Реферат: Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
1.Графический метод решения задач линейного программирования
Пример решения задачи. Графический метод решения ЗЛП.
Тема моей работы касается решения задач, возникающих в экономике. При этом встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения. А на поиск возможного варианта часто влияют разного рода факторы, сужающие рамки выбора. Иначе говоря, требуется решить задачу оптимизации, которая состоит в необходимости выбора наилучшего варианта решений среди некоторого, как правило, ограниченного множества возможных вариантов. Задача оптимизации может быть сформулирована на языке математики, если множество доступных вариантов удается описать с помощью математических соотношений равенств, неравенств, уравнений , а каждое решение - оценить количественно с помощью некоторого показателя, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Тогда наилучшим решением будет то, которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение, в зависимости от содержательного смысла задачи. Так, например, при инвестировании ограниченной суммы средств в несколько проектов естественной является задача выбора тех проектов, которые могут принести в будущем наибольшую прибыль. При доставке в магазины продукции от различных поставщиков возникает задача минимизации транспортных затрат. Процесс формализации задачи называется построением ее математической модели. Он состоит из трех этапов. Выбор параметров задачи, от которых зависит решение. Эти параметры называют управляющими переменными и обозначают , формируя из них вектор. Принять решение — это значит задать конкретные значения переменных. Построение числового критерия, по которому можно сравнивать различные варианты решений. Такой критерий принято называть целевой функцией и обозначать через. Описание всего множества X допустимых значений переменных — ограничений, связанных с наличием материальных ресурсов, финансовых средств, технологическими возможностями и т. Математическая задача оптимизации состоит в нахождении такого допустимого решения , которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение среди всех возможных решений. Этот метод часто используется при решении задач, в которых только две неизвестных величины. Разберем его на следующих примерах:. Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: INT - для внутренних работ и EXT - для наружных работ. В производстве красок используются два исходных продукта А и В. Из-за малой площади склада максимально возможные суточные запасы этих продуктов равны 6 т. На производство 1 тонны краски INT расходуется 1 тонна продукта А и 2тонны продукта В , а на изготовление 1 тонны краски EXT идет 2 тонны продукта А и 1 тонна продукта В. Фабрика продает краску по цене 3тыс. Исходные данные удобно свести в таблицу:. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску EXT никогда не превышает спрос на краску INT , более чем на 1 тонну. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от реализации продукции был максимален? Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через x 1 - планируемый суточный объем производства краски INT, а через x 2 - суточный объем производства краски EXT. Этот доход подлежит максимизации. Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами продуктов А и В. На производство краски INT в количестве x 1 т будет использовано 1x 1 т продукта А , а на производство краски EXT в объеме x 2 т будет затрачено 2x 2 т продукта А. Поскольку суточный запас продукта А равен 6 т. Аналогично получим ограничение, связанное с запасом продукта В: Ограничение по соотношению спроса на краски можно описать неравенством: Учитывая естественные условия неотрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую задачу линейного программирования. Построим множество планов задачи, описываемое ограничениями 1. Оно задает некоторую полуплоскость, расположенную по одну сторону от граничной прямой. Построим эту прямую на плоскости с координатными осями x 1 и x 2. Для проведения прямой достаточно знать две ее точки. Проще всего найти точки пересечения прямой с осями координат. Таким образом прямая p 1 пройдет через точки 0,3 и 6,0. Чтобы определить, по какую сторону от прямой расположена искомая полуплоскость, достаточно подставить в неравенство 1. Если прямая не проходит через начало координат, то удобнее всего взять точку 0, 0. Очевидно, что в этой точке неравенство 1. Искомую полуплоскость отметим штриховкой рис. Аналогично построим полуплоскость, задаваемую неравенством 1. Для этого нанесем на координатную плоскость граничную прямую. Подставляя координаты точки 0,0 в неравенство 2. Отметим эту область штриховкой рис. Выделяя теперь точки плоскости, удовлетворяющие всем ограничениям задачи 1. Оно представляет собой многоугольник в данной задаче - пятиугольник. Его стороны лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы неравенств 1. Геометрически это означает, что при параллельном перемещении прямой 1. Они задают семейство параллельных прямых, зависящих от параметра h. Сколько граммов мультивитаминных комплексов каждого вида требуется на один профилактический прием, чтобы были получены все витамины не меньше требуемой нормы, и при этом их суммарная стоимость была минимальной. Составим математическую модель задачи. Для этого введем переменные: Целевая функция выражает суммарную стоимость витаминных комплексов, которая должна быть минимально возможной. По витамину V 1: По витамину V 2: По витамину V 3: При этом переменные должны быть неотрицательны: Снова начнем решение с построения множества планов X , для чего проведем граничные прямые, уравнения которых получаются при замене в ограничениях знаков неравенств на равенства. Подставляя координаты точки 0,0 в неравенства 1. Поэтому штриховки направлены выше и правее граничных прямых. Выделяя точки, удовлетворяющие всем неравенствам и условиям неотрицательности, получаем множество планов, изображенное на рис. В данном примере оно не ограничено. Изобразим целевую функцию 1. Поскольку целевой вектор указывает направление возрастания целевой функции, а в задаче о рационе требуется найти ее минимум, то для нахождения оптимального решения будем перемещать линию уровня параллельно самой себе по множеству Х в направлении, противоположном целевому вектору. Последней точкой множества планов, через которую еще проходит линия уровня будет точка пересечения прямых p 1 и p 2. Решая систему уранений рис. Минимальное значение целевой функции при этом будет равно. Следовательно, самый дешевый набор для профилактического приема состоит из 2 гр. Теперь несложно сформулировать геометрический способ решения стандартных задач ЛП с двумя переменными:. Для определения точки минимума следует перемещать изолинию против направления целевого вектора. В разобранных примерах оптимальный план находился в единственной вершине многоугольника допустимых планов. Однако при решении задач ЛП могут встретиться и другие случаи. Бесконечное множество оптимальных планов. Такая ситуация возникает, если линии уровня параллельны граничной прямой. При этом решение задачи на минимум может существовать, как в задаче о витаминах. В этом случае говорят, что ограничения несовместны, множество планов пусто и задача ЛП решения не имеет. Множество планов канонической задачи — выпуклое многогранное множество, имеющее конечное число угловых точек. И если эта задача имеет оптимальное решение, то оно достигается хотя бы в одной угловой точке. С любой угловой точкой связан базисный план задачи, в котором переменных равны нулю, а оставшимся переменным соответствуют линейно независимые столбцы матрицы условий. Эти линейно независимые столбцы образуют невырожденную базисную матрицу. Перебор всех угловых точек сопряжен с большими вычислительными затратами и поэтому не эффективен. В году Дж. Данциг предложил упорядоченную процедуру перебора угловых точек, при которой для нахождения оптимального решения достаточно исследовать лишь небольшую их часть. Эта процедура называется симплекс-методом. Данциг предложил при переходе от одной крайней точки к другой заменять в базисной матрице всего один вектор. Это означает, что при таком переходе мы должны одну из базисных переменных исключить — сделать ее небазисной равной нулю , а на ее место ввести новую переменную из числа небазисных нулевых — сделать ее базисной положительной. Оказывается, геометрически такая замена приводит к переходу от одной угловой точки к смежной соседней , связанной с предыдущей точкой общим ребром. Из всех соседних точек выбирается та, в которой целевая функция возрастает более всего. Поскольку число угловых точек конечно, через конечное число переходов будет найдена вершина с наибольшим значением целевой функции, либо будет установлена неограниченность целевой функции на неограниченном множестве планов. Определение начального базиса и соответствующей ему начальной угловой точки базисного плана. Проверка текущего базисного плана на оптимальность. Если критерий оптимальности выполнен,топлан оптимален и решение закончено. Иначе переход на шаг 2. Нахождение переменной, вводимой в состав базисных. Из условия увеличения целевой функции. Нахождение переменной, исключаемой из состава базисных переменных Из условия сохранения ограничений задачи. Нахождение координат нового базисного плана смежной угловой точки. Переход на шаг 1. Из этой схемы следует, что во-первых, для начала работы симплекс-метода надо иметь какую-то угловую точку — начальный базисный план, а во-вторых, надо уметь исследовать текущую угловую точку на оптимальность, не вычисляя всех смежных вершин. Эти проблемы легко решаются, если каноническая задача ЛП имеет некий специальный вид. Будем говорить, что каноническая задача ЛП имеет "предпочтительный вид", если. Другими словами, в любом уравнении есть переменная с коэффициентом равным единице, отсутствующая в остальных уравнениях. Первое условие не является обременительным, так как в случае отрицательной правой части некоторого уравнения, достаточно умножить его на —1. В задаче предпочтительного вида начальный базисный план находится очень просто. Сразу очевидна одна базисная матрица: Видим, что значения базисных переменных равны правым частям ограничений. Из этого понятно требование положительности правых частей b i. Для базисного плана такого вида может быть сформулирован достаточно простой для проверки критерий оптимальности. Критерий оптимальности базисного плана. Если для базисного плана с единичной базисной матрицей все симплексные оценки неотрицательны, то этот план оптимален. Заметим, что симплексные оценки, соответствующие базисным переменным, всегда равны нулю, так что достаточно проверять только небазисные оценки. Задача имеет предпочтительный вид, так как правые части уравнений положительны, а столбцы матрицы условий A 3 , A 4 образуют единичную подматрицу. Так как оценки отрицательны, то план x — не оптимален. Будем искать новый базисный план смежную угловую точку с большим значением целевой функции. Обычно в состав базисных вводят небазисную переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, поэтому будем вводить в базис переменную x 2. Этот план не является базисным, так как он содержит только одну нулевую координату, значит надо сделать нулевой исключить из базиса одну из переменных x 3 или x 4. Выразим отсюда базисные переменные x 3 и x 4 через переменную x 2 , вводимую в базис. Так переменные x 3 и x 4 должны быть неотрицательны, получим систему неравенств. Чем больше значение x 2 , тем больше возрастает целевая функция. Найдем максимальное значение новой базисной переменной, не нарушающее ограничения задачи, то есть удовлетворяющее условиям 2. Подставляя это значение в выражения 2. Следовательно x 3 выводится из базиса. Преобразуем условия задачи 2. Поделим первое уравнение на коэффициент при x 2. Используем это уравнение, которое назовем разрешающим, для исключения переменной x 2 из второго уравнения. Для этого надо уравнение умножить на 2 и вычесть из p 2. В итоге получили новое "предпочтительное" представление исходной задачи относительно новых базисных переменных x 2 , x На этом завершается первая итерация простого симплекс-метода. Далее процесс решения задачи продолжается с шага 1, состоящем в проверке найденного плана на оптимальность. Решение заканчивается тогда, когда все симплексные оценки текущего базисного плана окажутся неотрицательными. Мы не будем проводить вторую итерацию по схеме первой, поскольку все вычисления симплекс-метода удобнее проводить в табличном виде. Решение начинается с построения начальной симплекс-таблицы. Сначала заполняется правая часть таблицы с третьей колонки. В двух верхних строках записываются имена переменных задачи x 1, Ниже записываются коэффициенты уравнений — элементы матрицы условий А , так что под переменной x 1 располагаетсястолбец A 1 , под переменной x 2 — столбец A 2 и т. Затем находим столбцы матрицы условий, образующие единичный базис — в нашем примере это A 3 и A 4 и соответствующие им базисные переменные x 3 , x 4 записываем во вторую колонку. Наконец, в первом столбце записываем коэффициенты целевой функции при базисных переменных. Так как задача имеет предпочтительный вид, то значения базисных переменных равны правым частям уравнений, расположенным в последнем столбце. Поскольку небазисные переменные равны нулю, то начальный базисный план равен. Для проверки плана x o на оптимальность подсчитаем симплексные оценки для небазисных переменных x 1 и x 2 по формуле. Симплексные оценки записываются в последней строке симплекс-таблицы, которая называется дельта-строкой. При этом заполняются не только клетки при небазисных переменных, но и базисные клетки. Легко проверить, что для базисных единичных столбцов матрицы условий симплексные оценки равны нулю. В последней клетке строки оценок записываем значение целевой функции в точке x o. Заметим, что, так как небазисные координаты базисного плана равны нулю, то подсчет целевой функции удобно производить по формуле. Введем в базис переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть x 2. Столбец симплекс-таблицы, в котором находится вводимая в базис переменная называется ведущим столбцом. В примере все элементы ведущего столбца положительны, следовательно, можно найти максимальное значение x 2 , при котором одна из старых базисных переменных обратится в ноль. По таблице это значение вычисляется как наименьшее из отношений компонент базисного плана из последнего столбца к соответствующим положительным элементам ведущего столбца. Наименьшее отношение находится в строке с базисной переменной x 3. Элемент, находящийся на пересечение ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом. Для получения нового базисного плана приведем задачу к новому предпочтительному виду относительно новых базисных переменных. Для этого построим новую симплекс-таблицу, во втором столбце которой вместо исключаемой переменной x 3 запишем новую базисную переменную x 2 , а в первом столбце с Б вместо с 3 запишем коэффициент целевой функции при x 2: В новой симплекс таблице столбец при x 2 долженстать единичным ведущий элемент должен равняться единице, а все остальные элементы должны обратиться в ноль. Это достигается следующими преобразованиями строк таблицы. Все элементы ведущей строки делим на ведущий элемент и записываем в той же строке новой симплекс- таблицы. К оставшейся второй строке прибавим разрешающую строку, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в ведущем столбце обратился в ноль. Для перехода к новому базисному плану соседней угловой точки проведем еще одну итерацию симплекс - метода. Первый столбец, содержащий x 1 - ведущий. Находим отношения компонент базисного плана к соответствующим положительным элементам ведущего столбца и в качестве ведущей строки берем строку с наименьшим отношением. Строим новую третью симплекс-таблицу, заменяя в ней базисную переменную x 4 на x 1 , и снова преобразуя строки таблицы таким образом, чтобы ведущий элемент стал равным единице, а остальные элементы ведущего столбца обратились в ноль. Для этого ведущую вторую строку делим на 4, а к первой строке прибавляем полученную вторую строку, деленную на 2. Рассмотренные способы решения задач линейного программирования широко используются на практике. Однако следует отметить, что математическая модель всегда беднее реальной экономической системы. Она описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни свойства и пренебрегая другими. Для компенсации указанного недостатка в математической экономике разрабатывается несколько типов моделей, каждый из которых призван отразить какую-то одну определённую сторону экономической действительности с тем, чтобы при решении конкретной экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая лучше всего к ней подходит. Теория и конечные методы. Математическое программирование в примерах и задачах: Авиация и космонавтика Административное право Арбитражный процесс 23 Архитектура Астрология 4 Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности Биографии Биология Биология и химия Биржевое дело 68 Ботаника и сельское хоз-во Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения 50 Ветеринария 50 Военная кафедра ГДЗ 2 География Геодезия 30 Геология Геополитика 43 Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство 19 Деньги и кредит ЕГЭ Естествознание 96 Журналистика ЗНО 54 Зоология 34 Издательское дело и полиграфия Инвестиции Иностранный язык Информатика Информатика, программирование Исторические личности История История техники Кибернетика 64 Коммуникации и связь Компьютерные науки 60 Косметология 17 Краеведение и этнография Краткое содержание произведений Криминалистика Криминология 48 Криптология 3 Кулинария Культура и искусство Культурология Литература: Плохо Средне Хорошо Отлично. Банк рефератов содержит более тысяч рефератов , курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования Название: Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию Тип: Геометрический метод решения задач ЛП 2. Геометрический метод решения задач ЛП Этот метод часто используется при решении задач, в которых только две неизвестных величины. Разберем его на следующих примерах: Задача о производстве красок. Исходные данные удобно свести в таблицу: Отличный у Вас сайт, очень помог! Сделай паузу, студент, вот повеселись: Абитуриент, мечтавший стать врачом, не сдал вступительные экзамены и ближайший год будет мечтать стать генералом. Кстати, анекдот взят с chatanekdotov. Где скачать еще рефератов? Кто еще хочет зарабатывать от рублей в день "Чистых Денег"? Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?
Презентация число 9 цифра 9
Tda1085c схема управления двигателем своими руками
Результаты огэ сайт школы 147 самара
Что собой представляет структура деятельности
Сколько стоит турция в августе
Тц алатырь екатеринбург кинотеатр расписание
Граница сколько серий
Новости про радио
Расчет тепловой схемы к 500 240
Аквариум стаканы текст
Сколько можно капать капли в нос ребенку
Упражнения на руки для девушек
Сколько можно пользоваться свечами лонгидаза
Водно дисперсионная бирсс бетон контакт характеристики
Способы очистки бурового раствора