Как искать точки максимума и минимума функции
Критические точки функции
Экстремумы функции
Если на отрезке только одна точка экстремума , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение. Если функция f x имеет первообразную на промежутке X , и k — число, то. Если функции f x и g x имеют первообразные на промежутке X , то. Если функция f x имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:. Если функция f x непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:. Выражение вида называется интегралом от функции f x , где f x - подынтегральная функция, которая задается известная , dx - дифференциал x , с символом всегда присутствует dx. Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины. Напомним, что - дифференциал функции и определяется следующим образом:. Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, так как производная от постоянной равняется нулю. Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная. Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы с неопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций их достаточно много не берутся в элементарных функциях. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смыл интеграла. Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва. Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования: Это следует из того, что интегральная сумма Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: Для любого действительного числа с. Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство. Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства: Перепишем это равенство в виде. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим. Таким образом, множество всех первообразных F x можно записать как , где С — произвольная постоянная. Вычислим F a , используя первое свойство определенного интеграла: Воспользуемся этим результатом при вычислении F b: Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница. Приращение функции принято обозначать как. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения. Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1;3] , следовательно, интегрируема на нем. Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл. Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента следовательно, и для записывается как. Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений: Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен формально он ничем не ограничен. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Дифференциальные уравнения в частных производных УРЧП — это уравнения, содержащие неизвестныефункции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка. Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени и не перемножаются друг с другом. Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:. Функция r x в правой части называется свободным членом единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями. Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях с применением тех или иных приближений они могут быть сведены к линейным. Решением является семейство функций , где и — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы. Его решениями являются функции Бесселя. В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Если , то уравнение 1 называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение. Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения 1 ищется в виде. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде , где — неизвестная функция от. Подставляя, получаем , откуда. Итак, общее решение неоднородного уравнения будет , где — постоянная интегрирования. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функция от. Нормальный вид такого уравнения. Очевидно — уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка. Если или , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать. Целая степень может быть как положительной, так и отрицательной во втором случае получится дробь , кроме того, может быть обыкновенной дробью, например. Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка , уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень. Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли если является решение: Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой. Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию. Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение без частного решения нужно найти всего в 2-х уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае. Данный диффур имеет вид , а значит, является уравнением Бернулли. Главная Контакты Архитектура Архитектура Биология 76 География Другие Информатика История Культура Литература Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Образование Охрана труда Политология Правоведение Производство Религия Социология Статистика Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника Найдите производную функции Запомнитеформулы производной элементарных функции и основные правила дифференцирования, чтобы найти производную. Найдите нули производной Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной. Найдите точки экстремума Используйте метод интервалов, чтобы определить знаки производной; В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а вточке максимума — с плюса на минус. Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу: Как искать наибольшее и наименьшее значение функции Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо: Найти точки экстремума функции на отрезке интервале. Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка. Во многих задачах помогает теорема: Понятие и основные свойств неопределённого интеграла. Если функция f x имеет первообразную на промежутке X , и k — число, то Короче: Если функции f x и g x имеют первообразные на промежутке X , то Короче: Если функция f x имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка: Если функция f x непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла. Напомним, что - дифференциал функции и определяется следующим образом: Таблица основных неопределённых интегралов. Составим сумму S n всех таких произведений: Найдем предел интегральной суммы Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления. Геометрические приложения определенного интеграла.
Не могла понять,как эт определяют,а теперь поняла. Подготовка Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников. Количество точек максимума функции по графику производной вар. Поведение функции зависит от знака производной. Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. Её-то мы и ищем на графике. Мы видим три точки, в которых производная равна нулю и меняет свой знак, - точки экстремума. И сделать вывод о поведении функции, а также о количестве точек экстремума.
Ао бинбанк кредитные карты москва
Форма строение и состав земли
Сэр стэнли мэтьюз как проводил отпуск
Печенье курабье в домашних условиях видео
Деревянный пол под стяжку