Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Симплекс метод разработал/
Симплексный метод решения задач линейного программирования
Программный комплекс для решения задач линейного программирования симплексным методом
Симплексный метод решения ЗЛП
Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Исторически общая задача линейного программирования была впервые поставлена в году Джорджом Бернардом Данцигом , Маршаллом Вудом и их сотрудниками в департаменте военно-воздушных сил США. В то время эта группа занималась исследованием возможности использования математических и смежных с ними методов для военных задач и проблем планирования. В дальнейшем для развития этих идей в ВВС была организована исследовательская группа под названием Project SCOOP. Первое успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ SEAC было проведено в январе года [2]. Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях. Заметим, что каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник возможно, бесконечный , называемый также полиэдральным комплексом. Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k -мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено. В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод, соответственно, делится на однофазный и двухфазный. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:. Теперь поставим эту задачу в эквивалентной усиленной форме. Необходимо максимизировать Z , где:. Разница между числом переменных и уравнений даёт нам число степеней свободы. Проще говоря, если мы рассматриваем вершину многогранника, то это число рёбер, по которым мы можем продолжать движение. Полученная точка будет вершиной в пересечении соответствующих непростым переменным гиперплоскостей. Для того, чтобы найти т. При этом начальное допустимое решение вычисляется однозначно: Теперь приведём шаги алгоритма. На каждом шаге мы будем менять множества простых и непростых векторов двигаться по рёбрам , и матрица будет иметь следующий вид:. Почему матрица будет иметь такой вид поясним в описании шагов алгоритма. Выбираем начальное допустимое значение, как указано выше. Выберем ребро, по которому мы будем перемещаться. Поскольку мы хотим максимизировать Z , то необходимо выбрать переменную, которая будет более всех уменьшать выражение. Для этого выберем переменную, которая имеет наибольший по модулю отрицательный коэффициент. Если таких переменных нет, то есть все коэффициенты этого выражения неотрицательны, то мы пришли в искомую вершину и нашли оптимальное решение. В противном случае начнём увеличивать эту непростую переменную, то есть перемещаться по соответствующему ей ребру. Эту переменную назовём входящей. Теперь необходимо понять, какая простая переменная первой обратится в ноль по мере увеличения входящей переменной. Для этого достаточно рассмотреть систему:. При фиксированных значениях непростых переменных система однозначно разрешима относительно простых, поэтому мы можем определить, какая из простых переменных первой достигнет нуля при увеличении входящей. Эту переменную назовем выходящей. Это будет означать, что мы натолкнулись на новую вершину. Теперь перепишем матрицу B и вектор c B в соответствии с новыми наборами простых и непростых переменных, после чего вернёмся ко второму шагу. Поскольку число вершин конечно, то алгоритм однажды закончится. Найденная вершина будет являться оптимальным решением. Однако каждая итерация симплекс-метода является переходом от одной вершины к другой, и если неизвестно ни одной вершины, алгоритм вообще не может быть начат. Процесс нахождения исходной вершины не сильно отличается от однофазного симплекс-метода, однако может в итоге оказаться сложнее, чем дальнейшая оптимизация. Соответственно, будет создано некоторое количество дополнительных и вспомогательных переменных. Несмотря на то, что и дополнительные, и вспомогательные переменные создаются искусственно и используются для создания исходного базиса, их значения в решении сильно отличаются:. То есть ненулевое значение дополнительной переменной может но не должно сигнализировать о неоптимальности решения. Ненулевое значение вспомогательной переменной сигнализирует о недопустимости решения. После того, как было модифицировано условие, создаётся вспомогательная целевая функция. После этого проводится обыкновенный симплекс-метод относительно вспомогательной целевой функции. Когда будет найдено оптимальное значение вспомогательной целевой функции, могут возникнуть две ситуации:. Во втором случае мы имеем допустимый базис, или, иначе говоря, исходное допустимое решение. Можно проводить дальнейшую оптимизацию с учётом исходной целевой функции, при этом уже не обращая внимания на вспомогательные переменные. Это и является второй фазой решения. В остальном алгоритм похож на вышеописанный. В противном случае один из элементов выйдет на нулевое значение. Выводим соответствующий столбец из базиса. Во избежание получения больших ошибок время от времени матрица пересчитывается полностью. Этот процесс называется "повторением". При решении экономических задач часто матрица ограничений разреженная , в таком случае мультипликативный вариант получает дополнительные преимущества - можно хранить мультипликаторы в сжатом виде не хранить нули. Во избежание накопления ошибок округления может использоваться LU-разложение матрицы. При подавляющем числе ограничений типа "неравенство" может быть использован метод переменного базиса. Таким подходом удается решить задачи с десятками миллионов строк ограничений например, из теории игр. Для реализации двойственного метода необходимо перейти от задачи на минимум к задаче на максимум или наоборот путём транспонирования матрицы коэффициентов. При переходе от задачи на минимум целевая функция примет вид:. Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем экстремальные значения линейных функций этих задач равны. Симплекс-метод удивительно эффективен на практике, но в Кли и Минти [4] привели пример, в котором симплекс-метод перебирал все вершины симплекса, что показывает экспоненциальную сходимость метода в худшем случае. С тех пор для каждого варианта метода был найден пример, на котором метод вел себя исключительно плохо. Наблюдения и анализ эффективности метода в практических приложениях привело к развитию других способов измерения эффективности. Симплекс-метод имеет среднюю полиномиальную сходимость при широком выборе распределения значений в случайных матрицах. Число ограничений больше влияет на вычислительную эффективность, чем число переменных, поэтому при формулировке задач линейного программирования нужно стремиться к уменьшению числа ограничений пусть даже путём роста числа переменных. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Метод Нелдера — Мида Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Линейное программирование методы и приложения. Государственное издательство Физико-математической литературы, Метод последовательного улучшения с базисом переменного размера для задач линейного программирования.. Метод золотого сечения Дихотомия Метод парабол Перебор по сетке Метод равномерного блочного поиска Метод Фибоначчи Троичный поиск Метод Пиявского Метод Стронгина. Метод Гаусса Метод Нелдера — Мида Метод Хука — Дживса Метод конфигураций Метод Розенброка. Градиентный спуск Метод Зойтендейка Покоординатный спуск Метод сопряжённых градиентов Квазиньютоновские методы Алгоритм Левенберга — Марквардта. Метод Ньютона Метод Ньютона — Рафсона Алгоритм Бройдена — Флетчера — Гольдфарба — Шанно BFGS. Метод Монте-Карло Имитация отжига Эволюционные алгоритмы Дифференциальная эволюция Муравьиный алгоритм Метод роя частиц Алгоритм пчелиной колонии Метод случайных блужданий. Симплекс-метод Алгоритм Гомори Метод эллипсоидов Метод потенциалов. Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски , внести более точные указания на источники. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN Википедия: Статьи без сносок Википедия: Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викиучебник. Эта страница последний раз была отредактирована 11 мая в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Не доходит ватсап
Улица чехова ставрополь на карте
Расписание автобусов севастополь армянск на завтра
Реализация симплекс метода
Двумя способами с помощью
Zombie русский текст
Сонник смеющийся младенец
Симплекс-метод
История инженерной профессии
Правила продажи продовольственных товаров в магазине
Решение задач линейного программирования симплекс методом
Сделать компьютерный стол своими руками фото
Определить месторасположения по координатам
Школы набережные челны на карте
Симплекс-метод
Сколько стоит набор кастрюль kochgeschirr set