= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Бесплатная помощь с домашними заданиями
Экстремумы функции
Задачи высшей математики с Maxima
Значение функции в точке максимума минимума называется максимумом минимумом функции. Минимум или максимум функции называется экстремумом функции. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю. Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси. Из теоремы 1 вытекает следствие: Рассмотрим точки в которых функция не является дифференцируемой то есть не существует конечной производной. Например, функция не имеет производной в точке , но в этой точке данная функция имеет минимум. Функция не имеет конечной производной в точке касательной является ось. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум в точках, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума. Правило исследования функции на экстремум: Найти критические точки функции , то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции. Определить знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек. В соответствии с достаточными условиями экстремума выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках. Найти точки экстремума функции и значения функции в этих точках. Находим производную данной функции и приравниваем ее к нулю: Решая это уравнение, получаем и - критические точки необходимое условие экстремума выполнено. Проверяем выполнение достаточного условия экстремума. Слева от этой точки , например, , справа от нее , например,. Следовательно, достаточные условия экстремума выполняются, и точка является точкой минимума. Находим значение функции в точке минимума: Слева от этой точки , справа , Следовательно, достаточное условие экстремума не выполняется и точка не является точкой экстремума. Какая из критических точек не является точкой экстремума? Учись учиться, не учась! D для выполнения всех перечисленных функций. Описание трудовых функций, входящих в профессиональный стандарт функциональная карта вида профессиональной деятельности III. Развитие координации слова и ритмизованного движения. Исследование на местности А. Алгоритм взятия мазка из зева на бактериологическое исследование Алгоритм взятия мазка из носа на бактериологическое исследование Алгоритм работы над мини - исследованием Ангиографическое исследование. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Рассмотрим условия существования экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции. В таких точках функция может иметь минимум или максимум, а может не иметь ни того, ни другого.
Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4. Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции. Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка. Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума. Необходимое условие существования экстремума. Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль. Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Но в этой точке функция имеет максимум. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками. Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема. Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала кроме, быть может, самой точки x 0. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум. Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков. Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим — самое маленькое из всех ее значений. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках. Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[ a, b ]:. Найдем критические точки функции S: Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. Пусть r — радиус основания цилиндра, h — высота. Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что. Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию
Post алексей алексеев стихи
Химический состав мембран
Как сделать голема в алхимии
Былины краткое содержание
Типология структурных схем простого предложения