Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Основные понятия теоретической механики кратко/
Теоретическая механика. В помощь студенту
1. Предмет "Теоретическая механика".
КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики
КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ Теоретическая механика: Цель лекции — показать место курса теоретической механики в учебном процессе и ее связь с другими дисциплинами, изучаемыми в ВУЗе; ознакомить с основными понятиями статики, изложить аксиомы, рассмотреть основные виды связей. Рассмотрим историю науки применительно к теоретической механике. В связи с этим, вплоть до начала 19 века механика определялась как наука о машинах. В общем комплексе наук о машинах механика, которая называется теперь теоретической, занимает первое место. Она изучает общие свойства машин, которые характеризуют все действующие машины, независимо от их специального назначения. Общими свойствами машин являются движение и сила; теоретическую механику можно было бы определить как науку о движениях и силах. Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы эквивалентных преобразований систем сил и определяются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. При изучении равновесия используют принцип неизменности геометрических форм и размеров твердых тел, поскольку их изменение под действием сил обычно мало по сравнению с первоначальными размерами. Поэтому в статике материальные тела считают абсолютно твердыми. Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия одного материального тела на другое. Сила характеризуется численным значением, или модулем, и направлением действия. Единицей измерения силы является 1 ньютон 1Н. Прямая линия, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Системой сил называется совокупность сил, действующих на твердое тело. Если систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом механического состояния тела, то такие две системы сил называются эквивалентными. Система сил, под действием которой свободное тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей силой данной системы сил. Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние — силы, действующие на данную систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему, и внутренние — силы взаимодействия между телами, входящими в рассматриваемую систему. Статика базируется на основных законах, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики. Если на свободное твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой в противоположных направлениях. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или изъять из нее уравновешенную систему сил. Всякое действие одного материального тела на другое вызывает равное и противоположно ему направленное противодействие. Две силы, приложенные к твердому телу в одной точке, всегда имеют равнодействующую силу, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах. Механическое состояние системы не изменится, если освободить ее от связей, приложив к точкам системы силы реакций связей. Эту аксиому называют аксиомой о связях или принципом освобождаемости от связей. Материальные тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве, называют связями. Сила, с которой связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи , или просто реакцией связи. Реакция в случае гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта. Подвижный шарнир каток — ограничивает движение тела в направлении, перпендикулярном плоскости опоры рис. Поэтому реакция будет всегда направлена перпендикулярно этой плоскости. Невесомый стержень с шарнирами на концах рис. Реакция прямолинейного невесомого стержня с шарнирами на концах направлена вдоль стержня. В отличие от нити стержень может работать как на растяжение, так и на сжатие. Если связью является криволинейный стержень, то его реакция будет направлена по прямой АВ, соединяющей шарниры А и В. Цилиндрический шарнир представляет собой цилиндрическую втулку, в которой находится ось вращения рис. Он не воспринимает осевой силы, его реакция находится в плоскости Axy, перпендикулярной оси шарнира. Реакция может быть направлена по любому радиусу шарнира в плоскости Axy. Он отличается от цилиндрического шарнира тем, что кроме радиальных сил может воспринимать и осевую силу рис. Реакция подпятника, как и реакция сферического шарнира, может иметь любое направление. Под этим термином подразумевают нити, веревки, цепи, тросы, канаты, которые могут воспринимать только силы растяжения. Реакция гибкой связи всегда направлена вдоль связи. Он позволяет сочлененным телам пространственные взаимные относительные вращения. Реакция шарнира приложена к его центру и может быть направлена по любому радиусу шарнира рис. При решении задач статики реакции связей обычно являются неизвестными и подлежат определению, а, зная силы реакций связей, можно определить внутренние силы в телах, необходимые для расчета на прочность. Равновесие механической системы не нарушается от наложения новых связей; в частности, оно не нарушится, если все части системы связать между собой неизменно, жестко. Эту аксиому называют аксиомой отвердевания. Теоретическая механика в примерах и задачах. Контрольные задания для СРС — 1 доказать самостоятельно простейшие теоремы статики; 2 указать отличие цилиндрического шарнира от сферического; 3 смысл принципа освобождаемости от связей; 4 может ли одна и та же сила в одном случае быть внешней, а в другом - внутренней? Можно ли утверждать, что их линии действия пересекаются в одной точке? Моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке, равный по величине произведению модуля силы на плечо силы относительно этой точки и направленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть силу стремящейся вращать тело против хода часовой стрелки. Точку, относительно которой определен момент силы, называют моментной точкой. Проведенный из моментной точки перпендикуляр к линии действия силы называется плечом силы. Для плоской системы сил используется алгебраический момент силы относительно точки, равный алгебраической величине произведения модуля силы на плечо силы относительно этой точки. Знак момента силы определяется по следующему правилу: Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Момент силы относительно оси равен нулю: Теорема о зависимости между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно точки на оси: Парой сил называется система двух равных по величине сил, направленных по параллельным прямым в противоположные стороны. Сумма сил пары равна нулю, но пара сил не уравновешена. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары сил. Плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары сил. Совокупность нескольких пар сил, действующих на тело, называется системой пар сил. Пара сил не приводится к равнодействующей силе. Действие пары на твердое тело сводится к вращательному эффекту, мерой которого является векторная величина, называемая моментом пары сил. Модуль этого вектора равен произведению модуля силы пары на ее плечо, то есть. Основные свойства пары сил: Пары сил эквивалентны, если равны векторы-моменты этих пар. Если на тело действует несколько пар с моментами , то их можно привести к одной паре сил с моментом. Контрольные задания для СРС - 1 Доказать самостоятельно теорему о переносе пары сил в параллельную плоскость. Приведение произвольной системы сил к заданному центру. Цель лекции — изложить метод приведения системы сил к простейшей системе метод Пуансо и рассмотреть условия равновесия системы сил. Силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя ее действия, перенести параллельно ее первоначальному направлению в любую точку тела, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы. Произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру, заменив ее одной силой, равной главному вектору системы сил, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно этого центра. Из теоремы о приведении системы сил к силе и паре сил можно вывести условия равновесия системы сил, действующих на твердое тело. Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил равнялся нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также равнялся нулю, то есть. Контрольные задания для СРС — 1 получить условия равновесия плоской и пространственной систем параллельных сил; 2 в каком случае центр тяжести тела обязательно совпадает с центром тяжести его объема и когда эти центры могут не совпадать? Цель лекции — изложить основные положения науки о трении, рассмотреть равновесие тел при наличии трения. Если же тело катить или стремиться катить по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей тел возникает пара сил, препятствующая качению. В курсе теоретической механики рассматривается только сухое трение между поверхностями тел, т. Значение максимальной силы трения не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей. Величине сила трения будет равна лишь в состоянии предельного равновесия т. При малейшем превышении модуля силы этого значения тело начинает двигаться скользить. При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Направление этой силы противоположно направлению скорости тела, а модуль силы трения скольжения определяется произведением коэффициента трения на нормальное давление: Коэффициент трения скольжения динамический коэффициент трения также является величиной безразмерной и определяется опытным путем. Значение коэффициента зависит не только от материала трущихся тел, физического состояния поверхности величины и характера шероховатости, влажности, температуры , но и в некоторой степени от скорости движения одного тела по отношению к другому. В большинстве случаев с увеличением относительной скорости взаимодействующих тел коэффициент сначала несколько убывает от значения , а затем сохраняет почти постоянное значение, т. Реакция R шероховатой поверхности имеет две составляющие: Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Ведущее колесо от ведомого отличается тем, что к нему прикладывается пара сил с моментом М. Сила характеризует сопротивление транспортного средства, например автомобиля, которому ведущее колесо стремится сообщить движение вправо. Ведущее колесо может сообщить автомобилю силу только тогда, когда к колесу будет приложен момент. В этом случае полностью используется максимальная сила трения скольжения. При сила , при сила должна быть больше , что невозможно колесо начинает буксовать ; ведущее колесо может сообщить автомобилю силу, не превышающую силу трения скольжения. Такую силу называют силой тяги по сцеплению. Контрольные задания для СРС — самостоятельно ответить на следующие вопросы: Теоретическая механика определяется как наука о механическом движении. Тело движется, если оно с течением времени изменяет свое положение относительно некоторой системы отсчета. В этом определении подчеркивается , во-первых , относительность движения и, во-вторых , элемент времени; этим механическое движение отличается от простого перемещения, рассматриваемого в геометрии без учета времени. Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В кинематике время t принимается за независимую переменную, а все другие кинематические характеристики перемещение, скорость, ускорение и т. Основной задачей кинематики является определение всех кинематических величин, характеризующих движение как отдельной точки, так и тела в целом. Эта задача может быть решена путем применения различных способов кинематического задания движения точки. Векторный способ задания движения точки. Движение точки можно задать, если выразить ее радиус-вектор в некоторой системе отсчета в виде функции времени. Функция для определенности дальнейших рассуждений предполагается непрерывной, дважды дифференцируемой. Такое задание радиус-вектора точки предполагает наличие системы отсчета, но не конкретизирует ее. В данном случае траекторию точки можно определить как годограф ее радиус-вектора, то есть геометрическое место концов радиус-вектора , изменяющегося во времени. Скорость точки при векторном способе задания движения есть векторная величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора точки; скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения точки, а ее численное значение определяется модулем. Ускорение точки по своему физическому смыслу есть изменение скорости, и определяется как первая производная по времени от скорости точки или как вторая производная от радиус-вектора точки; численное значение ускорения определяется модулем. Координатный способ задания движения точки. Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени необходимо иметь уравнения движения точки в виде:. Эти выражения представляют собой уравнения движения точки в декартовой системе координат и одновременно являются уравнениями траектории точки, записанными в параметрической форме. Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной зависимости между координатами x,y,z, из уравнений движения необходимо исключить время. В рассматриваемом случае скорость точки представляет собой сумму следующих векторов, параллельных осям декартовой системе координат:. Естественный способ задания движения точки. Если траектория точки известна, только тогда можно применить естественный способ задания движения точки. Всего этого в совокупности достаточно для однозначного определения положения точки в пространстве в любой момент времени. Согласно определению скорости точки, учитывая определение единичного вектора , получим:. Проекции ускорения на оси естественной системы координат касательную, нормаль и бинормаль равны:. Очевидно, что и модуль ускорения. Характер движения точки по траектории можно определить исходя из знака произведения скорости и ускорения: При движение точки равномерное , в этом случае при движении по криволинейной траектории и. Г и Лурье А. Контрольные задания для СРС - рассмотреть самостоятельно естественный трехгранник оси естественной системы координат. Цель лекции — рассмотреть простейшие движения твердого тела, установить кинематические характеристики всего тела, а затем изучить движение каждой из его точек в отдельности. Поступательное движение твердого тела. Теорема о скоростях и ускорениях точек тела при поступательном движении. Далеко не во всех задачах кинематики можно пренебрегать размерами движущегося тела и принимать его за точку. Для тех случаев, когда расстояния между частицами тела не изменяются, но по условиям задачи приходится учитывать движение его различных частиц, разработан раздел кинематики, называемый кинематикой твердого тела. Если закрепить две точки твердого тела, то оно сможет поворачиваться вокруг прямой, проходящей через две эти точки. Если закрепить еще и третью точку, не лежащую на той же прямой, то тело окажется неподвижно закрепленным. Таким образом, положение твердого тела определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой, а движение тела — движением трех его точек. Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, проходящая через какие либо две точки тела, остается параллельной своему первоначальному направлению. Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение тела, при котором какие либо две точки тела будут оставаться неподвижными. Прямая, проведенная через эти точки называется осью вращения твердого тела. Вращательное движение твердого тела определено, если задан как функция времени угол, измеряемый в радианах:. Изменение угловой скорости тела во времени характеризуется угловым ускорением. Алгебраическое значение углового ускорения тела определяется как первая производная от алгебраического значения угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота тела вокруг неподвижной оси:. Вращательное движение называется ускоренным , если и замедленным, если , при тело вращается равномерно, в этом случае. Скорость точки тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, определяется векторной формулой Эйлера. Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси направлены по касательной к окружности радиусом в соответствии с направлением угловой скорости тела. Вектор всегда направлен по нормали к траектории точки в сторону ее вогнутости к оси вращения тела. Модуль нормального ускорения точки равен:. Таким образом, модули скоростей и ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, прямо пропорциональны кратчайшему расстоянию от них до оси вращения, причем, чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее скорость и ускорение. Кельзон Теоретическая механика в примерах и задачах, 1 часть, Москва, — с. Контрольные задания для СРС — рассмотреть самостоятельно преобразование простейших движений передаточные механизмы. Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая его точка движется в одной и той же плоскости, параллельной данной неподвижной плоскости. Плоское движение часто встречается в технике. Большинство современных механизмов имеет звенья, совершающие плоские движения. Такие механизмы называются плоскими. Введем понятия алгебраической угловой скорости и алгебраического углового ускорения твердого тела в плоскопараллельном движении:. Для произвольного момента времени скорость точки твердого тела будет определяться следующей формулой:. Вектор лежит в плоскости движущейся фигуры и. Вектор , его модуль: Таким образом, скорость какой-либо точки фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и скорости этой точки при ее вращении вместе с фигурой вокруг полюса. Здесь - ускорения точек В и А относительно неподвижной системы координат; - ускорение точки В при ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг подвижной оси, проходящей через полюс А. Таким образом, ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при ее вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг полюса. Слагаемые вектора есть касательная и нормальная составляющие:. Цель лекции — изложить сложное движение точки с доказательством теоремы Кориолиса. Механическое движение выражается в изменении с течением времени взаимных положений тел. Такое изменение можно отметить только относительно других тел. В ряде задач механики оказывается целесообразным рассмотрение движения точки одновременно в нескольких системах координат. Движение точки, исследуемое одновременно по отношению к нескольким системам отсчета, называют сложным. Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Кинематические характеристики этого движения называются соответственно относительной скоростью и относительным ускорением. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета и всеми неизменно связанными с нею точками пространства по отношению к неподвижной системе, называется переносным, соответственно и характеристики движения будут называться переносной скоростью и переносным ускорением. Зависимость между абсолютной , относительной и переносной скоростями точки в сложном ее движении устанавливает теорема о сложении скоростей. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки определяется кинематической теоремой Кориолиса: Таким образом, абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: Модуль ускорения Кориолиса, если угол между векторами и обозначить , будет равен: Направление вектора определяется правилом векторного умножения либо правилом Жуковского , согласно которому следует спроецировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой же плоскости на 90 0 в сторону переносного вращения. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:. Контрольные задания для СРС — показать применение правила Жуковского для определения ускорения Кориолиса на примере движущихся точек по поверхности Земли по меридианам и параллелям в разных направлениях. Цель лекции — изложить основные законы динамики, рассмотреть две основные задачи динамики точки. Динамика является основным и наиболее общим разделом теоретической механики. В динамике изучают зависимость между движением материальных объектов и действующими на них силами. Соотношения между основными понятиями динамики определяются аксиомами или основными законами движения, данными Ньютоном. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние. Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе точки. Всякому действию всегда есть равное и противоположно ему направленное противодействие, иначе — силы взаимодействия двух тел равны между собой и направлены в противоположные стороны. Если на материальную точку действует система сил , то действие каждой из сил не зависит от действия остальных и каждая из сил сообщает точке такое ускорение, какое она ей сообщила бы, если бы действовала одна, а под действием системы сил точка получает ускорение. В этом заключается принцип независимости действия сил. Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором , а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из уравнения 1 получаем векторное дифференциальное уравнение движения точки:. В проекциях на декартовы оси координат базис дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:. Здесь - проекции ускорения точки на координатные оси, - проекции равнодействующей сил, действующих на точку. На основе дифференциальных уравнений движения материальной точки решают две основные задачи динамики точки: Эту задачу называют первой прямой задачей динамики точки, 2 даны силы, действующие на материальную точку; требуется определить движение этой точки под действием данных сил. Эту задачу называют второй обратной задачей динамики точки. Контрольные задания для СРС — рассмотреть и решить следующую задачу самостоятельно: Одинаковы ли дифференциальные уравнения движения груза по этой плоскости вниз и вверх? Цель лекции — изложить основные понятия динамики механической системы, дать основные понятия геометрии масс. Все силы, действующие на элементы данной механической системы, разделяют на внутренние и внешние. Силы взаимодействия точек данной системы называют внутренними. Силы , действующие на механическую систему со стороны точек тел , не входящих в состав данной системы, называют внешними. Заметим, что к внешним силам будут относиться и реакции связей. В соответствии с первой аксиомой динамики любые две точки системы действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Отсюда следуют два свойства внутренних сил: Под действием внутренних сил могут возникать взаимные перемещения точек или тел механической системы. Система, расстояния между любыми двумя точками которой остаются при движении постоянными, называется неизменяемой. Если расстояние между какими-либо двумя точками системы изменяется при движении, то систему называют изменяемой. Масса и взаиморасположение масс системы являются существенными факторами, влияющими на ее движение. Эти характеристики системы отражаются соответствующими величинами. Механическая система — это система материальных точек, каждая из которых имеет определенную массу и занимает в данный момент времени определенное положение в пространстве. Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Распределение масс в системе можно определить значениями масс ее точек и их координатами. Масса системы М равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему. Если система представляет собой твердое тело, то его масса является мерой инертности тела при поступательном движении. Центром масс механической системы называют геометрическую точку С , радиус- вектор которой определяется по формуле:. При непрерывном распределении массы системы сумма, стоящая в правой части формулы, переходит в соответствующий интеграл. В однородном поле силы тяжести вес любой частицы тела пропорционален ее массе и центр масс любой системы совпадает с ее центром тяжести. В динамике следует говорить о центре масс механической системы, а не о центре тяжести. При исследовании движения системы недостаточно знать ее массу и положение центра масс. Необходимо также определять и другие характеристики распределения масс, которые называются моментами инерции. Моментом инерции механической системы относительно центра полярным моментом называется сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до центра. Моментом инерции относительно оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до этой оси. Из определений следует, что момент инерции системы тела является величиной положительной, не равной нулю. Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут иметь разные значения. Зависимость между моментами инерции системы относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс системы, определяется по теореме Штейнера-Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции системы относительно какой либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы системы на квадрат расстояния между этими осями, то есть Из этой формулы видно, что при удалении оси от оси величина момента инерции возрастает. Контрольные задания для СРС - доказать самостоятельно теорему Штейнера-Гюйгенса. Применить ее к простейшим однородным телам. Цель лекции — рассмотреть дифференциальные уравнения движения механической системы и теорему о движении центра масс системы. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из N точек. На точку M k массой m k системы действует равнодействующая внутренних сил и равнодействующая внешних сил. Проинтегрировать систему 3 N уравнений в общем случае не удается даже для одной точки. Процесс интегрирования еще более усложняет то обстоятельство, что силы реакций связей, наложенных на систему, часто необходимо определять в процессе решения задачи о движении механической системы. Для решения некоторых задач необходимо систему уравнений преобразовать так, чтобы в них содержались зависимости некоторых обобщенных мер движения количества движения, кинетического момента, кинетической энергии от характеристик приложенных сил главного вектора и главного момента относительно центра. Получают эти уравнения из закономерностей, описываемых общими теоремами динамики для механической системы: Просуммируем уравнения по всем точкам механической системы:. Продифференцировав дважды по времени выражение для определения радиус-вектора центра масс системы:. Теорема о движении центра масс механической системы формулируется так: Из теоремы о движении центра масс вытекает следующее следствие закон сохранения движения центра масс:. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то есть , то , откуда после интегрирования получаем: Таким образом, если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то центр масс механической системы движется прямолинейно и равномерно. Контрольные задания для СРС - пользуясь теоремой о движении центра масс решить самостоятельно следующую задачу: Цель лекции — познакомить с мерой действия силы — работой и мощностью; рассмотреть примеры вычисления работы некоторых сил. Элементарная работа силы на элементарном перемещении определяется формулой. Величина скалярная, ее знак определяется знаком функции. Если острый угол, - тупой угол, а для ,. Так как , то формулу 1 можно представить в виде:. Таким образом, элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение. Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы и дифференциала радиус-вектора. Так как , представим выражение 3 в виде:. Таким образом, элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки ее приложения. Полную работу силы на конечном перемещении определяют как предел суммы ее элементарных работ, то есть где работа силы на элементарном перемещении. Так как эта сумма является интегральной суммой определения криволинейного интеграла, то. Работа силы зависит от характера движения точки приложения силы. Например, если скорость точки приложения силы равна нулю, то. Рассмотрим материальную точку М, на которую действует сила тяжести. Точка перемещается из положения М 0 в положение М 1 , при этом координатные оси выбраны так, что ось z направлена вертикально вверх рис. Проекции силы на координатные оси. Подставляя их в формулу для работы, будем иметь:. Следовательно, работа силы тяжести материальной точки равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки при опускании точки работа положительная, при подъеме — отрицательная. Из формулы 8 следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Единица измерения работы в системе СИ - 1 джоуль. Отношение приращения работы силы к элементарному промежутку времени, за которое оно произошло, называется мощностью:. Так как , то. Таким образом, мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Единица измерения мощности в системе СИ - 1 Ватт. Работа силы при поступательном движении твердого тела. При поступательном движении твердого тела векторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы. Тогда элементарная работа силы. Контрольные задания для СРС — рассмотреть самостоятельно работы силы упругости, силы трения скольжения, пары сил сопротивления качению. Теорема об изменении кинетической энергии точки и механической системы. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Вычисление кинетической энергии при различных движениях твердого тела. Кинетическая энергия материальной точки и системы. Кинетическую энергию материальной точки определяют по формуле:. Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек системы:. Кинетическая энергия — положительная скалярная величина. Кинетическая энергия твердого тела. При поступательном движении твердого тела скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому кинетическая энергия. При плоском движении твердого тела , которое можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси CZ с угловой скоростью , кинетическая энергия тела будет определяться формулой:. Контрольные задания для СРС — 1 Влияют ли внутренние силы системы на изменение ее кинетической энергии? Цель лекции - изложить теорему об изменении количества движения для материальной точки и механической системы. Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный и полный импульс силы. Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Количеством движения механической системы называется вектор , равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы:. Вектор является свободным вектором. Используя понятие центра масс механической системы, количество движения системы представим в виде:. Элементарным импульсом силы за элементарный промежуток времени называется векторная величина, равная. Полный импульс силы за конечный промежуток времени равен:. Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения точки: Это уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: Последнее уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: Теорема допускает первый интеграл закон сохранения в случае, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю:. Тогда вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и по направлению: Контрольные задания для СРС — ответить на следующие вопросы: Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс? При каких условиях центр масс системы находится в покое? Момент количества движения материальной точки и механической системы. Кинетический момент вращающегося тела. Для характеристики движения материальной точки используют еще одну векторную меру движения — момент количества движения, или кинетический момент, относительно центра. Моментом количества движения материальной точки массой m относительно центра О называют векторную величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения точки:. Главным моментом количества движения, или кинетическим моментом механической системы относительно центра О называют геометрическую сумму векторов моментов количеств движения материальных точек системы относительно этого же центра:. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью. Определим кинетический момент вращающегося тела относительно оси Oz. Проекции скорости точки А к тела на касательную к траектории движения , а момент количества движения точки относительно оси Oz. Здесь момент инерции тела относительно оси вращения. Знак определяется знаком проекции угловой скорости. Для механической системы, состоящей из материальных точек, к каждой из которой приложены равнодействующие внешних и внутренних сил , запишем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра О:. Последняя формула выражает теорему об изменении главного момента количеств движения кинетического момента механической системы: Это уравнение выражает закон сохранения кинетического момента относительно центра О. Контрольные задания для СРС - Невесомый круглый диск радиусом R, расположенный в горизонтальной плоскости, вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определить кинетический момент относительно этой оси материальной точки массы m , двигающейся по отношению к диску со скоростью при ее движении: Конспект , лекций , дисциплине , ТМ , Теоретическая , Механика , Введение , механику , основные , понятия , Аксиомы , статики 0. Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные понятия и аксиомы статики. Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:. Связи и их реакции В данной лекции рассматриваются следующие вопросы Введение Элементы векторной алгебры Основные понятия статики Аксиомы статики Связи и их Изучение этих вопросов необходимо в дальнейшем для изучения центра тяжести Конспект лекций по дисциплине Программно-аппаратные средства защиты информации Основные понятия и определения Тема Основные понятия и определения За несколько последних десятилетий требования к информационной безопасности существенно изменились До начала широкого Конспект лекций по дисциплине Экономика недвижимости: Уральский государственный экономический университет Аксиомы статики Статика изучает методы преобразования сил приложенных к материальной точке или твердому телу а также условия их равновесия Сила мера механического взаимодействия материальных тел в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать Конспект Лекций по ТОЭ Конспект лекций По дисциплине Экономика. Экономические системы и общие проблемы экономического развития Образования Новосибирский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения Российской Федерации Текст предоставлен литагентом http litres ru ИНСТИТУТ Архитектуры и искусств КАФЕДРА ИНЖЕНЕРНО строительных ДИСЦИПЛИН Кафедра статистики и эконометрики Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право. Основные понятия и аксиомы статики КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ Теоретическая механика: История развития теоретической механики. Основные понятия и определения 2. Моменты силы относительно точки и оси. Моменты силы относительно точки и оси 2. Отметим следующие свойства момента силы относительно точки: Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо: Модуль этого вектора равен произведению модуля силы пары на ее плечо, то есть Основные свойства пары сил: Условия равновесия системы сил Цель лекции — изложить метод приведения системы сил к простейшей системе метод Пуансо и рассмотреть условия равновесия системы сил. Теорема о параллельном переносе силы. Приведение системы сил к заданному центру 2. Точку, к которой приводят систему сил, называют центром приведения данной системы сил. Эти условия являются векторными условиями равновесия любой системы сил. Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме имеют вид: Условия равновесия плоской системы сил: Равновесие тел с учетом сил трения. Из условий равновесия колеса получаем Рис. В предельном состоянии равновесия. Введение в кинематику 2. Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени необходимо иметь уравнения движения точки в виде: В рассматриваемом случае скорость точки представляет собой сумму следующих векторов, параллельных осям декартовой системе координат: Согласно определению скорости точки, учитывая определение единичного вектора , получим: Отсюда следует, что проекция скорости точки на ось, касательную к траектории точки, равна. Эту производную иногда называют алгебраическим значением скорости точки. Для ускорения точки имеем: Проекции ускорения на оси естественной системы координат касательную, нормаль и бинормаль равны: Очевидно, что и модуль ускорения Характер движения точки по траектории можно определить исходя из знака произведения скорости и ускорения: ГЛОССАРИЙ Рекомендуемая литература 1 Яблонский А. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Вращательное движение твердого тела определено, если задан как функция времени угол, измеряемый в радианах: Алгебраическая угловая скорость вращения тела. Алгебраическое значение углового ускорения тела определяется как первая производная от алгебраического значения угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота тела вокруг неподвижной оси: Модуль скорости точки определятся как Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси направлены по касательной к окружности радиусом в соответствии с направлением угловой скорости тела. Ускорение точки тела Слагаемые в правой части представляют собой касательную и нормальную составляющие ускорения точки. Модуль касательного ускорения равен: Модуль нормального ускорения точки равен: Полное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,равно: Его численное значение модуль определяется по формуле: Теорема о скоростях точек плоской фигуры. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры. Введем понятия алгебраической угловой скорости и алгебраического углового ускорения твердого тела в плоскопараллельном движении: Для произвольного момента времени скорость точки твердого тела будет определяться следующей формулой: Для определения ускорений точек плоской фигуры необходимо пользоваться следующей формулой: Слагаемые вектора есть касательная и нормальная составляющие: План лекции Теорема о сложении скоростей. Теорема о сложении ускорений теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях: Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки. Математически этот закон можно записать в виде , 1 где - ускорение точки, - характеризует инертные свойства точки и называется массой. Если на материальную точку действует система сил , то действие каждой из сил не зависит от действия остальных и каждая из сил сообщает точке такое ускорение, какое она ей сообщила бы, если бы действовала одна, а под действием системы сил точка получает ускорение , где. Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором , а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из уравнения 1 получаем векторное дифференциальное уравнение движения точки: Введение в динамику системы. План лекции Механическая система. Внешние и внутренние силы Масса системы. Центр масс механической системы Моменты инерции. Центром масс механической системы называют геометрическую точку С , радиус- вектор которой определяется по формуле: Осевой момент инерции тела является мерой инертности тела при его вращательном движении. Согласно этой теореме, момент инерции системы относительно какой либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, сложенному с произведением массы системы на квадрат расстояния между этими осями, то есть. Из этой формулы видно, что при удалении оси от оси величина момента инерции возрастает. Дифференциальные уравнения движения механической Системы. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек в векторной форме имеют вид: Начальные условия имеют следующий вид: Просуммируем уравнения по всем точкам механической системы: Здесь - главный вектор внутренних сил. Продифференцировав дважды по времени выражение для определения радиус-вектора центра масс системы: Тогда , где - главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему. Из теоремы о движении центра масс вытекает следующее следствие закон сохранения движения центра масс: Элементарная и полная работа силы. Элементарная работа силы на элементарном перемещении определяется формулой , 1 где , - скорость точки приложения силы. Так как , то формулу 1 можно представить в виде: Поскольку , то, согласно 1 , или 3 Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы и дифференциала радиус-вектора. Так как , представим выражение 3 в виде: В аналитической форме 4 будет иметь вид: Полную работу силы на конечном перемещении определяют как предел суммы ее элементарных работ, то есть , 5 где работа силы на элементарном перемещении. Используя различные формулы для определения элементарной работы, получаем: Если же сила является функцией времени, то, согласно 4 , работа силы определяется выражением: Подставляя их в формулу для работы, будем иметь: Отношение приращения работы силы к элементарному промежутку времени, за которое оно произошло, называется мощностью: Полная работа силы на каком-либо перемещении будет Работа силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Разложим силу , приложенную в произвольной точке М тела, по осям естественного… Работы составляющих силы по нормали и бинормали равны нулю, ибо они направлены… Поэтому. Рекомендуемая литература 1 Яблонский А. Вычисление кинетической энергии при различных движениях твердого тела 2. Теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы. Кинетическую энергию материальной точки определяют по формуле: Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек системы: При поступательном движении твердого тела скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому кинетическая энергия , где - масса твердого тела. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки. Тогда , где - момент инерции тела относительно оси вращения. При плоском движении твердого тела , которое можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с центром масс С и вращения вокруг подвижной оси CZ с угловой скоростью , кинетическая энергия тела будет определяться формулой: Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: Дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему. Таким образом, первая производная по времени от кинетической энергии системы… Проинтегрировав дифференциальные уравнения, будем иметь: Количеством движения механической системы называется вектор , равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы: Используя понятие центра масс механической системы, количество движения системы представим в виде: Полный импульс силы за конечный промежуток времени равен: Для механической системы будем иметь: Умножая обе части уравнения на dt, получим: Интегрируя уравнение в заданных пределах, получим: Теорема допускает первый интеграл закон сохранения в случае, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю: Теорема об изменении кинетического момента. Цель лекции - изложить теорему об изменении кинетического момента. Кинетический момент вращающегося тела 2. Моментом количества движения материальной точки массой m относительно центра О называют векторную величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения точки: Главным моментом количества движения, или кинетическим моментом механической системы относительно центра О называют геометрическую сумму векторов моментов количеств движения материальных точек системы относительно этого же центра: Проекции скорости точки А к тела на касательную к траектории движения , а момент количества движения точки относительно оси Oz , где. Формула выражает теорему об изменении момента количества движения кинетического момента материальной точки: Для механической системы, состоящей из материальных точек, к каждой из которой приложены равнодействующие внешних и внутренних сил , запишем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра О: Теорема допускает первый интеграл закон сохранения кинетического момента , если. Что будем делать с полученным материалом: Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях: Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему: Подпишитесь на Нашу рассылку. Новости и инфо для студентов Свежие новости Актуальные обзоры событий Студенческая жизнь. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального Санкт Петербургский государственный университет Курс лекций по теплотехнике. Основные понятия и определения Автор курса Скрябин В И Конспект лекций по дисциплине Информатика Введение в информатику Введение в информатику Определение инфоpматики В году Информация может существовать в самых разнообразных формах Конспект лекций по курсу Информационные технологии в предметной области. Основные понятия и определения ИТ Конспект лекций по курсу Информационные технологии в предметной области для Составитель ст преподаватель кафедры МЭММБИ В В Ошкало По дисциплине Теория организации Краткий конспект лекций по дисциплине Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Философия История Социология Демография Экономика Государство Юриспруденция Право Политика Науковедение Культура Образование Педагогика Психология Лингвистика Литература Искусство Журналистика и СМИ Компьютеры Программирование Информатика Религия Математика Физика Механика Химия Биология Геология География Астрономия Энергетика Электротехника Электроника Связь Высокие технологии Машиностроение Ядерная техника Приборостроение Полиграфия Биотехнологии Промышленность Производство Строительство Архитектура Сельское хозяйство Торговля Туризм Транспорт Медицина Спорт Военное дело Изобретательство Охрана труда Экология Маркетинг Менеджмент Иностранные языки Финансы Кулинария Косметика Домостроительство Без категории. Рефераты Контрольные Работы Шпоры Домашние Задания Доклады Курсовые Работы Курсовые Проекты Отчетные Работы Расчетно-пояснительные Записки Лабораторно-практические Работы Самостоятельные Работы Дипломные Работы Зачетные Работы Комплексные Задания Расчетно-графические Работы Индивидуальные Работы Домашние Работы Семинары Отчеты по Практике Лекции Методические Указания Лабораторные Работы Расчетно-графические Задания Дипломные Работы Дипломные Проекты Конспекты Лекций Конспекты. О Сайте Рефераты Правила Пользования Правообладателям Обратная связь. Moment of momentum оf particle system about point; angular momentum of particle system about point.
Нумерация приказовпо личному составу
Балтай саратовская область карта
Угол зрения каталог череповец
Теоретическая механика. В помощь студенту
Банкомат своими руками для игры
Разум тела человека
Что делать если обнаружили вирус эпштейна барра
1. Предмет "Теоретическая механика".
Понятие договора найма
Что значит имя оганес значение
Теоретическая механика. В помощь студенту
Правила проведения экспертизы в республике казахстан
Предварительные результаты человек
Методика тулуз пьерона описание
КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики
Kx tga110ru инструкция скачать