МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ это:
Конспект "История развития математики"
Как появилась математика?
История возникновения математики
Конспект "История развития математики"
Конспект "История развития математики"
Счет — это самая древнейшая математическая деятельность. Людям был жизненно необходим счет, так как требовалось вести торговлю, а также следить за поголовьем своего домашнего скота. Учеными было открыто, что одни из самых первобытных человеческих племен вели счет предметов, прибегая к помощи различных частей тела, конечно же, главными из которых были пальцы рук и ног. Со времен каменного века сохранился наскальный рисунок, в котором число 35 было нарисовано в виде 35 палочек-пальцев, которые были выстроены в один ряд. Одними из самых первых достижений в арифметике стали выработка концепции числа, а также появление четырех важнейших действий: К первым достижениям геометрии относятся понятия, представляющие собой простейшие геометрические фигуры:. Дальше математика начала активно развиваться примерно в III тысячелетии до н. О вавилонской цивилизации, к счастью, нам известно довольно много. Все это благодаря отлично сохранившимся глиняным табличкам, которые были покрыты так называемыми клинописными текстами, возраст которых датируется примерно от лет до н. Как правило, математика на найденных клинописных табличках в основном затрагивала только моменты, связанные с ведением хозяйства. Также простая арифметика и алгебра применялись при обмене денег, при расчетах за товары, вычислении либо простых, либо сложных процентов, налогов и части урожая, которые обычно уходили в пользу государства, землевладельца или храма. Со временем, когда начали строить каналы, зернохранилища и другие сложные постройки, арифметические и геометрические задачи стали усложняться. Математика также понадобилась и для ведения учета общественных работ, которых в то время было предостаточно. Крайне важную роль математика сыграла при расчете календаря. Ведь именно по календарю определялись сроки посева и сбора урожая, а также все религиозные праздники. Именно вавилонская астрономия положила начало делению окружности на градусов, а градуса и минуты на шестьдесят частей. Вавилонянам принадлежит одна из первых систем исчисления. Для этого они использовали числа от 1 до 59, основанием которых была ка. Символ, который обозначал единицу, вавилоняне повторяли необходимое количество раз для чисел от 1 до 9. Дальнейшие обозначения, то есть, от 11 до 59, обозначались комбинацией символа числа 10, а также символа единицы. Для чисел, начиная с 60 и больше, была введена позиционная система исчисления, основанием которой стало число Существенным прорывом в вавилонской математике стал позиционный принцип. То есть, один и тот же числовой знак или символ обретал различные значения в зависимости от места его расположения. В качестве примера может послужить значение 6 в нынешней записи числа Однако у вавилонян ноль отсутствовал, именно поэтому и набор символов могут означать следующее: Возникали неоднозначность и с восприятием дробей, так как одни те же символы могли трактоваться и как число, и как дробь. Но данная проблема решалась довольно просто — все зависело от конкретного контекста. Примерно лет до н. Так, вавилоняне использовали ее для исследований движения планет и Луны. Данный факт позволил им предугадывать положение планет, а это стало важнейшим шагом вперед для астрологии и астрономии. Вавилоняне прекрасно ориентировались в геометрии. Они прекрасно знали о соотношениях, к примеру, о таких, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников, признаки равенства треугольников. Теорема Пифагора им также была известна, и то, что угол, который вписан в полуокружность является прямым. У вавилонян были и правила вычисления, формулы площадей простых плоских фигур, включая правильные многоугольники и объемы простых чисел. А вот число пи в Вавилонском царстве приравнивалось к трем. Наше понимание древнеегипетской математики основывается в основном на двух папирусах, которые датируются приблизительно лет до н. Однако те математические сведения, которые содержат эти папирусы, восходят к совсем раннему периоду, примерно лет до н. Египтяне отлично ориентировались на тот момент в математике. Они использовали ее для вычисления массы тел, площадей посевов, объемов зернохранилищ, размеров податей, количества камней, которые предназначались для строительства различных сооружений. В папирусах нашлось и упоминание о задачах с определением количества зерна для приготовления необходимого числа кружек пива и даже более сложных, где для приготовления пива использовались одновременно несколько сортов зерна. В данном случае прибегали к переводным коэффициентам. Но, пожалуй, основное применение математика в Египте нашла в астрономии. При помощи математики производились расчеты, которые были связаны с календарем. Календарь был необходим для определения различных дат религиозных праздников, а также для предсказания ежегодных разливов реки Нил. Однако, несмотря на все эти факты, уровень астрономии в Древнем Египте все же существенно уступал степени ее развития в Вавилонском царстве. Вся древнеегипетская письменность была основана на иероглифах. Причем, система исчисления, так же, как и астрономия, сильно уступала вавилонской системе. Египтяне использовали только непозиционную десятичную систему, где числа от одного до девяти обозначались при помощи вертикальных палочек соответствующим числом. Что касается последовательных степеней числа десять, то тут уже использовались индивидуальные символы. Последовательно сопоставляя данные символы, можно было написать любое число. Когда появился папирус, появилось и иератическое письмо-скоропись. Именно оно в большей степени поспособствовало возникновению новой числовой системы. Теперь каждое число от одного до девяти, а также первые девять кратных чисел 10, и так далее, обозначались специальным опознавательным символом. Дроби стали записывать, как сумма дробей с числителем, который был равен единице. С подобными дробями производились четыре арифметические операции, однако сама процедура данных вычислений оставалась все же весьма громоздкой. У египтян геометрия в основном сводилась к вычислениям площадей круга, треугольников, прямоугольников, трапеций и к формулам объемов определенных тел. Стоит также отметить, что, несмотря на все величие египетских пирамид, для их строительства египтяне использовали крайне простую и примитивную математику. Все задачи, включая их решения, которые были представлены в папирусах, были сформулированы только рецептурно, без всяких объяснений. Египтяне работали только с самыми простейшими видами квадратных уравнений, а также арифметическими и геометрическими прогрессиями. Именно поэтому и все те правила, которые они выводили для себя, были, соответственно, самого простейшего вида. Ни египетская математика, ни вавилонская, не имели общих методов. Весь багаж математических знаний являл собой только скопление эмпирических правил и формул. Несмотря на то, что индейцы майя, проживавшие на территории Центральной Америки, нисколько не оказали своего влияния на развитие математики, их некоторые достижения, которые относятся приблизительно к IV веку, все же заслуживают отдельного внимания. Скорее всего, именно майя, в своей двадцатеричной системе самыми первыми начали использовать определенный символ для обозначения нуля. А вообще у майя были две системы исчисления. Одна подразумевала использование иероглифов, вторая являлась более распространенной, так как была более примитивной. Так, точка обозначала единицу, горизонтальной чертой обозначали число пять, специальный символ — ноль. Остальные позиционные обозначение шли с числа двадцать. Числа писались по вертикали и сверху вниз. Как утверждает нам XX век, основателями математики были греки классического периода VI-IV в. Все, что было ранее, — это всего лишь набор эмпирических заключений. И в дедуктивном рассуждении последнее утверждение было сделано таким образом, что любая возможность его исключения сводилась к нулю. Греки сильно настаивали именно на дедуктивном доказательстве, и это обстоятельство было экстраординарным шагом. Стоит заметить, что кроме греков, больше ни одна цивилизация не смогла дойти до идеи получения конечных заключений, основываясь только на дедуктивных рассуждениях, которые были сформулированы из аксиом. Именно в греческом обществе классического периода исследователи находят одно из объяснений приверженности методам дедукции. В то время абсолютно все математики, а также философы как правило, это были одни и те же лица принадлежали исключительно к высшим слоям общества. Они никогда не утруждали себя практической деятельностью, так как рассматривали это занятие, как крайне непристойное. Математику греки разделяли на арифметику теоретический аспект и на логистику вычислительный аспект. И, если арифметика полностью принадлежала математикам-философам, то логистикой могли заниматься свободнорожденные низших классов, а также рабы. В греческой системе счисления использовался алфавит. Аттическая система, которой пользовались в VI-III в. Чуть позже в ионической системе счисления, чтобы обозначить числа, применялись 24 буквы греческого алфавита, включая три архаические. Все кратные числа от до обозначались точно так же, как первые девять чисел, то есть от одного до девяти, но для отличия перед каждой буквой греки ставили вертикальную черту. Буквой М от греч. Мириони — 10 обозначались десятки тысяч. К моменту прихода времени Платона и Аристотеля греческая математика полностью сформировала дедуктивный характер. Дедуктивную математику приписывают Фалесу Милетскому приблизительно гг. Однако он, как и многие греческие математики того времени, а именно — классического периода, также был философом. Говорилось, что Фалес начал использовать метод дедукции, чтобы доказать некоторые задачи в геометрии, но многие ставят это под большой вопрос. Другой великий грек, чье имя тесно связано с развитием математики, также внес свой вклад в ее развитие. Это, конечно же, был Пифагор приблизительно гг. Он много странствовал, поэтому и познакомился с вавилонской, а также египетской математикой. Пифагор в дальнейшем организовал целое свое движение, популярность которого пришлась на гг. Сторонники этого движения называли себя пифагорейцы. Именно они уже создали чистую математику, которая была представлена на основе теории чисел и геометрии. Такие числа, как 3, 6, 10 и так далее пифагорейцы прозвали треугольными, потому как соответствующее число камешков можно было расположить в виде треугольника. Числа 4, 9, 16 и так далее — квадратные числа, так как число их камней можно было расположить в форме квадрата. Простые геометрические конфигурации для пифагорейцев открывали определенные свойства чисел. В частности, так называемые треугольные числа, последовательно идущие друг за другом, в сумме давали квадратное число. Пифагорейцы относились к числам как к чему-то большему, нежели просто обозначению количества. Так, двойка символизировала различие и соотносилась с мнением, которое, как известно, бывает различным у разных людей. Число 4 означало справедливость, так как состоит из двух равных частей, одинаковых множителей — двоек. Открытия пифагорейцев относительно сумм чисел привели к возникновению теоремы Пифагора. Так, толчком к этому послужило открытие того, что некоторые квадратные числа в сумме давали опять же квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25 и так далее. Такие числа, как 3,4 и 5, а также 5, 12, 13 и т. Они находят отражение в геометрии: Если 2 числа из тройки представляют собой длины катетов треугольника, то третье — длина гипотенузы этого треугольника. Именно из этого заключения была выведена теорема Пифагора. В Древней Греции математика тесно граничила с геометрией. Так, любое квадратное уравнение решалось при помощи геометрических построений. Существовали особые построения для разных арифметических действий: В результате того, что задачи стали иметь геометрический вид, это привело к ряду важных событий. Одно из них — числа теперь стали рассматривать и отдельно от геометрии, так как делать расчеты с несоизмеримыми отношениями, было возможно только, прибегая к геометрическим методам. Геометрия на тот момент являлась основной практически всей математики. Это длилось вплоть до XVI века. Достаточно оснований полагать, что именно пифагорейцы открыли то, что сегодня мы называем теоремами о треугольниках, многоугольниках, параллельных прямых, сферах, окружностях и правильных многогранниках. Конечно же, самым ярким и выдающимся пифагорейцем считался Платон приблизительно гг. Именно Платон считал, что физический мир можно постичь только посредством математики. Благодаря этому утверждению, ученые и историки посчитали, что именно он открыл аналитический метод доказательства. Данный метод начинается с утверждения, которое необходимо доказать. После доказательств выводятся следствия до того момента, пока не получится какой-либо известный факт. Доказательство получают при помощи уже обратной процедуры. Еще одно из заметных мест в истории развития математики занимает один из учеников Платона — Аристотель. Он открыл основы науки логики, а также высказал идеи по поводу определения аксиом, возможности геометрических построений и бесконечности. Одним из самых величайших математиков в Греции классического периода был Евдокс приблизительно гг. По важности достигнутых результатов он уступал только Архимеду. Евдокс ввел такие понятия, как понятие величина для отрезков прямых и углов. Обладая понятием величины, он смог логически доказать и обосновать пифагорейский метод обращения с иррациональными числами. Благодаря достижениям Евдокса, удалось установить все дедуктивное строение математики, взяв за основу формулируемые аксиомы. Метод исчерпывания заключается в построении вписанных, а также описанных плоских фигур или же пространственных тел, заполняющих исчерпывающих объем либо площадь фигуры или тела, которое, собственно, и является предметом самого исследования. Евдокс первым доказал астрономическую теорию, обосновывающую наблюдаемое движение планет солнечной системы. Данная теория являлась чисто математической. Она наглядно демонстрировала, каким именно образом комбинации вращающихся сфер, обладающих различными диаметрами, а также осями вращения, могут объяснить кажущиеся нерегулярные движения планет, Солнца и Луны. Он отобрал некоторые аксиомы и впоследствии вывел более теорем, которые охватывали самые важные результаты греческого классического периода. Свое произведение Евклид начал с установления таких терминов, как окружность, прямая и угол. Благодаря этим десяти аксиомам, Евклиду удалось вывести все свои теоремы. Аполлоний приблизительно года до н. Однако все его основные труды были выдержаны в духе классических традиций. Именно Аполлоний предложил анализ конических сечений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Это стало кульминацией развития всей греческой математики. Впоследствии Аполлоний стал основоположником количественной математической астрономии. Александрийский период начался примерно лет до н. Александрийская математика была образована путем слияния математики Вавилонии и Египта с классической греческой математикой. Математики александрийского периода стремились больше к решению технических задач, не фокусируясь на философии. К великим александрийским математикам относятся: Архимед, Птолемей, Эратосфен, Гиппарх, Папп и Диофант. Именно они смогли по максимуму на тот момент продемонстрировать всю силу греческого гения относительно теоретического абстрагирования. Они также применяли свои таланты для решений практических проблем, а также для решения чисто количественных задач. Именно ему принадлежит создание календаря, в котором каждый четвертый год больше на один день. За астрономом Аристархом приблизительно года до н. Данное сочинение содержит в себе самую первую попытку определения этих самых расстояний и размеров. По характеру изложения данная работа была геометрической. Архимед приблизительно года до н. Он сформулировал большинство теорем о площадях, а также объемах сложных тел и фигур. Он смог их доказать методом исчерпывания. Архимед всегда старался получать только точные решения. Для этого он находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисел. Он также доказал еще несколько теорем, в которых содержались новые результаты по геометрической алгебре. Именно Архимеду принадлежит формулировка задачи о рассечении шара плоскостью таким образом, чтобы в конечном результате объемы сегментов располагались между собой в определенном заданном отношении. Он смог решить данную задачу, найдя пересечение параболы и равнобочной гиперболы. Архимед действительно был и остается самым величайшим математическим физиком и гением древности. Чтобы доказать теоремы механики, он прибегал к геометрическим соображениям. Архимед смог открыть закон, который носит его имя. А сам закон звучит так: Его осенило именно в тот момент, когда он спокойно принимал ванну. В то время, когда Архимед был на пике своей славы, математики не ограничивали себя одними только геометрическими построениями при помощи линейки и циркуля. Архимед уже тогда для своих построений прибегал к помощи спирали. Диоклес же приблизительно II век до н. Во времена александрийского периода алгебра, а также арифметика анализировались независимо от геометрии. Во времена классического периода греки располагали обоснованной теорией целых чисел. В то время как александрийские греки, обратившись к египетской и вавилонской арифметике и алгебре, в большинстве своих случаев просто утратили наработанные ранее представления о математической строгости. Герон Александрийский приблизительно I-II вв. Но во время доказательств новых теорем евклидовой геометрии, Герон все также опирался на стандарты логической строгости классического периода. Ее написал Никомаха приблизительно н. Сам Никомах видел также и более общие отношения, однако приводил их без каких-либо доказательств. Существенный вклад в алгебру александрийских греков внесли работы Диофанта приблизительно гг. Пожалуй, самое главное его вложение — это внедрение в алгебру первой символики. Диофант в своих работах не предлагал каких-либо общих методов, так как предпочитал работать только с конкретными положительными рациональными числами, полностью избегая их буквенных обозначений. Именно он стал основоположником так называемого диофантова анализа, который исследовал неопределенные уравнения. Но одним из самых наивысших достижений александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарх приблизительно гг. Его метод заключался в теореме, где утверждалось, что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответствующих сторон другого треугольника. Также отношение длины катета, лежащего против острого угла A в прямоугольном треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол A. Данное отношение известно как sin A, то есть синус угла A — теорема синусов. Другие отношения сторон прямоугольного треугольника соответственно получили названия cos A и tg A косинус угла А и тангенс угла А. Гиппарх смог изобрести метод вычисления подобных отношений, а также составил их таблицы. Имея в своем распоряжении свои таблицы и легко измеримые расстояния на поверхности нашей планеты, он вычислил длину большой окружности Земли, а также расстояние до Луны. Согласно его расчетам, радиус Луны приравнивался одной третьи земного радиуса. Предполагается также, что именно Гиппарх ввел определение широты и долготы. У египтянина Клавдия Птолемея умер в н. Птолемей всегда хотел создать самую простейшую математическую модель, при этом он прекрасно осознавал, что вся его теория — это лишь простое удобное математическое описание астрономических явлений, которое опиралось на простые наблюдения. Именно поэтому теория Коперника смогла одержать верх как модель, так как она оказалась куда проще. В 31 году до н. Цицерон с огромной гордостью доказывал, что римляне, в отличие от греков, вовсе не мечтатели, поэтому используют свои математические познания на практике и при этом извлекают из них реальную пользу. Но, несмотря на такое утверждение, вклад римлян в математику был ничтожен. Римская система счисления брала за основу громоздкие обозначения чисел. Основной особенностью считался аддитивный принцип. Причем, тот же вычитательный принцип, к примеру, обозначение числа 9 в виде IX, пришел только после того, как изобрели наборные литеры в XV веке, тогда же это и вошло в широкое употребление. Римские числа очень долгое время применялись в некоторых европейских школах до года , а в бухгалтерии — на сто лет позже. После греков за математику активно принялись индийцы. Индийские математики никогда не занимались различными доказательствами, однако именно они ввели ряд оригинальных понятий и высокоэффективных методов. Благодаря им, был введен ноль, причем сразу же, как кардинальное число, так и как символ отсутствия единиц в каком-либо разряде. Махавира приблизительно гг. Так, он установил, что деление любого числа на ноль оставляет число неизмененным. Уже чуть позже Бхаксарой приблизительно н. Именно индийцы ввели в обиход отрицательные числа. Таким образом, они записывали долги. Самое раннее упоминание об отрицательных числах найдено у Брахмагупты приблизительно гг. Примерно в годах н. Аль-Хорезми в своих сочинениях воздавал должное достижениям индийской математики. Алгебра Аль-Хорезми основывалась на учениях Брахмагупты, однако в ней явно проглядывалась вавилонское и греческое влияние. Выдающийся арабский математик Ибн Аль-Хайсам приблизительно гг. Арабские математики, включая и Омар Хайяма, уже тогда умели решать многие кубические уравнения при помощи геометрических методов, при этом, они использовали конические сечения. В тригонометрию арабскими астрономами были введены понятия тангенса и котангенса. Насирэддин Туси приблизительно — гг. Именно он рассмотрел тригонометрию, как отдельное понятие от астрономии. Пожалуй, самым главным вкладом арабов в математику являются их великолепные переводы, а также комментарии к самым выдающимся творениям греков. Европа смогла оценить все эти работы только после того, как арабский Халифат завоевал Северную Африку и Испанию. А уже чуть позднее труды греков полностью перевели на латынь. Несмотря на все свое величие, Римская цивилизация не смогла оставить ни единого существенного следа в математике, так как она была уж слишком озабочена решением своих практических проблем. А вот цивилизация, которая сложилась в Европе времен раннего Средневековья приблизительно гг. Во-первых, вся интеллектуальная жизнь была сконцентрирована только на теологии, во-вторых, — на загробной жизни. Пожалуй, самым главным разделом математики в Средние века оставалась астрология. В то время любого астролога называли математиком. А так как вся медицина на тот момент основывалась преимущественно на астрологических показаниях и противопоказаниях, всем медикам также пришлось срочно стать математиками. Примерно в году западноевропейская математика приступила к освоению сохраненных византийскими греками и арабами наследия Древнего мира Востока. Это продлилось около трех веков. А так как арабы практически полностью владели всеми трудами древних греков, Европа смогла заполучить в свое распоряжение просто огромную математическую литературу. Все труды переводились на латынь, что способствовало существенному росту знаний и подъему математических исследований в довольно короткие сроки. Практически все ученые Европы признавали, что свое вдохновение они черпали именно из трудов греков. Одним из самых первых европейских математиков, который заслужил упоминание, стал Леонардо Пизанский или Фибоначчи. Из сочинения они узнали и про алгебру. Однако в течение последующих нескольких столетий столь возросшая математическая активность пошла на спад. Весь свод математических исследований и знаний той эпохи отразил Лука Пачоли в году. В нем было написано, что никаких алгебраических новшеств открыто либо придумано не было, все это уже есть у Леонардо. Одними из самых выдающихся геометров эпохи Возрождения, как ни странно, стали художники. Именно они развили идею перспективы, требующей геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Понятия проекции и сечения ввел в то время художник Леон Баттиста Альберти гг. Все прямые лучи света, которые исходят от глаз смотрящего к различным точкам представляемой сцены, образуют проекцию. А сечение получается путем прохождения плоскости через проекцию. Поэтому для того, чтобы картина, которую рисует художник, в конечном результате была максимально реалистичной, она должна следовать законам проекции и быть именно таким сечением. Суждение о проекции и сечении тут же вызывали ряд математических вопросов. К примеру, какие именно общие геометрические свойства у сечения и у исходной сцены? Какими именно обладают свойствами два различных сечения одной проекции, которые были образованы двумя различными плоскостями, пресекающими саму проекцию под разными углами? Благодаря таким вот вопросам и родилась проективная геометрия, а основал ее Ж. Он создал ее при помощи доказательств, которые основывались на проекции, а также сечении. Он унифицировал подход к разным типам конических сечений, которые выдающийся геометр из Греции — Аполлоний, рассматривал всегда отдельно. Начало современной математики XVI век в Западной Европе стало выдающимся в достижениях алгебры и арифметики. Математики ввели в обиход десятичные дроби, а также правила арифметических действий с ними. Настоящий фурор совершил Дж. Непер, который в году изобрел логарифмы. Уже в конце XVII века сложилось четкое понимание логарифмов как показателей степеней с абсолютно любым положительным числом, но только не единицей, в качестве основания. В XVI веке стали активно пользовать иррациональными числами. Но в тоже время Р. Несмотря на доказательную базу, эти числа были под подозрением вплоть до XVIII века, несмотря на то, что Л. Эйлер прекрасно ими пользовался. Комплексные числа окончательно были признаны только в XIX веке, после того, как математики того времени полностью ознакомились с их геометрическими представлениями. В XVI веке итальянские математики С. Даль Ферро гг. Кардано гг смогли найти общие решения уравнений третьей, а также четвертой степени. Чтобы их алгебраические рассуждения были понятными, а записи стали более точными, было принято решение ввести множество известных сегодня символов, таких как: Одним их самых ярких нововведений стало систематическое применение французским математиком Ф. Это новшество позволило найти Виету единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. После того, как все было найдено, математики обратились дальше, то есть к уравнениям выше четвертой степени. Над этим упорно трудились Кардано, Ньютон и Декарт. Они опубликовали, правда, без каких-либо доказательств, целый ряд своих результатов, касающихся числа и вида корней уравнения. Фридрих Гаусс гг. У алгебры основная задача состоит в следующем: Эта задача продолжала волновать математиков в начале XIX века. Абель молодой норвежский математик, гг. Но есть множество уравнений специального вида выше четвертой степени, которые, в принципе, могут допускать подобное решение. Совсем юный французский математик Э. В его теории применялись подстановки либо перестановки корней, а также было внедрено такое понятие, как группы, которое сразу же нашло широчайшее применение во множестве областей математики. Развитие теории групп — это хороший пример того, что в математике все же присутствуют и творческие процессы. Галуа создал свою теорию на основе работ Абеля. Сам же Абель брал за основу работы Ж. На самом деле очень многие известные математики, включая и Гаусса и А. В свое время Ньютон заявил и при этом, он не стеснялся своей не чрезмерной скромности: Аналитическая координатная геометрия создавалась совершенно независимо математиком П. Это было сделано специально для расширения возможностей евклидовой геометрии в задачах на построение. Но Ферма оценивал свои работы только как переформулирование сочинения Аполлония. Истинное открытие — это осознание всего могущества алгебраических методов, которое принадлежит все же Декарту. Евклидова геометрическая алгебра требовала для каждого изобретения нового уникального метода, поэтому она не могла предложить количественную информацию, которая так необходима науке. Декарт все же решил данную проблему путем формулировки геометрических задач алгебраически, то есть он решал сначала алгебраическое уравнение и только потом строил искомый результат — отрезок, который имел необходимую длину. Алгебраическая геометрия возникла именно тогда, когда Декарт приступил к рассмотрению неопределенных задач на построение путем решений, где является не одна, а сразу множество различных длин. Алгебраическая геометрия применяет алгебраические уравнения, чтобы представить исследование поверхностей и кривых. Декарт считал, что определенную приемлемую кривую можно записать при помощи единственного алгебраического уравнения относительно x и y. Данный подход стал важным шагом вперед, так как он включил не только число допустимых таких кривых, как циссоида и конхоида, но и значительно расширил область кривых. Таким образом, в XVII-XVIII в. Скорее всего, самым первым математиком, который использовал уравнения для доказательств свойств конических сечений, стал Дж. Именно аналитическая геометрия смогла полностью поменять ролями геометрию и алгебру. Выдающийся французский математик Лагранж сказал: Такие основатели современной науки, как Ньютон, Коперник, Галилей и Кеплер, подходили к изучению природы так же, как и к математике. Исследуя, таким образом, движение, эти великие математики смогли выработать фундаментальное понятие, как отношение между переменными и функция. Такая задача, как вычисление, а также определение мгновенных скоростей изменения разных величин, интересовала практически всех живущих в XVII веке математиков, в том числе и Барроу, Декарта, Валлиса и Ферма. Они предложили различные идеи и методы, которые были объединены в систематический универсально используемый формальный способ Ньютоном, а также Г. Но в разработке данного исчисления математики постоянно вели горячие споры, выясняя, кому же все-таки принадлежит главная заслуга, и Ньютон постоянно обвинял Лейбница в чистом плагиате. Спустя время, исследования подтвердили, что Лейбниц не занимался плагиатом, а наоборот, создал независимо от Ньютона математический анализ. Хочется отметить, что в данной ситуации больше пострадала английская сторона. Математики из Англии так и продолжали анализировать в геометрическом направлении, тогда как математики из континентальной Европы, включая таких гигантов мысли, как И. В отличие от понятия предела, методы математического анализа, которые лежали в основе, смотрелись куда более понятными. Долгое время математики, в том числе и Ньютон с Лейбницем, безрезультатно пытались дать точное определение пределу. Но, несмотря на это и на многочисленные сомнения в определении математического анализа, он продолжал находить все более обширное применение. Интегральное, а также дифференциальное исчисления приобрели статус краеугольных камней в математическом анализе, который спустя время вобрал в себя и теорию дифференциальных уравнений, и дифференциальную геометрию, и вариационные исчисления, и многое другое. И только в XIX веке математикам все же удалось заполучить четкое определение предела. В связи с тем, что большинство числовых систем не могли доказываться без геометрии, евклидовая геометрия стала одной из самых надежных частей всей математики. Однако аксиома о параллельных, рассматривающая признаки параллельности прямых, содержала ратификацию о прямых, которые простирались в бесконечность, но это никак не подтверждалось опытом. Причем версия этой же аксиомы самого Евклида также не утверждала, что какие-нибудь прямые не смогут пересечься. Пожалуй, в ней просто формулируется условие, при котором они могут пересечься в какой-нибудь конечной точке. Веками выдающиеся математики тщательно старались отыскать аксиоме о параллельных адекватную замену. Однако в каждом из предложенных вариантов находилась трещина. Все почести достались Н. Причем каждый из них опубликовал свое оригинальное изложение отдельно, вне зависимости друг от друга. В их изложениях говорится, что через данную точку возможно провести бесконечное число параллельных прямых, тогда как геометрия Б. В то время о различных физических приложениях, касающихся неевклидовой геометрии, никто из математиков серьезно не задумывался. И только после того, как А. Неевклидова геометрия стала на тот момент одним из самых выдающихся свершений XIX века. Она наглядно демонстрировала, что математику ни в коем случае нельзя теперь рассматривать, как свод неприкасаемых единиц. На худой конец математика гарантирует достоверность доказательства, которое будет построено на основе недостоверных аксиом. Однако теперь математики снова получили свободу для исследований любых идей, в которых они видели смысл. Теперь каждый математик в отдельности имел право вводить какие-либо свои понятия, а также устанавливать аксиомы на свое усмотрение, контролируя только то, чтобы происходящие из аксиом теоремы не перечили друг другу. Именно благодаря этой свободе, в конце XIX века и случилось столь грандиозное расширение круга математических исследований. Приблизительно до года математики считали, что ведут свои работы по предначертаниям древних греков, используя тем самым дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, обеспечивая, таким образом, своим заключениям хорошую надежность, причем не меньшую, чем ту, которой обладали аксиомы. Кватернионы алгебра, где отсутствует свойство коммутативности , а также неевклидовая геометрия все же заставили математиков осознать, что принимавшиеся ими за логические и абстрактные непротиворечивые утверждения, на самом деле опирались на эмпирический и прагматический базис. При изучении неевклидовой геометрии происходило также и пониманием того, что в евклидовой геометрии присутствовало огромное количество логических пробелов. Скорее всего, сам Евклид просто не хотел подвергать сомнению те свойства, которые он приписал своим геометрическим фигурам, однако эти свойства не были введены в его аксиомы. Помимо всего прочего, доказывая подобие двух треугольников, он просто использовал наложение одного треугольника на другой, при этом он все же хотел верить, что во время движения свойства различных геометрических фигур не изменяются. Появление новых алгебр, которые начались с кватернионов, вызвало аналогичные сомнения относительно логической обоснованности арифметики, а также алгебры простой числовой системы. Кватернионы оказались крайне полезными для решения огромного ряда как геометрических, так и физических задач, хотя для них не выполнялось свойство коммутативности. Математики свободно работали как с комплексными, так и с отрицательными числами и при этом осуществляли алгебраические операции, опираясь только на свою успешную деятельность. Теперь, ранее логическая строгость уступила свое место демонстрации практической пользы введения сомнительных процедур и понятий. В году К. В связи с этим они предоставили корректное определение иррациональных чисел, а также установили их свойства, но эти самые свойства так и считали самоочевидными. В конце концов, логическая структура теории комплексных и действительных чисел обрела свой окончательный вид только в трудах Дж. Создание базиса числовой системы помогло решить задачи обоснования алгебры. Задача по усилению строгости формулировок евклидовой геометрии, как известно, не отличалась особой сложностью, поэтому сводилась только к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, возмещению пробелов в доказательствах и введению недостающих аксиом. Однако уже в году Д. Практически в это же время были заложены начала других геометрий. Математик и логик Гильберт смог сформулировать концепцию формальной аксиоматики. Он предложил весьма оригинальный подход — трактовать неопределенные термины, то есть под ними фактически можно подразумевать абсолютно любые объекты, которые удовлетворяют аксиомам. Последствием этого факта стала существенно возрастающая абстрактность современной математики. Как известно, евклидова, а также неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Точка для тополога — это либо функция, либо последовательность чисел, собственно, как и что-нибудь иное. В XX веке аксиоматический метод Гильберта просочился практически в каждый раздел математики. Но уже совсем скоро стало понятно, что и у него существует ряд ограничений. В х годах XX века Кантор все же старался систематически классифицировать бесконечные множества, к примеру, множество действительных и рациональных чисел и так далее, прибегая к их сравнительной количественной оценке, а также приписывая им так называемые трансфинитные числа. Но, благодаря этому, он смог обнаружить в теории немалое число противоречий. Поэтому к началу XX века у математиков возникло множество проблем с разрешениями этих противоречий, а также с рядом других проблем, как неявное применение так называемой аксиомы выбора. Однако все эти проблемы решил К. Теорема утверждает, что абсолютно каждая непротиворечивая формальная система, довольно богатая, чтобы просто содержать теорию чисел, несомненно содержит неразрешимое суждение, то есть утверждение, которое фактически невозможно не доказать, не опровергнуть в рамках поставленной задачи. Начиная с этого момента, всем стало понятно, что абсолютного доказательства в математике просто-напросто не существует. Хотя до сих пор расходятся во мнении, что же такое на самом деле доказательство. Но все же большинство математиков полагают, что все проблемы, связанные с основаниями, являются чисто философскими. Кстати, в действительности так дело и обстоит, так как ни одна теорема не поменяла своего утверждения вследствие возникновения найденных новых логических строгих культур. Это и подтверждает, что основа математики заключается не в логике, а в здравой интуиции. Большой вклад в развитие современной математики внес советский математик Андрей Николаевич Колмогоров Он был одним из тех, кто внес свой вклад в теорию вероятности. Кроме того, он является автором многих трудов по геометрии, математической логике и других разделов математики. В ходе своей работы он вывел множество теорий, которые в последующем стали основами развития многих отраслей математической науки. Будучи профессором Московского государственного университета, А. Колмогоров стал автором работы по методологии и преподаванию математики. Более того, он стал основателем большой научной школы. Колмогорова оставила много его последователей и учеников, которые продолжили развитие теорий, над которыми работал великий математик. Математику, которая была известна до XVII века, можно расценить как элементарную. Однако по сравнению с тем, что было позже, данная элементарная математика безгранично мала. Наравне с тем, что появились новые области математики чистые и прикладные , существенно расширились и старые. Сегодня в мире выходят множество различных математических журналов. Ежегодно публикуется колоссальное число научных статей, и даже самым выдающимся специалистам не под силу ознакомиться со всеми знаниями, которые накоплены на сегодняшний день. Подготовка к TOEFL и IELTS. Вавилонянами были составлены специальные таблицы, которые предназначались для выполнения деления, а также таблицы квадратов и квадратных корней. Появились и таблицы кубов, включая кубические корни. Вавилонянам было знакомо и приближение числа. Как следует из клинописных текстов, которые были посвящены алгебраическим и геометрическим задачам, в Вавилонском царстве пользовались квадратичной формулой, чтобы решать квадратные уравнения, некоторые особые типы задач, которые могли включать в себя до десяти неизвестных. Также квадратичные формулы использовались и для решения отдельных разновидностей кубических уравнений, включая уравнения четвертой степени. На найденных глиняных табличках были запечатлены лишь задачи и главные моменты их решений. Для обозначения неизвестных применялась геометрическая терминология, поэтому и методы решений обозначались геометрическими действиями с линиями и площадями. А вот алгебраические задачи формулировались и решались только в словесных обозначениях. Главная Репетиторы Учебные материалы Контакты. Индия и Арабский Халифат. К первым достижениям геометрии относятся понятия, представляющие собой простейшие геометрические фигуры: Прямой угол вписанный в окружность. Запись чисел в древнем Египте Википедия. Отношение длин сторон в подобных треугольниках. Аксиома о параллельных прямых.
Слесарь 6 разряда еткс
Схема стрижки андеркат
Схема виды толкования права
Результат тиража лото 4 из 20
Химические свойства простых
Как в майкрософт аутлук настроить подпись