= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Загрузить здесь: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Метод наименьших квадратов (мнк).
Линейная аппроксимация
Построение градуировочного графика методом наименьших квадратов
Линейный парный регрессионный анализ
Математический форум Math Help Planet
Метод наименьших квадратов (МНК).
Линейная аппроксимация
Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице. В результате их выравнивания получена функция. Выяснить, какая из двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b , приравниваем эти производные к нулю. Решаем полученную систему уравнений любым методом например методом подстановки или методом Крамера и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов МНК. При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы. Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a. Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов. Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i. Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i. Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b. Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы: Для этого требуется вычислить суммы квадратов отклонений исходных данных от этих линий и , меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле метода наименьших квадратов аппроксимирует исходные данные. На графиках все прекрасно видно. На практике при моделировании различных процессов - в частности, экономических, физических, технических, социальных - широко используются те или иные способы вычисления приближенных значений функций по известным их значениям в некоторых фиксированных точках. Если для моделирования некоторого процесса, заданного таблицей, построить функцию, приближенно описывающую данный процесс на основе метода наименьших квадратов, она будет называться аппроксимирующей функцией регрессией , а сама задача построения аппроксимирующих функций - задачей аппроксимации. В данной статье рассмотрены возможности пакета MS Excel для решения такого рода задач, кроме того, приведены методы и приемы построения создания регрессий для таблично заданных функций что является основой регрессионного анализа. Добавление выбранных регрессий линий тренда - trendlines в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса доступно лишь при наличии построенной диаграммы ;. Использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel, позволяющих получать регрессии линии тренда непосредственно на основе таблицы исходных данных. Для таблицы данных, описывающих некоторый процесс и представленных диаграммой, в Excel имеется эффективный инструмент регрессионного анализа, позволяющий:. На основе данных диаграммы Excel позволяет получать линейный, полиномиальный, логарифмический, степенной, экспоненциальный типы регрессий, которые задаются уравнением:. Линейная регрессия хороша при моделировании характеристик, значения которых увеличиваются или убывают с постоянной скоростью. Это наиболее простая в построении модель исследуемого процесса. Она строится в соответствии с уравнением:. Полиномиальная линия тренда полезна для описания характеристик, имеющих несколько ярко выраженных экстремумов максимумов и минимумов. Выбор степени полинома определяется количеством экстремумов исследуемой характеристики. Так, полином второй степени может хорошо описать процесс, имеющий только один максимум или минимум; полином третьей степени - не более двух экстремумов; полином четвертой степени - не более трех экстремумов и т. Логарифмическая линия тренда с успехом применяется при моделировании характеристик, значения которых вначале быстро меняются, а затем постепенно стабилизируются. Степенная линия тренда дает хорошие результаты, если значения исследуемой зависимости характеризуются постоянным изменением скорости роста. Примером такой зависимости может служить график равноускоренного движения автомобиля. Если среди данных встречаются нулевые или отрицательные значения, использовать степенную линию тренда нельзя. Экспоненциальную линию тренда следует использовать в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Для данных, содержащих нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения также неприменим. При подборе линии тренда Excel автоматически рассчитывает значение величины R2, которая характеризует достоверность аппроксимации: При необходимости значение R2 всегда можно отобразить на диаграмме. В главном меню появится пункт Диаграмма;. Эти же действия легко реализуются, если навести указатель мыши на график, соответствующий одному из рядов данных, и щелкнуть правой кнопкой мыши; в появившемся контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится диалоговое окно Линия тренда с раскрытой вкладкой Тип рис. Выбрать на вкладке Тип необходимый тип линии тренда по умолчанию выбирается тип Линейный. Для типа Полиномиальная в поле Степень следует задать степень выбранного полинома. В поле Построен на ряде перечислены все ряды данных рассматриваемой диаграммы. Для добавления линии тренда к конкретному ряду данных следует в поле Построен на ряде выбрать его имя. При необходимости, перейдя на вкладку Параметры рис. На экране появится диалоговое окно Формат линии тренда рис. Вид, Тип, Параметры, причем содержимое последних двух полностью совпадает с аналогичными вкладками диалогового окна Линия тренда рис. На вкладке Вид, можно задать тип линии, ее цвет и толщину. Для удаления уже построенной линии тренда следует выбрать удаляемую линию тренда и нажать клавишу Delete. Линиями тренда можно дополнить ряды данных, представленные на диаграммах типа график, гистограмма, плоские ненормированные диаграммы с областями, линейчатые, точечные, пузырьковые и биржевые. Нельзя дополнить линиями тренда ряды данных на объемных, нормированных, лепестковых, круговых и кольцевых диаграммах. В Excel имеется также инструмент регрессионного анализа для построения линий тренда вне области диаграммы. Для этой цели можно использовать ряд статистических функций рабочего листа, однако все они позволяют строить лишь линейные или экспоненциальные регрессии. Следует отметить, что приемы построения регрессий с помощью функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ практически совпадают. То же самое можно сказать и о паре функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ. Для четырех этих функций при создании таблицы значений используются такие возможности Excel, как формулы массивов, что несколько загромождает процесс построения регрессий. Заметим также, что построение линейной регрессии, на наш взгляд, легче всего осуществить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК, где первая из них определяет угловой коэффициент линейной регрессии, а вторая - отрезок, отсекаемый регрессией на оси ординат. А к недостаткам относится то, что в Excel нет встроенных функций для создания других кроме линейного и экспоненциального типов линий тренда. Это обстоятельство часто не позволяет подобрать достаточно точную модель исследуемого процесса, а также получить близкие к реальности прогнозы. Кроме того, при использовании функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ не известны уравнения линий тренда. Следует отметить, что авторы не ставили целью статьи изложение курса регрессионного анализа с той или иной степенью полноты. Основная ее задача - на конкретных примерах показать возможности пакета Excel при решении задач аппроксимации; продемонстрировать, какими эффективными инструментами для построения регрессий и прогнозирования обладает Excel; проиллюстрировать, как относительно легко такие задачи могут быть решены даже пользователем, не владеющим глубокими знаниями регрессионного анализа. С таблицей данных о прибыли автотранспортного предприятия за гг. Вывести уравнения полученных линий тренда, а также величины достоверности аппроксимации R2 для каждой из них. Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные по прибыли предприятия для каждой линии тренда за г. В диапазон ячеек A4: C11 рабочего листа Excel вводим рабочую таблицу, представленную на рис. Активизируем построенную диаграмму и по описанной выше методике после выбора типа линии тренда в диалоговом окне Линия тренда см. В этом же диалоговом окне открываем вкладку Параметры см. Для лучшего визуального восприятия изменяем тип, цвет и толщину построенных линий тренда, для чего воспользуемся вкладкой Вид диалогового окна Формат линии тренда см. Полученная диаграмма с добавленными линиями тренда представлена на рис. Для получения табличных данных по прибыли предприятия для каждой линии тренда за гг. Для этого в ячейки диапазона D3: F3 вводим текстовую информацию о типе выбранной линии тренда: Линейный тренд, Квадратичный тренд, Кубический тренд. Далее вводим в ячейку D4 формулу линейной регрессии и, используя маркер заполнения, копируем эту формулу c относительными ссылками в диапазон ячеек D5: Следует отметить, что каждой ячейке с формулой линейной регрессии из диапазона ячеек D4: D13 в качестве аргумента стоит соответствующая ячейка из диапазона A4: Аналогично для квадратичной регрессии заполняется диапазон ячеек E4: E13, а для кубической регрессии - диапазон ячеек F4: Таким образом, составлен прогноз по прибыли предприятия на и гг. Полученная таблица значений представлена на рис. Используя уравнения линий тренда, получить табличные данные о прибыли предприятия для каждой линии тренда за гг. Следуя методике, приведенной при решении задачи 1, получаем диаграмму с добавленными в нее логарифмической, степенной и экспоненциальной линиями тренда рис. Далее, используя полученные уравнения линий тренда, заполняем таблицу значений по прибыли предприятия, включая прогнозируемые значения на и гг. Наибольшие же значения R2 соответствуют моделям с полиномиальным трендом: Получить ряды данных для линейной и экспоненциальной линии тренда с использованием функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ. Используя функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, составить прогноз о прибыли предприятия на и гг. D11, который следует заполнить значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ, соответствующими известным данным о прибыли предприятия;. В появившемся диалоговом окне Мастер функций выделяем функцию ТЕНДЕНЦИЯ из категории Статистические, после чего щелкаем по кнопке ОК. Эту же операцию можно осуществить нажатием кнопки Вставка функции стандартной панели инструментов. В результате диапазон ячеек D4: D11 заполняется соответствующими значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ рис. D13, куда будут заноситься значения, прогнозируемые функцией ТЕНДЕНЦИЯ. Введенная формула будет иметь вид: D13 заполнится прогнозируемыми значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ см. Аналогично заполняется ряд данных с помощью функции РОСТ, которая используется при анализе нелинейных зависимостей и работает точно так же, как ее линейный аналог ТЕНДЕНЦИЯ. С таблицей данных о поступлении в диспетчерскую службу автотранспортного предприятия заявок на услуги за период с 1 по 11 число текущего месяца необходимо выполнить следующие действия. Получить ряды данных для линейной регрессии: Используя вышеназванные функции, составить прогноз о поступлении заявок в диспетчерскую службу на период с 12 по 14 число текущего месяца. Отметим, что, в отличие от функций ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ, ни одна из перечисленных выше функций НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ не является регрессией. Эти функции играют лишь вспомогательную роль, определяя необходимые параметры регрессии. Для линейной и экспоненциальной регрессий, построенных с помощью функций НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБ, внешний вид их уравнений всегда известен, в отличие от линейной и экспоненциальной регрессий, соответствующих функциям ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ. Выбираем из категории Статистические функцию Наклон; заносим диапазон ячеек B4: В ячейку С19 будет введена формула: И ее содержимое будет иметь вид: Таким образом, необходимые для построения линейной регрессии значения параметров m и b будут сохраняться соответственно в ячейках C19, D19;. В этой формуле ячейки С19 и D19 записаны с абсолютными ссылками адрес ячейки не должен меняться при возможном копировании. Воспользовавшись маркером заполнения, копируем эту формулу в диапазон ячеек С4: Получаем искомый ряд данных рис. В связи с тем, что количество заявок - целое число, следует установить на вкладке Число окна Формат ячеек числовой формат с числом десятичных знаков 0. D20 функцию ЛИНЕЙН как формулу массива: В результате получаем в ячейке C20 значение параметра m, а в ячейке D20 - значение параметра b;. D17 и получаем искомый ряд данных. D21 вводим функцию ЛГРФПРИБЛ как формулу массива: При этом в ячейке C21 будет определено значение параметра m, а в ячейке D21 - значение параметра b;. E17, где и расположится ряд данных для экспоненциальной регрессии см. Задачей построения регрессионной зависимости является нахождение вектора коэффициентов m модели 1 при котором коэффициент R принимает максимальное значение. Если F превышает некоторое критическое значение для данных n и k и принятой доверительной вероятности, то величина R считается существенной. Таблицы критических значений F приводятся в справочниках по математической статистике. Таким образом, значимость R определяется не только его величиной, но и соотношением между количеством экспериментов и количеством коэффициентов параметров модели. Однако если экспериментальные данные являются случайными величинами, доверять такому значению R следует с большой осторожностью. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Построение статических и динамических моделей. Линейный регрессионный анализ для построения эмпирических моделей. Метод наименьших квадратов мнк. Суть метода наименьших квадратов мнк. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. Вывод формул для нахождения коэффициентов. Пришло время вспомнить про исходый пример. Значения последнего столбца таблицы — это суммы значений по строкам. Оценка погрешности метода наименьших квадратов. Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов мнк. Такого рода задачи приближения функций часто возникают: В Excel для построения регрессий имеются две возможности. Добавление выбранных регрессий линий тренда - trendlines в диаграмму, построенную на основе таблицы данных для исследуемой характеристики процесса доступно лишь при наличии построенной диаграммы ; Использование встроенных статистических функций рабочего листа Excel, позволяющих получать регрессии линии тренда непосредственно на основе таблицы исходных данных. На основе данных диаграммы Excel позволяет получать линейный, полиномиальный, логарифмический, степенной, экспоненциальный типы регрессий, которые задаются уравнением: Она строится в соответствии с уравнением: В этом случае линия тренда строится в соответствии с уравнением: Строится в соответствии с уравнением: Для добавления линии тренда к ряду данных следует: В главном меню появится пункт Диаграмма; после щелчка на этом пункте на экране появится меню, в котором следует выбрать команду Добавить линию тренда. Для того, чтобы начать редактирование уже построенной линии тренда, существует три способа: Достоинствами рассмотренного инструмента регрессионного анализа являются: К недостаткам можно отнести следующие моменты: В Excel имеется несколько функций для построения линейной регрессии, в частности: ТЕНДЕНЦИЯ; ЛИНЕЙН; НАКЛОН и ОТРЕЗОК. А также несколько функций для построения экспоненциальной линии тренда, в частности: Достоинствами инструмента встроенных функций для регрессионного анализа являются: В диаграмму добавить линейную и полиномиальную квадратичную и кубическую линии тренда. Составить прогноз по прибыли предприятия на и гг. Выделив диапазон ячеек В4: В диаграмму добавить логарифмическую, степенную и экспоненциальную линии тренда. Составить прогноз о прибыли предприятия на и гг. Для исходных данных и полученных рядов данных построить диаграмму. Начнем с функции ТЕНДЕНЦИЯ: D11, который следует заполнить значениями функции ТЕНДЕНЦИЯ, соответствующими известным данным о прибыли предприятия; вызываем команду Функция из меню Вставка. Введенная нами формула в строке формул будет иметь вид: Для составления прогноза о прибыли предприятия на и гг. Для исходных данных и полученных рядов данных построена диаграмма, изображенная на рис. Получить ряд данных для экспоненциальной регрессии с использованием функции ЛГРФПРИБЛ. Для исходных и полученных рядов данных построить диаграмму. Построим линейную регрессию, имеющую уравнение: Для этого осуществляем следующие действия: B14; значение параметра m будет определяться в ячейке С A14 ; по аналогичной методике определяется значение параметра b в ячейке D Таким образом, необходимые для построения линейной регрессии значения параметров m и b будут сохраняться соответственно в ячейках C19, D19; далее заносим в ячейку С4 формулу линейной регрессии в виде: Теперь построим линейную регрессию, заданную уравнением: В результате получаем в ячейке C20 значение параметра m, а в ячейке D20 - значение параметра b; вводим в ячейку D4 формулу: Строим экспоненциальную регрессию, имеющую уравнение: При этом в ячейке C21 будет определено значение параметра m, а в ячейке D21 - значение параметра b; в ячейку E4 вводится формула: Для оценки значимости R применяется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле где n - размер выборки количество экспериментов ; k - число коэффициентов модели. Для построения линейной регрессионной модели необходимо:
Сигнализация старлайн а6 инструкция
Как удержать мужа после
Павел значение имени характер
На сколько литров бак на буксире рт
Томь состав командына сегодня