Важным понятием является понятие обратного оператора. Согласно общему определению обратного элемента кольца с единицей, оператор В называется левым обратным для линейного оператора А, если Точно так же оператор С называется правым обратным для оператора А, если Если оператор А имеет левый обратный В и правый обратный С, то они равны: В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный оператор Таким образом, если существует, то С понятием обратного оператора связаны вопросы о существовании и единственности решения операторных уравнений вида где — известный элемент пространства — искомый элемент того же пространства. К уравнениям вида 1 относятся линейные алгебраические системы, линейные дифференциальные, линейные интегральные и другие линейные уравнения. Рассмотрим уравнение 1 и предположим, что оператор А имеет обратный Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что есть решение уравнения 1. Нетрудно показать, что это решение единственно. Рассмотрим два линейных ограниченных оператора А и В, отображающих линейное нормированное пространство Е в себя. Тогда имеет смысл произведение операторов. Покажем, что Действительно, для любого Следовательно, что и доказывает утверждение. Имеет место важная для дальнейшего теорема. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает банахово пространство Е в себя и Тогда оператор , где — единичный оператор, имеет обратный линейный ограниченный оператор. В пространстве операторов рассмотрим ряд Так как , вообще, то для частичных сумм ряда 5 будем иметь По условию , значит, величина в правой части 6 стремится к нулю при для любого Поэтому последовательность частичных сумм ряда 5 сходится в себе, а значит, в силу полноты пространства операторов, она сходится к некоторому пределу. Таким образом, ряд 5 сходитея. Пусть оператор — сумма этого ряда. Имеем Аналогично находим, что Следовательно, Известно, что если линейный оператор В имеет обратный то оператор также линеен. Поэтому оператор линейный, как обратный линейному. Кроме того, он ограничен, так как Итак, оператор линейный ограниченный оператор. Основные классы интегральных уравнений 2. Нелинейные уравнения Задача Абеля. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма ГЛАВА II. Применение принципа сжатых отображений к интегральным уравнениям ГЛАВА III. Линейные нормированные пространства II. Приложение к линейным интегральным уравнениям 2. Характер решения интегрального уравнения ГЛАВА IV. Метод Винера—Хопфа ГЛАВА V. Уравнения Рисса—Шаудера ГЛАВА VI. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению 2. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению. Операторные уравнения 1-го рода ГЛАВА VIII. Преобразования Гильберта Преобразования Гильберта ГЛАВА IX. Интегральные уравнения с параметром. Принцип неподвижной точки Ю. Обратные операторы Важным понятием является понятие обратного оператора. В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный оператор Таким образом, если существует, то. С понятием обратного оператора связаны вопросы о существовании и единственности решения операторных уравнений вида где — известный элемент пространства — искомый элемент того же пространства. В пространстве операторов рассмотрим ряд. Так как , вообще, то для частичных сумм ряда 5 будем иметь По условию , значит, величина в правой части 6 стремится к нулю при для любого Поэтому последовательность частичных сумм ряда 5 сходится в себе, а значит, в силу полноты пространства операторов, она сходится к некоторому пределу. Кроме того, он ограничен, так как. Итак, оператор линейный ограниченный оператор.
Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом [3]. Линейный оператор даже ограниченный может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа [8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения. Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица [17]. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Теорема Банаха об обратном операторе. Элементы теории функций и функционального анализа, , с. Элементы функционального анализа, , с. Лекции по функциональному анализу, , с. Элементы теории функций и функционального анализа, , глава VIII. Теория операторов Функциональный анализ. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. На других языках Добавить ссылки. Эта страница последний раз была отредактирована 28 февраля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
https://gist.github.com/92feea292a85c5ae403e30eb54c25e49
https://gist.github.com/126aac6229ac550d1eab8a6133a38275
https://gist.github.com/2f40894fa2d5efceb96c3a273c6da4bb