Математический форум Math Help Planet
Курсовая работа: Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений
Алгоритм численного метода Гаусса:
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений классифицируют на прямые точные и итерационные. Прямые методы основаны на выполнении конечного числа арифметических операций, это, например, метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод Гаусса-Жордана, метод прогонки для трехдиагональных матриц и т. Суть итерационных методов, в свою очередь, заключаются в том, чтобы за счет последовательных приближений получить решение системы, определяемое необходимой точностью. Я попытаюсь наиболее подробно рассмотреть два из них, а именно метод простых итераций и метод Зейделя. Они практически эквивалентны, поэтому ограничусь подробным анализом метода простых итераций, а в конце пару слов скажу по поводу метода Зейделя. А прежде чем приступить к рассмотрению какого-то конкретного метода, хочется немного описать итерационные методы решения СЛАУ в общем плане. Эти методы характеризуются большими расчетными объемами, что не мешает им быть по своей структуре достаточно простыми. Всего-навсего за счет предыдущих приближений мы получаем новые приближения, и, если система удовлетворяет условию сходимости, то эти приближения все меньше и меньше отличаются от аналитического решения. Теперь, опираясь на представленную последовательность, разберем метод простых итераций. Все мы знаем, что система линейных уравнений может быть записана в матричной форме, где A — матрица коэффициентов, b — вектор свободных членов, x — вектор неизвестных. Смотрим на первый этап итерационных методов — он предполагает преобразование исходной системы, а именно матрицы А и вектора b к итерационной форме, где С и d — итерационные формы исходных данных. Также следует отметить, что, несмотря на эти формулы, диагональные элементы новой матрицы обнуляются, хотя должны быть равны Если считать по исходной системе, то да. Все дело в том, что я не сказал про одно "НО". Это "НО" заключается в следующем. Если мы будем преобразовывать исходную систему к итерационной форме, то она не удовлетворит условию сходимости:. Некоторые элементы матрицы C будут больше единицы. А глядя на условие сходимости, становится понятно, что, если хотя бы один будет больше единицы, то условие не выполнится, и решение системы путем простых итераций не будет найдено. Поэтому открываем учебник по линейной алгебре и вспоминаем элементарные матричные преобразования! Прежде чем следовать этапам итерационных методов, нужно привести исходную систему к виду, в котором все диагональные элементы были бы максимальными по модулю в своих строках. Только при таком виде матрицы коэффициентов можно надеется на выполнение условия сходимости. Смотрим нашу начальную систему. Видим, что третий элемент третьей строки по модулю больше других. Меняем местами первую и вторую строки. Теперь умножаем строку, ставшую первой, на -1 и складываем с новой второй. Теперь при подстановке в формулы мы получим итерационную форму верно. К сожалению, это преобразование начальной системы к "благоприятному" виду - чистая аналитика, поэтому записать его в программный код очень сложно, а если даже и попытаться, то в некоторых случаях вероятно возникновение ошибок. Переходим ко второму этапу: Если система не проходит проверку, то приближения не будут сходиться к реальному решению, и ответ получен не будет. В этом случае можно попытаться получить другую "благоприятную" форму. Если условие сходимости выполнено, то стратегия метода простых итераций применима и осуществляется переход к третьему этапу. Итерационный процесс в методе простых итераций идет до тех пор, пока вектор приближений не достигнет заданной точности, то есть пока не выполнится условие выхода:. Я думаю, что теории достаточно, осталось лишь обратить внимание на программную реализацию метода. Далее представлен код, написанный в среде PascalABC. Эта система была выбрана мной благодаря возможности работать с динамическими массивами в Turbo Pascal предусмотрены только статические. Поэтому программа может решать любую нормальную систему линейных уравнений, которая проходит проверку условия сходимости. Главное, чтобы вид этой системы соответствовал вышеописанным критериям. Применимо к нашей СЛАУ программа выдаст ответ: Такой вектор приближений соответствует точности 10 -6 , прописанной в коде. Как я уже говорил, метод простых итераций и метод Зейделя почти идентичны. Разница лишь в том, что в методе Зейделя расчет вектора приближений на текущей итерации происходит с использованием данных, полученных ни только на предыдущей, но и на нынешней итерации. То есть элемент x 1 вычисляется на основе x 2 и x 3 , значения которых, расчитаны на предыдущей итерации, а следующий элемент x 2 уже вычисляется за счет x 1 , полученного именно на текущей итерации, и x 3 на предыдущей. Другими словами данные в методе Зейделя для расчета вектора X поступают в процесс по мере их вычисления. А в методе простых итераций используются данные, строго полученные на предыдущей итерации. Это различие говорит нам о том, что метод Зейделя обладает наилучшей сходимостью нежели метод простых итераций, так как для него характерна тенденция использования приближений, получаемых по ходу процесса, наиболее близких к конечному результату. И на последок покажем это различие в практической реализации. Чтобы метод простых итераций "превратился" в метод Зейделя нужно поменять процедуру ProstIterMetode, например, на следующую:. Запомнить меня на этом копьютере. Регистрация Забыли свой пароль? Введение Метод простых итераций Метод Зейделя Введение Методы решения систем линейных алгебраических уравнений классифицируют на прямые точные и итерационные. Для итерационных методов можно выделить три последовательных этапа: Приведение исходной системы вида к итерационной форме. Решение системы одним из методов. Метод простых итераций Теперь, опираясь на представленную последовательность, разберем метод простых итераций. Переход к итерационному виду осуществляется по следующим формулам: В итоге для нашей системы должно получиться: Если мы будем преобразовывать исходную систему к итерационной форме, то она не удовлетворит условию сходимости: В конечном счете, мы получили систему линейных алгебраических уравнений в итерационной форме: Итерационный процесс в методе простых итераций идет до тех пор, пока вектор приближений не достигнет заданной точности, то есть пока не выполнится условие выхода: Integer ; begin SetLength b , n ; for i: Запомнить меня на этом копьютере Регистрация Забыли свой пароль? Метод Зейделя Как я уже говорил, метод простых итераций и метод Зейделя почти идентичны. Чтобы метод простых итераций "превратился" в метод Зейделя нужно поменять процедуру ProstIterMetode, например, на следующую: Лебедев Максим Дата публикации:
Целью данной курсовой работы является разработка алгоритмов и программ для решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса; нелинейного уравнения с помощью метода хорд; для численного интегрирования по правилу трапеций. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции целые, рациональные, иррациональные. В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции тригонометрические, показательные, логарифмические и другие называются трансцендентными. Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода. Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных в особенности — нелинейных задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньший числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод известен в различных вариантах уже более лет. Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные. Строго говоря, описываемый выше метод правильно называть методом "Гаусса-Жордана" Gauss-Jordan elimination , поскольку он является вариацией метода Гаусса, описанной геодезистом Вильгельмом Жорданом в г. Также интересно заметить, что одновременно с Жорданом а по некоторым данным даже раньше него этот алгоритм придумал Класен B. Под нелинейными уравнениями понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения вида , где х - действительное число, а — нелинейная функция. Для решения этих уравнений применяется метод хорд — итерационный численный метод приближенного нахождения корней. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Решить уравнение итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью. В практике используют два типа методов численного решения СЛАУ — прямые и косвенные. При использовании прямых методов СЛАУ приводится к одной из специальных форм диагональной, треугольной позволяющих точно получить искомое решение если таковое существует. Наиболее распространенным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Итерационные методы служат для поиска приближенного решения СЛАУ с заданной точностью. Следует отметить, что итерационный процесс не всегда сходится к решению системы, а только тогда, когда последовательность получаемых при расчетах приближений стремиться к точному решению. При решении СЛАУ методом простой итерации ее преобразуют к виду, когда в левой части находится только одна из искомых переменных:. Процесс повторяют до тех пор, пока максимальная из невязок, определяемых по выражению:. Если максимальная невязка при k -ой итерации окажется больше максимальной невязки при k-1 -ой итерации, то процесс аварийно завершают, так как итерационный процесс расходится. Для минимизации количества итераций новые значения x можно вычислять с использованием значением невязок на предыдущей итерации:. Что следует понимать под методом обучения? Решение профессиональных задач III. Виртуальные функции для понижающего преобразования. Типовое решение Visitor Анализ и решение межличностных проблем с помощью интеллект-карт. Астрономия Биология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника.
Получить больничный лист по совместительству
Схема задней моста трактора
Йота единица измерения сколько это
Текст вечернего молитвенного правила
Расписание поездов оленегорск санкт петербург ржд