Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Оптимальное решение задачи линейного программирования может быть/
Решение задачи линейного программирования
ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Линейное программирование
Предварительный анализ оптимального решения……………… Исследование чувствительности целевой функции……………….. Исследование устойчивости оптимального базисного плана…….. Исследование операций изучает хорошо структурированные задачи. Хорошо структурированная задача — задача, для которой существует математическая модель с одним критерием качества. Математическая модель — отражение интересующих нас свойств объектов или явлений с помощью математических символов. Цель, которую преследуют в процессе исследования операций ИО , заключается в том, чтобы выявить наилучший оптимальный способ действия при решении той или иной задачи организационного управления в условиях, когда имеют место ограничения технико-экономического или какого-либо другого характера. Когда используют термин исследование операций, то почти всегда имеют в виду применение математических методов для моделирования систем и анализа их характеристик. Действительно, математические модели и методы занимают в исследовании операций центральное место. Исследование операций можно рассматривать и как науку, и как искусство. Правомерность утверждения о научности вытекает из того обстоятельства, что при решении возникающих проблем эффективно используются математические модели и методы. Исследование операций можно рассматривать и как искусство, поскольку успешное выполнение всех этапов исследования во многом определяется творческими способностями и интуицией исследователей. Поэтому при сборе информации, необходимой для построения математической модели, верификации модели и использовании получаемых с помощью модели результатов успех, несомненно, зависит от способности исследователей устанавливать рабочие контакты как с источниками необходимой информации, так и с лицами, ответственными за реализацию принимаемых решений. Математическая модель — отображение оригинала в виде математических объектов, переменных, функций, уравнений и неравенств. В простейшем случае математическая модель содержит три объекта:. В совокупности эти значения образуют множество решений. В хорошо формализованных задачах это множество может быть описано с помощью системы неравенств g j x 1 , x 2 ,.. В простейшем случае оценка качества осуществляется с помощью специальной функции f x1,x2,…,xn , которую называют целевой функцией. В зависимости от ситуации необходимо найти такое допустимое решение, при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение:. Такая задача в которой множество решений может быть описано с помощью системы функциональных равенств и неравенств, называется задачей математического программирования. Для решения задач этого типа разработан специальный раздел математики, который называется математическим программированием. Но не всегда удается сформулировать ограничение задачи в виде совокупности равенств или неравенств. Не всегда удается сформулировать цель в виде одной целевой функции, поэтому в общем случае математическая модель задачи может выглядеть более абстрактно:. Имеется множество допустимых решений X. Такая задача и будет называться задачей исследования операций. Детерминированные задачи — задачи, которые не содержат в себе элементов случайности. Задачи дискретного программирования отличаются от задач математического программирования тем, что в задачах дискретного программирования на значения переменных x i накладывается требование дискретности, то есть x i может принимать не любые значения из диапазона a , b , а из множества конкретных фиксированных значений а 1 , а 2 , Простейшим примером является требование целочисленности. К задачам динамического программированию относятся задачи, которые являются многошаговыми или могут быть сведены к многошаговым задачам. Примером многошаговых задач могут являться задачи планирования на несколько месяцев или лет. Стохастические задачи — задачи, которые содержат в своей постановке вероятностные элементы. До недавнего времени теория очередей сводилась всего к трем законам:. Соседняя очередь всегда движется быстрее 2. Как только вы переходите в соседнюю очередь, ваша прежняя начинает двигаться быстрее. Ваше метание из одной очереди в другую взвинчивает обе очереди. Теперь же теория очередей развилась в самостоятельный раздел математики — теорию массового обслуживания. В математическом программировании все функции и целевая, и функция ограничений являются линейными. Если хотя бы одна из функций нелинейная, то такая задача относится к нелинейному программированию. Выпуклые задачи — это задачи, в которых целевая функция и функции ограничений обладают специальными свойствами выпуклости или вогнутости. Достоинством задач выпуклого программирования является то, что если решение существует, то оно единственно. В выпуклом программировании выделяют специальный класс более простых задач, которые называются квадратичным программированием. Эти задачи близки к линейным задачам. Как правило у них линейная система ограничений, но в целевую функцию могут входить вторые степени переменных, а так же их произведения. Для перевозки грузов на трёх линиях могут быть использованы суда трёх типов. Необходимо определить какие суда и в течение какого следует использовать, чтобы обеспечить максимальную загрузку судов с учётом возможного времени их эксплуатации. Общее время эксплуатации судов берётся из таблицы. Общее время эксплуатации должно быть не больше суммарного времени работы судов на всех трёх линиях. Отсюда следуют следующие ограничения:. Так же у каждого из судов есть производительность. Она отличается в зависимости от типов судов и от линий. Так же есть заданный объём перевозок таблица 1. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом. Любая задача линейного программирования может быть представлена в канонической и симплексной форме. В симплексной форме задача разрешена относительно базисных переменных. Анализ задачи в симплексной форме позволяет сделать вывод: В задаче на минимум достаточное условие — неотрицательные коэффициенты целевой функции. Если хотя бы один из коэффициентов целевой функции в задаче на минимум положителен, на максимум — отрицателен, то целевую функцию можно улучшить, увеличив значения соответствующих базисных переменных. Разрешить систему относительно базисных переменных и исключить базисные переменные из целевой функции. Вспомнить одну или более итераций симплекс-метода, которые включают:. Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме:. Симплексной формой задачи 3. Тогда система основных ограничений разрешенная относительно базисных переменных будет иметь вид:. Используя уравнение системы 3. Задачу линейного программирования с целевой функцией 3. Такой задаче ставим в соответствие базисный план, который состоит из:. Задачу 5 можно переписать в следующем виде:. Предположим, что задача линейного программирования в канонической форме приведена к симплексной форме 3. Перенесем коэффициенты целевой функции вектора свободных членов и матрицы R , L , в специальную симплексную таблицу:. Если в задаче на максимум коэффициенты целевой функции удовлетворяет условию:. Допустим, что достаточное условие оптимальности не выполняется. В этом случае найдем максимальный по модулю, не удовлетворяющий условию оптимальности, коэффициент целевой функции. Соответствующую переменную назовем ведущей. Соответствующий столбец симплексной таблицы назовем ведущим. Очевидно, что соотношение 7 может нарушаться только в том случае, если , поэтому для каждой базисной переменной:. Максимально допустимый шаг определим как минимум из чисел. Это означает, что шаг может быть бесконечно большим. Соответственно значение целевой функции может неограниченно возрастать, если задача на максимум, или неограниченно убывать, если задача на минимум. С экономической точки зрения такая ситуация свидетельствует о несоответствии математической модели реальной экономической модели неучтены или неправильно учтены ограничения задачи. Решение ЗПП при этом считается законченным. Как уже отмечалось в пункте 1, должна выводиться из базиса, на ее место вводится переменная — небазисная. На место ведущего элемента в новой таблице записывается элемент, обратный ведущему. Элементы ведущего столбца получаются из старых элементов делением последних на ведущий элемент. Новый элемент симплексной таблицы, не находящийся в ведущей строке или столбце, получается из старого, если вычесть из последнего произведение его проекций деленное на ведущий элемент. Если после приведения математической модели к канонической форме не все ограничения находятся в предпочтительном виде, то для решения задачи требуется применить двухфазный симплекс-метод. Целевая функция вспомогательной задачи представляет собой сумму фиктивных переменных, которую необходимо минимизировать. Начальный базис вспомогательной задачи составляют переменные:. Целевую функцию вспомогательной задачи выражаем через небазисные переменные и решаем систему обычным симплекс-методом описан выше. Если все искусственные переменные покинули базис и исключены из таблицы, а строка вспомогательной функции содержит одни нули, то это означает, что решение вспомогательной задачи окончено. Искуственнная целевая функция с исчезновением фиктивных переменных трансформировалась в нулевую. Поэтому для перехода ко второй фазе симплекс-метода необходимо вернуться к исходной целевой функции. Поскольку исходная целевая функция содержит базисные переменные, их необходимо исключить, выразив через небазисные переменные. Далее система решается обычным симплекс-методом, описанным раннее. Для решения задачи необходимо привести её математическую модель 2. Введём фиктивные переменные х16, х17, х18 и решим задачу относительно их:. Будем решать задачу табличным симплекс-методом, как описывалось ранее. Этот план не оптимален, так как целевая функция вспомогательной задачи на минимум содержит отрицательные коэффициенты. Выбираем базисный столбец и разрешающую строку:. Пересчёт симплексной таблицы происходит по правилам, описанным в разделе 3. Произведём пересчёт симплексной таблицы и если план получится не оптимальным, то снова выберем ведущий столбец и разрешающую строку. Как видно, все искусственные переменные покинули базис и исключены из таблицы. Первая фаза решения завершена, так как все коэффициенты целевой функции равны нулю. Перейдём ко второй фазе для этого вернёмся к исходной целевой функции:. Базисный план не оптимален, так как целевая функция задачи на максимум содержит положительные коэффициенты. Произведём пересчёт симплексной таблицы:. Значения основных переменных задачи х 1 , х 2 ,х 3 , х 4 , х 5, х 6, х 7, х 8, х 9, обозначают, что:. При этом максимальная загрузка суден составит Предварительный анализ оптимального решения. Первые три ограничения являются количественными, так как исходят из обязательного заданного объёма перевозок. Остальные три ограничения являются ресурсными, так как исходят из общего времени эксплуатации судов. Очевидно, что при увеличении времени эксплуатации максимальная загрузка судов будет увеличиваться. Исследование чувствительности целевой функции. Для исследования чувствительности целевой функции к изменениям правых частей основных ограничений необходимо найти оптимальный двойственный план:. Согласно полученному решению базисными переменными являются х 3 , х 4 , х 5 ,х 6 ,х 8 ,х Дадим экономическую оценку полученным результатам:. Исследование устойчивости оптимального базисного плана. Найдём интервал устойчивости для первого ограничения:. Таким образом, интервал устойчивости для b1 составляет:. Найдём интервал устойчивости для второго ограничения:. Таким образом, интервал устойчивости для b2 составляет:. Найдём интервал устойчивости для третьего ограничения:. Таким образом, интервал устойчивости для b3 составляет:. Найдём интервал устойчивости для четвёртого ограничения:. Таким образом, интервал устойчивости для b4 составляет:. Найдём интервал устойчивости для пятого ограничения:. Таким образом, интервал устойчивости для b5 составляет:. Найдём интервал устойчивости для шестого ограничения:. Таким образом, интервал устойчивости для b6 составляет:. Для поиска оптимального целочисленного решения воспользуемся методом ветвей и границ. Исходя из этого решаем 2 задачи:. Решив симплекс-методом задачи с дополнительными ограничениями 1 и 2 , получим одно решения:. Это решение содержит одну нецелочисленную компоненту х5. Решив симплекс-методом задачи с дополнительными ограничениями 1 и 2 , получим 2 решения:. Найдено оптимальное целочисленное решение — это решение задачи 3. В процессе работы над курсовой работой была успешно решена задача по оптимальному распределению судов 3 типов по различным линиям с максимальной загрузкой судов. С помощью симплекс-метода был найден оптимальный базисный план задачи, проведёно исследование его целевой функции на чувствительность и определены интервалы устойчивости, а так же было найдено оптимальное целочисленное решение. Математическое программирование в примерах и задачах. Оптимизация линейных экономических моделей: Радио и связь, Главная Опубликовать работу О сайте. Решение задач линейного программирования 4. Сохрани ссылку на реферат в одной из сетей: Обоснование выбора метода решения задачи…………………… Решение задачи оптимизации……………………………………………. Введение Исследование операций изучает хорошо структурированные задачи. В простейшем случае математическая модель содержит три объекта: В зависимости от ситуации необходимо найти такое допустимое решение, при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение: Не всегда удается сформулировать цель в виде одной целевой функции, поэтому в общем случае математическая модель задачи может выглядеть более абстрактно: Классификация задач исследования операций. Исследование операций Теория очередей Детерминированные задачи — задачи, которые не содержат в себе элементов случайности. До недавнего времени теория очередей сводилась всего к трем законам: Пусть -количество дней работы судов 1 типа на 1 линии -количество дней работы судов 2 типа на 1 линии -количество дней работы судов 3 типа на 1 линии -количество дней работы судов 1 типа на 2 линии -количество дней работы судов 2 типа на 2 линии -количество дней работы судов 3 типа на 2 линии -количество дней работы судов 1 типа на 3 линии -количество дней работы судов 2 типа на 3 линии -количество дней работы судов 3 типа на 3 линии Общее время эксплуатации судов берётся из таблицы. Отсюда следуют следующие ограничения: Исходя из этих данных запишем целевую функцию: Обоснование выбора метода решения задачи Любая задача линейного программирования может быть представлена в канонической и симплексной форме. Для решения задач симплекс-методом необходимо: Вспомнить одну или более итераций симплекс-метода, которые включают: Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической форме: Тогда система основных ограничений разрешенная относительно базисных переменных будет иметь вид: Задачу 5 можно переписать в следующем виде: Симплекс-метод в табличной форме. Перенесем коэффициенты целевой функции вектора свободных членов и матрицы R , L , в специальную симплексную таблицу: Если в задаче на максимум коэффициенты целевой функции удовлетворяет условию: Из системы основных ограничений симплексной формы следует: Из вытекает, что 3. Нарисуем новую симплексную таблицу. Начальный базис вспомогательной задачи составляют переменные: Решение задачи оптимизации Для решения задачи необходимо привести её математическую модель 2. Введём фиктивные переменные х16, х17, х18 и решим задачу относительно их: Выбираем базисный столбец и разрешающую строку: Перейдём ко второй фазе для этого вернёмся к исходной целевой функции: Значения основных переменных задачи х 1 , х 2 ,х 3 , х 4 , х 5, х 6, х 7, х 8, х 9, обозначают, что: Предварительный анализ оптимального решения Первые три ограничения являются количественными, так как исходят из обязательного заданного объёма перевозок. Очевидно, что при увеличении времени эксплуатации максимальная загрузка судов будет увеличиваться 5. Исследование чувствительности целевой функции Для исследования чувствительности целевой функции к изменениям правых частей основных ограничений необходимо найти оптимальный двойственный план: Найдём оптимальный двойственный план: Дадим экономическую оценку полученным результатам: Исследование устойчивости оптимального базисного плана Определим интервал устойчивости , 5. Найдём интервал устойчивости для первого ограничения: Таким образом, интервал устойчивости для b1 составляет: Найдём интервал устойчивости для второго ограничения: Таким образом, интервал устойчивости для b2 составляет: Найдём интервал устойчивости для третьего ограничения: Таким образом, интервал устойчивости для b3 составляет: Найдём интервал устойчивости для четвёртого ограничения: Таким образом, интервал устойчивости для b4 составляет: Найдём интервал устойчивости для пятого ограничения: Таким образом, интервал устойчивости для b5 составляет: Найдём интервал устойчивости для шестого ограничения: Таким образом, интервал устойчивости для b6 составляет: Исходя из этого решаем 2 задачи: Поиск решения можно изобразить графически: БГТУ Акулич И.
Сшить пляжное платье из парео своими руками
Полуавтомат сварочный своими руками схемы и описание
Статус про футбол со смыслом
Задачи линейного программирования
Право дороги москва
Создать бизнес на дому
Положение о стимулирующих выплатах образец
Виды задач линейного программирования
Газета из рук в руки г уссурийск
Маэстро история карты
Решение задач линейного программирования
Проблема осталась нерешенной
Расписание фитнес хаус на савушкина 119
Женщина с младенцем на руках картинки
/ мат_МЕТОД_ИССЛЕД_ОПЕРАЦ
Образец заполнения нулевой декларации по усн