Дополнительное обучение школьников, успешно осваивающих стандартный школьный курс математике, является необходимым и крайне важным элементом в системе современного математического образования. Углубленное изучение математики дает возможность школьникам, помимо всего прочего, успешно выступать на различных олимпиадах и математических турнирах. Математические олимпиады разных уровней проводятся с х годов и в настоящее время представляют наиболее эффективную систему выявления математически одаренных школьников. Победа на региональных, национальных, а, тем более, на международных олимпиадах чрезвычайно престижна и дает хорошую перспективу к продолжению образования в области математики и тесно связанных с ней наук в самых лучших университетах мира. Успешное выступление школьников на областных и более высокого уровня олимпиадах требует специальной и длительной подготовки. Проблема в том, что программа по математике, соответствующая государственным образовательным стандартам, предусматривает знакомство лишь с относительно простыми разделами элементарной алгебры и геометрии. Для решения задач по этим разделам достаточно овладеть небольшим набором вычислительных и дедуктивных методов, необходимых для решения линейных, квадратичных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, вычисления площадей и объемов геометрических фигур, доказательства некоторых типов теорем. Задачи олимпиад обычно построены по иному принципу. Их структура достаточно сложна, и необходим достаточно глубокий и всесторонний анализ рассматриваемых ситуаций для определения наилучшей стратегии для успешного решения. Для приобретения нужных навыков при работе с подобными задачами необходимо изучение значительного дополнительного материала практически по всем разделам учебной программы. Например, уже начиная с 6 класса, встречаются задачи на комбинаторику и теорию чисел. Бесспорно, учащиеся специализированных математических классов в какой-то степени подготовлены для решения сложных олимпиадных задач. В рамках углубленной программы по математике, включающей несколько спецкурсов, появляется возможность более детально изучить ряд важных приемов и методов и границы их применимости. Тем не менее, анализ результатов областных математических олимпиад, проводившихся в Иркутске на протяжении ряда лет, показывает, что иркутские школьники допускают при решении задач ошибки, являющиеся следствием недостаточной тактической и методической подготовки. Помимо традиционных олимпиад в последнее время в России ежегодно проводятся математические турниры, основу которых составляют так называемые математические бои. Самые престижные из них — международные Турниры на Кубок Памяти А. Колмогорова -- имеют статус неофициальных командных российских олимпиад. Для приличного выступления в таких турнирах также нужна специальная подготовка. Во многих городах России созданы центры дополнительного математического образования школьников, где по специальным программам производится подготовка к олимпиадам и турнирам городских команд. Собранный за многие годы уникальный материал, включающий множество олимпиадных задач различной степени сложности, эффективно используется в Кировских Летних Школах, собирающих математически одаренных школьников со всей страны. Предлагаемая программа предназначена для подготовки команды старшеклассников Иркутска к математическим турнирам и олимпиадам. Ее основу составляет разбор олимпиадных задач разной степени сложности, сгруппированных по темам, как представленных в том или ином виде в школьной программе, так и выходящей за ее пределы. Теоретический материал дается лишь в том объеме, в каком он непосредственно нужен для освоения ключевых методов решения задач. Полное доказательство теорем предусмотрено только в самых важных с методологической точки зрения случаях. Задачи подобраны таким образом, что анализ их решений позволяет понять структуру основных типов задач по соответствующей теме и усвоить характерные методы решений. Все задачи разбиты по группам в зависимости от степени сложности. Однако даже самые структурно и технически простые задания не ниже уровня задач окружных и районных олимпиад. Наиболее значимыми для качественной подготовки школьников являются задачи уровня национальных и международных олимпиад, решение которых, фактически, представляет собой небольшую самостоятельную научную работу. На разборе таких задач можно научиться понимать принципы, лежащие в структуре целых математических разделов. Здесь также отрабатывается и стратегия решения сходных по композиционной сложности задач. В соответствие с целями программы и с учетом способностей и навыков школьников, позволяющих им просчитывать в уме несколько промежуточных действий и быстро схватывать главные идеи, на решение каждой из задач первой группы сложности отводится минут. На более сложные задачи может быть затрачено минут. Этого времени достаточно, чтобы не только вникнуть в суть той или иной задачи, но сделать набросок решения или даже успеть ее решить. В любом случае, школьники при разборе решения в большинстве своем лишь сверяются со своим подходом. И все же наиболее продуктивной и содержательной частью занятий является рассмотрение самых сложных задач, соединяющих в себе несколько частных задач и опирающихся на довольно широкий теоретический материал. Понимание принципов решения таких задач и освоение навыков, позволяющих рационально исследовать возможные механизмы их решения, подводит школьников к существенно более глубокому погружению школьников в соответствующий раздел математики. На решение дается минут. За это время способные школьники могут основательно вникнуть в суть задачи и представить хотя бы часть решения. Некоторые поучительные и красивые задачи предлагаются в качестве домашнего задания. Все сложные задачи тщательно разбираются во время занятий. При неизбежном расширении тематики задач по сравнению с уровнем школьной программы, последняя остается базовой. Поэтому предлагаемая программа вполне согласуется со всеми учебниками, рекомендуемыми Министерством образования России. Дополнительные учебники и задачники также отражены в списке литературы. Простые и составные числа. Для ознакомления с типами задач, встречающимися в последние годы на математических турнирах, приведены задания одного из командных боев третьего колмогоровского турнира. К сожалению, представляемая программа мало пригодна без подходящих изменений для занятий в обычной средней школе, но отдельные задачи первого и, возможно, второго уровней сложности могут быть использованы для подготовки отдельных школьников старших классов к участию в окружных и городских олимпиадах. Поскольку данная программа уже предполагает хорошее владение школьным материалом по представленным темам, то она также не может быть применена как базовое учебное пособие, а только как элемент в системе дополнительного обучения. Программа составлена для учащихся классов и рассчитана на 72 учебных часа. Анализ заданий всевозможных математических турниров показывает, что задачи по данной теме встречаются очень часто. Дело в том, что в техническом отношении многие задачи этого типа довольно просты и, в принципе, доступны даже школьникам классов. Однако при их решении часто приходится рассматривать далеко неочевидные предположения, имеющие характер разного рода ограничений, связанных с делимостью целых чисел. Формальных правил делимости на некоторые числа, изучаемых в школе явно недостаточно для решения многих олимпиадных задач. С этой целью в данном разделе предусмотрены задания, позволяющие выявить целый ряд новых свойств чисел, связанных с их делимостью. Крайне полезным является знание малой теоремы Ферма и китайской теоремы об остатках. Важны типы конструкций выражений, дающих бесконечное множество решений. Рассматриваются методы решений линейных и нелинейных уравнений в целых числах, изучается структура доказательств утверждений об отсутствии решений и единственности решений. В раздел входит материал по теории множеств, обычно почти не затрагиваемый школьной программой. Тем не менее, задачи на эту тему периодически встречаются, а значительная часть из них в том или иной виде основывается на принципе Дирихле. Различные варианты этого принципа тщательно изучаются на задачах всех трех уровней сложности. В ряде задач требуется показать, что выражение, содержащее различные корни, само является целым. В разделе рассматриваются методы преобразования таких иррациональных частей, в результате которых становится ясно, будет ли, в конечном счете, исходное выражение целым. При решении задач первого уровня сложности школьники закрепляют навыки в использовании свойств четности, взаимной простоты, объединений и пересечений множеств, некоторых вычислительных приемов. На более сложных задачах отрабатывается стратегия построения доказательств с применением нескольких ключевых теорем. В данном разделе в основном собраны задачи с уравнениями и неравенствами, а также задачи на свойства полиномов. Хотя в школьном курсе математики эти темы изучаются довольно подробно, но материал ограничивается обычно простыми линейными, квадратичными, тригонометрическими, показательными и логарифмическими уравнениями и неравенствами, тогда как уравнения и неравенства, встречающиеся на олимпиадах, представляют собой комбинации всех типов и требуют особых методов решения. Они основываются, в частности, на исследовании функций на монотонность и нахождение экстремумов, что приводит к необходимости обращения к средствам математического анализа. Важность этих средств проявляется при доказательствах существования и единственности решений. При решении неравенств особую роль играет использование теоремы о средних, особенно в форме неравенства Коши. Ряд задач решается с применением неравенств Бернулли. Предлагаемые занятия включают рассмотрение целого набора полезных неравенств, позволяющих упростить решение более сложных неравенств, предполагающих часто довольно длинные вычисления. Теоретический материал для решений задач с полиномами связан с основной теоремой алгебры, теоремами Безу и Виета. Значительную часть этого материала можно найти в углубленных курсах алгебры, рекомендованных для математических классов. Однако степень сложности школьных задач недостаточна для серьезной подготовки к математическим олимпиадам. Как правило, решение олимпиадных задач на полиномы требует сложной комбинации следствий основной теоремы алгебры, теоремы Виета и неравенства Коши. В программе предусмотрен разбор нескольких таких задач. Школьная программа предусматривает изучение двух типов последовательностей арифметическая и геометрическая прогрессии , пределов последовательностей и функций, элементов дифференциального и интегрального исчислений и несколько важных приложений. К ним относятся вычисления площадей криволинейных трапеций и объемов геометрических фигур, нахождение уравнений касательных. На математических турнирах задачи на подобные темы встречаются не так часто. Тем не менее, периодически предлагаются задачи на вычисление сумм элементов последовательностей, доказательств неравенств с суммами и произведениями, задачи на свойства полиномов и функций. Многие задачи с последовательностями эффективно решаются с помощью довольно стандартных методов суммирования, приводящих к сокращению промежуточных слагаемых. Программой предусмотрено рассмотрение таких задач всех уровней сложности. В сложных задачах с функциями решение иногда основывается на последовательном применении почти всех уже упоминавшихся методов и технических приемов, дополненных механизмом определения экстремумов и промежутков монотонности. Некоторые дополнительные сведения из области математического анализа, касающихся свойств непрерывных функций, представляются полезными. К ним относятся теоремы Ролля и Лагранжа, признак выпуклости функций, признаки монотонности и ограниченности функций. Даются также некоторые понятия о свойствах числовых и функциональных рядов. Специфика олимпиадных геометрических задач заключается в том, что обычно их решении состоит в применении теорем из самых разных тем, требует дополнительных и, в общем, неочевидных дополнительных построений и хорошего комбинационного мышления. Геометрические задачи трудно точно классифицировать и выбрать самый рациональный способ решения. Это приводит к тому, что решение геометрических задач занимает у школьников значительную часть времени. По сравнению с алгеброй в школе на геометрию удаляется примерно в полтора раза меньше времени, что приводит к недостаточной подготовке школьников. Предлагаемая программа ставит своей целью улучшить ситуацию. Все геометрические задачи условно разбиты на группы по нескольким признакам. Довольно очевидно, что в одну из самых больших групп собраны задачи с треугольниками. Дополнительный к школьной программе материал включает теорему Чевы, теорему Штейнера-Лемана, свойства серединного и педального треугольников. Крайне полезны при решении многих задач свойства некоторых точек и прямых, связанных с вписанными и описанными окружностями. Помимо свойств высот и ортоцентра треугольника рассматриваются прямые Симсона, теоремы Птолемея и Морлея. Вторая группа задач связана с многоугольниками, среди которых особое значение имеет трапеция. В дополнительный материал включены теоремы Вариньона, Менелая и Паппа. Задачи по данной теме подобраны так, что их решения могут быть найдены с помощью построений вписанных и описанных окружностей. В отдельную группу оказалось целесообразным выделить задачи на точки, отрезки и прямые, часто тесно связанные с задачами на комбинаторику и теорию графов. Соответствующие задачи специально изучаются. Часто их решение упрощается при использовании метода математической индукции. Особое значение имеют задачи на геометрические неравенства, решение которых, с одной стороны, основывается на применении всего арсенала средств, использующихся при решении алгебраических неравенств, а с другой стороны, включает специфические геометрические ограничения. Здесь предлагается целый набор формул в виде неравенств, характеризующих отношения между сторонами, углами и площадями многоугольников, радиусами вписанных и описанных окружностей. К геометрическим неравенствам тесно примыкают геометрические задачи на экстремум, требующие также методов математического анализа. Стереометрические задачи составляют еще одну группу. При их решении полезными иногда оказываются принципы симметрии и элементы проективной геометрии. Хотя содержание данного раздела выходит за рамки школьной программы, олимпиадных задач по указанным в заголовке темам довольно много. Поэтому представляется совершенно необходимым более или менее подробно изучить структуру таких задач и основные методы их решений. Прежде всего, в рамках программы кратко излагаются ключевые сведения из комбинаторики и теории графов. Даются некоторые комбинаторные формулы, понятия ориентированных графов, циклов и формула Эйлера. Проводится классификация часто встречающихся типов игр и рассматриваются стратегии их решений. Внимание обращается на широкое применение элементов формальной логики в обосновании решений и на необходимость конструирования моделей в некоторых случаях. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1,2,…, , чтобы сумма любых двух из них делилась на 36? Произведение трех натуральных чисел равно Какое наибольшее значение может принимать их НОД? Найдите все натуральные числа, квадрат которых записывается только нечетными цифрами. Среди 13 последовательных натуральных чисел 7 четных и 5 кратных трем. Сколько среди них чисел, кратных 6? По окружности расставлены целые числа, причем квадрат любого числа является делителем суммы квадратов соседей. Докажите, что все числа равны. Найдется ли 8 натуральных чисел таких, что никакое из них не делится ни на какое другое, однако НОК любых двух из них равен одному и тому же числу? Можно ли расставить по окружности натуральных чисел так, чтобы каждое из них было либо суммой, либо разностью соседних? Даны числа a, b и с. Разрешается проводить следующие операции: При этом можно использовать все промежуточные результаты. Как, используя только описанные операции, получить произведение abс? Доказать, что только одна тройка натуральных чисел, больших 1, обладает тем свойством , что произведение любых двух из этих чисел, увеличенное на 1, делится на третье. Доказать, что для любого простого числа р существует бесконечно много чисел вида 2 n — n, делящихся на р. Все члены двух различных арифметической прогрессий — натуральные числа. Числа первой прогрессии выписали подряд без пробелов, получив бесконечную последовательность цифр. То же сделали со второй прогрессией. Докажите, что две получившиеся последовательности цифр различны. Между волейбольными командами двух стран был проведен матч-турнир, в котором каждая команда сыграла ровно по одному разу со всеми командами другой страны. При этом каждая команда выиграла хотя бы одну встречу. Докажите, что найдутся четыре команды A , B , C и D такие, что A выиграла у B , B выиграла у C , С выиграла у D , а D выиграла у A. Ничьих в волейболе не бывает. Пятизначное число с суммой цифр 37 делится на Докажите, что его третья цифра — 9. Есть многочлен третьей степени. Известно, что если x — целое, то P x — куб целого числа. Докажите, что при некотором d. Всякий ли параллелепипед имеет в сечении прямоугольник? Найти все возможные расположения уголка. На прямой отмечены два отрезка так, что ни один не содержится в другом. Найдите геометрическое место точек, лежащих на плоскости вне прямой, из которых эти отрезки видны под равными углами. Двое играющих по очереди ломают палку: Первый выигрывает, если сможет после какого-то из своих ходов сложить из 6 кусков два равных треугольника. Может ли второй ему помешать? Методические рекомендации по организации учебного процесса 16 Методические рекомендации Раздел занимательных и веселых задач. Одной из разновидностей факультативных занятий по математике являются
Hyundai h cmd4007 схема
Сколько жен у рамзана кадырова 2016
Тату надписи про семью с переводом