Наибольшее и наименьшее значение функции.
Тема 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Бесплатная помощь с домашними заданиями
Наибольшее и наименьшее значения функции. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. Говорят, что функция , определенная на промежутке , достигает на нём своего наибольшего наименьшего значения, если существует точка , принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех выполняется неравенство. Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего наименьшего значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:. Если поставлена задача найти , для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка. Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х. Точки — точки возможного экстремума. Найдём значения функции в точке и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Найти наибольшее значение функции. В точке — производная не существует, однако. Таким образом, на заданном множестве существует единственная точка, подозрительная на экстремум. Видим, что — точка максимума функции. Так как — единственная точка максимума, то. При каких значениях сторон основания площадь поверхности постамента наименьшая. Чем отличается алгоритм нахождения оптимальных значений функции на отрезке от алгоритма нахождения оптимальных значений функции на интервале? Локальный экстремум функций многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области. Понятие локального экстремума функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума функции двух переменных. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченнойзамкнутой области. Точка называется точкой локального экстремума , если. Из определения следует, что приращение функции не меняет знак в окрестности точки экстремума: Теорема 1 необходимое условие локального экстремума. Пусть функция имеет в точке локальный экстремум. Если у неё в этой точке существуют частные производные, то они равны нулю. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной. Точка, в которой все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует называется критической. Функция, дифференцируемая в стационарной точке, имеет в ней дифференциал равный нулю. Верно и обратное утверждение: Условия теоремы 1 не являются достаточными. Точка является для этой функции стационарной, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка и равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно, , но в любой окрестности точки есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции — гиперболический параболоид. Теорема 2 достаточное условие локального экстремума. Пусть функция u x дважды дифференцируема в стационарной точке. Если второй дифференциал в этой точке есть знакопостоянная квадратичная форма от дифференциалов независимых переменных, то функция в ней имеет экстремум: Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующий вариант этой теоремы:. Теорема 2 достаточное условие локального экстремума функции двух переменных. Пусть — критическая точка функции и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Её частные производные первого порядка и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений , найдём две критические точки и. Следовательно, в точке данная функция имеет минимум, а именно. Решая систему уравнений , найдём единственную критическую точку. Установить наличие или отсутствие экстремума в точке с помощью теоремы 2 не удалось. Исследуем знак приращения функции в точке:. Если , то ; если , то. Поскольку не сохраняет знак в окрестности точки , то в этой точке функция не имеет экстремума. Рассмотрим поставленную задачу на примере функции двух переменных. Решаем уравнение , или. Стационарные точки 0; у ,. Эти соотношения называются условиями связи. Пусть координаты точки удовлетворяют уравнениям 2. Функция 1 имеет в точке условный минимум максимум при условиях связи 2 , если существует такая окрестность точки , что для любой точки этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям 2 , выполняется неравенство. Иными словами, условный максимум минимум — это наибольшее наименьшее значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи. Задачу об условном экстремуме функции можно решать методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из уравнений условий связи переменных выражают через остальные переменных если это возможно , подставляют найденные переменные в функцию и решают задачу об экстремуме функции переменных. Методом исключения части переменных найти экстремум функции при условиях связи. Из условий связи находим. Подставляя найденные в функцию, приходим к функции одной переменной: Так как при , то функция имеет единственную точку возможного экстремума. Поскольку в точке функция имеет минимум. Из условий связи находим соответствующие значения: Итак, функция при заданных условиях связи имеет в точке —1,1,0 минимум, причём. Задача об условном экстремуме функции 1 при условиях связи 2 эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа. Если — решение системы 3 , то является точкой возможного экстремума функции 1 при условиях связи 2. Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа. Для каждой системы значений , полученной из 3 при условии, что удовлетворяют уравнениям. Функция имеет условный максимум в точке , если для всевозможных значений , удовлетворяющих условиям 4 и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство квадратичная форма отрицательно определена и условный минимум, если при этих условиях квадратичная форма положительно определена то в точке функция 1 имеет условный минимум при условии связи 2 , если - знакопеременная квадратичная форма, то в точке функция 1 не имеет. Методом Лагранжа найти экстремум функции при условиях связи. Она имеет единственное решение то есть — единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи. Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа и подставляя и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной при. Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке условный минимум. На эллипсоиде найти точку, наиболее удаленную от точки 0,0,3. Расстояние между точками и 0,0,3 определяется формулой. Поэтому исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции при условии связи. Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль оси , то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, то есть. Поэтому из первого уравнения системы следует, что. Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем Из последнего уравнения системы находим Итак, функция имеет две точки возможного экстремума. Из уравнения связи получим , откуда Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа. Подставим , координаты точки и выражение для , получаем отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных: Отсюда следует, что функция имеет в точках условный максимум при заданных условиях связи, то есть на эллипсоиде имеются две точки наиболее удаленные от точки 0,0,3. Очевидно, задачи условного экстремума и нахождения наибольшего и наименьшего значений в ограниченной замкнутой области тесно связаны. В данной задаче второй дифференциал всегда является знакопостоянной квадратичной формой от Поэтому соотношение между дифференциалами:. Однако, в случае знакопеременного второго дифференциала указанные соотношения учитывать необходимо. Назовите основные этапы поиска наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченнойзамкнутой области. Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась - это был конец пары: Переведите предложения на русский язык, обращая внимание на функции глагола to be I. Компоненты и функции дыхательной системы I. Тканевой состав и функции I. Функции воздухоносных путей II. Функции и графики II. Функции пирамидных нейронов III. Органы, объединяющие эндокринные и неэндокринные функции III. Функции PR в политике. Понятие, цели, задачи, основные направления деятельности, методы и функции PR в политике. Политический имидж PR-проект и PR-кампания. Сущность и функции PR-кампании. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке: Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения: Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому 1. Найдём стационарные точки в них производная обращается в нуль.
Тебе нужна помощь по школьным предметам? Большинство вопросов получают ответ в течение 10 минут ; Войди и попробуй добавить свой вопрос. Или помоги другим с ответом! Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение от LeShKa Войти чтобы добавить комментарий. Узнавай больше на Знаниях! У тебя проблема с домашними заданиями? Мы не только ответим, но и объясним. Качество гарантируется нашими экспертами. Что ты хочешь узнать? Алгебра 17 баллов 3 часа назад. Алгебра 10 баллов 3 часа назад. Решите пожалуйста класс срочно завтра поступать надо. Логарифм я немного не понимаю с чего начать перегасить степень перед логорифмом или как. Алгебра 5 баллов 3 часа назад. Алгебра 5 баллов 4 часа назад. Алгебра 5 баллов 5 часов назад. Алгебра 5 баллов 6 часов назад. Алгебра 6 баллов 6 часов назад. Помогите ну и тоже нужно. Бесплатная помощь с домашними заданиями. О нас Карьера Контакт. Общие вопросы Правила Как получить баллы? Скачай iOS-приложение Скачай iOS-приложение. Скачай для Android Скачай для Android.
Связать жакет спицамидля женщинс описанием
Как красить ресницы без комочков
Powered by ipb стихи на выпускной 4
Черкесы видео история
Где отдохнуть с детьми на пхукете