Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Основные тождества логарифмов/
11.4.2. Примеры на основное логарифмическое тождество
Логарифмы
Определение логарифма, основное логарифмическое тождество.
Вычисление логарифма называется логарифмированием. Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений [3]. Определение логарифмов и таблицу их значений для тригонометрических функций впервые опубликовал в году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры. Эта функция относится к числу элементарных , она обратна по отношению к показательной функции. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно. Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество [7]:. Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны [8]:. Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:. Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов до изобретения калькуляторов существенно облегчало вычисления. Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный [10]. Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:. Эта кривая часто называется логарифмикой [11]. Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения. С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет единственно возможный изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное определённое для всех положительных значений аргумента непрерывное решение функционального уравнения [12]:. Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:. По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:. Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы: Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу: Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы [13]. Логарифмы по основанию 10 обозначение: Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: Связь с натуральным логарифмом [15]:. Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным [16]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал. Приведём несколько полезных пределов , содержащих логарифмы [17]:. Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма [11]. Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:. На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. Логарифм отрицательного числа находится по формуле [20]:. Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: Эта поверхность непрерывна и односвязна. Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма [19]:. Интеграл берётся в положительном направлении против часовой стрелки. Это тождество лежит в основе теории вычетов. Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1. Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой формула Эйлера , то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями [24] [25]:. Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом [25]:. Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт известный ещё Архимеду [26] , что при перемножении степеней их показатели складываются [27]: Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей то есть, фактически, логарифмов для оснований 2, 3, 4 [28]. Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным [31] первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Термин логарифм , предложенный Непером, утвердился в науке. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio , изданной посмертно в году его сыном Робертом. Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к году [32]. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты [33] ; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций. Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически , сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом [34]:. Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать. В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением [35]:. Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Основное свойство логарифма Непера: Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:. Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака [36]. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник года вставил восторженное посвящение Неперу не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался. В году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos [37]. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц , которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии. Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал значные таблицы десятичных логарифмов , причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до В году лондонский учитель математики Джон Спайделл англ. John Speidell переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В году немецкий математик Николас Меркатор Кауфман открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд [41]. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:. До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log , то над ним. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в — годах и по существу ничем не отличается от современной [47]. В XIX веке, с развитием комплексного анализа , исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Риман , опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей. Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии , возникшая ещё до открытия логарифмов , может быть описана как комплексный логарифм [49]. Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобие , то есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках. Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам [50]:. Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм. Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение [51] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных [52]. Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия [53]. Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова. Информационная энтропия — мера количества информации. Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате с плавающей запятой. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных в логарифмическом формате. В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля и знак , и скорость вычислений благодаря свойствам логарифма значительно повышается [55]. Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность [56] [57]. Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала [58]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского , который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое см. Размерность результата определяется по формуле:. Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы , характеризующая степень её хаотичности. Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты. Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар. Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза самоионизации молекулы и водородный показатель кислотности раствора. Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом. Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований [65]. Неравномерная шкала десятичных логарифмов используется во многих областях науки. Для обеспечения вычислений она наносится на логарифмические линейки. Логарифмическая шкала особенно удобна в тех случаях, когда уровни измеряемой величины образуют геометрическую прогрессию , поскольку тогда их логарифмы распределены с постоянным шагом. Аналогично, каждый уровень шкалы Рихтера соответствует в 10 раз большей энергии, чем предыдущий уровень. Даже при отсутствии геометрической прогрессии логарифмическая шкала может пригодиться для компактного представления широкого диапазона значений измеряемой величины. Логарифмическая шкала также широко применяется для оценки показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер , и они содержали только логарифмы тригонометрических функций , причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги , друг Кеплера В году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до , с 8 позже — с 14 знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в году в Берлине таблицы Бремикера, Carl Bremiker [76]. В России первые таблицы логарифмов были изданы в году при участии Л. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов [78]:. В е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера [79]. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций [80]. Точность расчётов — около 3 значащих цифр. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Это стабильная версия , отпатрулированная 28 июня Расположение семян на подсолнечнике. Справочник по элементарной математике, , с. Справочник по элементарной математике. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке. Справочник по математике, , с. Учебник для классов. Советская Энциклопедия , Курс дифференциального и интегрального исчисления, , Том I, стр. Элементарная математика с точки зрения высшей, , с. Курс дифференциального и интегрального исчисления, , Том II, стр. Теория функций комплексной переменной, , с. Очерк истории логарифмов, , с. Select essays , New Delhi: Shelley , Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, с. A History of Mathematics, 5th ed. Теория аналитических функций, , с. Элементарная математика с точки зрения высшей. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Проверено 26 апреля IEEE Conference on Field Programmable Technology: Проверено 17 апреля Архивировано 28 мая года. Советская энциклопедия , Организация и проведение соревнований. Методы и средства обработки сигналов. Проверено 28 апреля Архивировано 19 февраля года. Архивировано 23 августа года. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. Проверено 12 апреля Эта статья входит в число избранных статей русскоязычного раздела Википедии. Элементарные функции Элементарные функции комплексной переменной Логарифмы. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN Статьи со ссылками на Викисловарь Википедия: Избранные статьи по математике Википедия: Избранные статьи по алфавиту. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 28 июня в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Парень бросил перед армией что делать
Как отрегулировать карбюратор на бензопиле
Упругая подтянутая грудь упражнения
Основные свойства логарифмов
Журнал учета выездаи возвращения автотранспорта образец
Датчик давления масла газель 406 где находится
Гранулятор своими руками из мясорубки схема
Основное логарифмическое тождество
Дуоденогастрального рефлюкса что это
Сколько надо платить налогов
Логарифмы. Начальный уровень.
Сколько языков знает петров
Учебник истории 5 класс крючкова
Характеристика рабочей памяти
Логарифм
Стих женщина с ребенком на руках