — , который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами Ферма являются. Ферма был абсолютно уверен, что все числа этого вида являются простыми, хотя он не проводил вычислений других чисел, кроме указанных пяти. Однако это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма. Возможно, что этим история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче, задаче построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки. Правильным многоугольником называется многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окружности на одинаковых расстояниях друг от друга рис. Если у правильного многоугольника n вершин, то мы называем его правильным n-угольником. Если мы проведем n радиусов, соединяющих центр окружности с вершинами, то получим n центральных углов величиной. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и этот n -угольник. Древние греки очень хотели найти методы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Разумеется, они умели строить простейшие из них — равносторонний треугольник и квадрат. С помощью повторного деления пополам центрального угла они могли также построить правильные многоугольники с. Кроме того, они умели строить правильный пятиугольник, и следовательно, также правильные многоугольники с. Был также получен еще один тип правильного многоугольника. Центральный угол в правильном угольнике равен. Следовательно, мы можем построить правильные многоугольники с 15, 30, 60, … сторонами. В таком состоянии проблема оставалась до года, когда вышла работа по теории чисел молодого немецкого математика К. Она открыла новую эпоху в математике. Гаусс превзошел греческих геометров не только в том, что указал метод построения циркулем и линейкой правильного угольника, но и пошел гораздо дальше. Для всех чисел n он определил, какие n -угольники могут быть построены таким образом, а какие нет. Сейчас мы опишем результаты, полученные Гауссом. Выше мы отмечали, что из правильного n -угольника можно получить правильный 2 n -угольник, деля каждый центральный угол пополам. С другой стороны, из 2 n -угольника можно получить n -угольник, используя лишь каждую вторую вершину. Это показывает, что достаточно провести поиск правильных многоугольников, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, только среди многоугольников с нечетным числом вершин. Что это нам дает для небольших значений n? Очевидно, что 3-угольник и 5-угольник могут быть построены, в то время как 7-угольник не может, так как 7 не является простым числом Ферма. Открытие Гаусса, естественно, возродило интерес к числам Ферма 2. За последнее столетие были предприняты поистине героические поиски, вручную, без помощи машин, новых простых чисел Ферма. В настоящее время эти вычисления продолжаются со все возрастающей скоростью с помощью ЭВМ. Однако до сих пор результаты были отрицательными. Ни одного нового простого числа Ферма не было найдено и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет. Если не существует простых чисел Ферма, кроме выше указанных пяти, то сколько существует правильных n -угольников n нечетно , которые могут быть построены циркулем и линейкой? Каково то наибольшее нечетное n , для которого может быть построен правильный n -угольник? Как мы уже говорили, существуют таблицы простых чисел, простирающиеся до очень больших чисел. Как можно было бы подступиться к составлению такой таблицы? Эратосфеном, математиком из Александрии. Его схема состоит в следующем: Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каждое второе число, начиная с 2 кроме самого числа 2 , т. После этой операции первым неподчёркнутым числом будет число 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставив число 3 неподчёркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, т. На следующем шаге первым неподчёркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчёркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. Теперь — наименьшим неподчёркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчёркнутых чисел; все они кроме числа 1 являются простыми. Любая таблица простых чисел создается по этому принципу решета. В действительности, можно продвинуться гораздо дальше по ряду простых чисел, если использовать для их хранения память ЭВМ. Подобным образом, в Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до Небольшое изменение метода решета позволит нам получить б о льшую информацию. Предположим, что всякий раз, впервые подчеркивая числа, мы будем подписывать под ним простое число, с помощью которого оно отсеивается. Тогда 15 и 35 были бы записаны как. Таким образом, мы не только указали простые числа, но и для каждого составного числа привели наименьшее простое число, являющееся его делителем. Такой список чисел называется таблицей делителей. Таблица делителей является более сложной, чем таблица простых чисел. Чтобы немного упростить ее, обычно из нее исключают те составные числа, у которых простые делители малы, например, 2, 3, 5, 7. Самая большая такая таблица была вычислена на ЭВМ Д. Лемером и содержит все числа, вплоть до 10 Как мы видели, решето Эратосфена может быть использовано для построения таблиц простых чисел и таблиц делителей. Однако оно может быть использовано и для теоретических исследований. Многие важные результаты в современной теории чисел были получены методом решета. Приведем результат, известный еще Евклиду:. Тогда в решете не оказалось бы неподчёркнутых чисел, больших, чем р k. Но это невозможно, так как произведение этих простых чисел. Главная В избранное Наш E-MAIL Добавить материал Нашёл ошибку Другие сайты Вниз. Альтернативная медицина Астрономия и Космос Биология Военная история Геология и география Государство и право Деловая литература Домашние животные Домоводство Здоровье История Компьютеры и Интернет Кулинария Культурология Литературоведение Математика Медицина Научная литература - прочее Педагогика Политика Психология Религиоведение Сад и огород Самосовершенствование Сделай сам Спорт Технические науки Транспорт и авиация Учебники Физика Философия Хобби и ремесла Шпаргалки Эзотерика Юриспруденция Языкознание. Среди первых чисел простыми являются следующие 25 чисел: Мы можем сформулировать следующее утверждение: Таблица 1 Простые числа среди первой тысячи чисел Некоторые энтузиасты-вычислители уже подготовили таблицы простых чисел, превосходящих 10 Найдите простое число, следующее за простым числом Простые числа Мерсенна В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда 2, 4, 8, 16, 32, 64, , …. Итак, мы можем сказать следующее. Простые числа Ферма Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Как построить правильный угольник, имея правильный угольник? Решето Эратосфена Как мы уже говорили, существуют таблицы простых чисел, простирающиеся до очень больших чисел. Приведем результат, известный еще Евклиду: Существует бесконечное число простых чисел. Предположим, что существует только k простых чисел: Составьте таблицы простых чисел для каждой из сотен: Попытайтесь определить количество простых чисел в диапазоне — Главная В избранное Наш E-MAIL Добавить материал Нашёл ошибку Наверх.
Философия науки история и теория
Сколько калорий в 50 сыре
Аниме про девушку которую принудили стать королевой
Детские стихи короткие с картинками
План и профиль дороги
Текст описание весеннего леса
Сколько по времени жарить мидии
Швейцарские часы мужские кварцевые
Афиша колумб тюмень расписание
Big fail перевод
К чему снится паук черный большой сонник
Отвар листьев земляники полезные свойства
Заявление о вступлении в наследство образец
Сколько дней длится простуда у взрослого
Истерический приступ причины клиника лечение