= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Понятие векторного пространства
Лекции №26-27 Векторное (линейное) пространство над полем к
Векторное пространство
Пусть — поле и F — его основное множество. Элементы множества F будем называть скалярами, а — полем скаляров. Пусть V — непустое множество и — прямое произведение множеств F и V. Пусть задано отображение ставящее в соответствие каждой паре из единственный элемент множества V, который будем обозначать через и называть произведением скаляра и элемента а. Если фиксировать скаляр , то отображение со индуцирует отображение которое является ограничением на множество. Отображение со, при фиксированном можно рассматривать также как одноместную унарную операцию ставящую в соответствие каждому элементу а из элемент из V. Таким образом, для любого а из К. Пусть -поле, и — фиксированный элемент из F. Обозначим через отображение V в V, ставящее в соответствие каждому вектору из вектор из который называется произведением скаляра и арифметического вектора. Множество V с заданными на нем бинарной операцией называемой сложением и операциями умножения элементов поля скаляров на элементы множества V называется векторным пространством над полем если для любых а, b из V и из F выполнены следующие условия аксиомы: Таким образом, векторное пространство есть алгебра с основным множеством V, в котором бинарная операция и унарные операции умножение на скаляр из F суть главные операции, т. Группа называется аддитивной группой векторного пространства. Нуль 0 этой группы называется нулевым вектором пространства Элементы множества V называются векторами векторного пространства Векторы а и а являются взаимно противоположными. Пусть — -мерное арифметическое пространство над полем является векторным пространством над полем Важные частные случаи: Множество всех векторов плоскости есть векторное пространство над полем действительных чисел относительно операций сложения и умножения на действительные числа. Пусть — множество всех -матриц над полем Алгебра где есть операция сложения матриц и — операция умножения матриц на скаляр , является векторным пространством над Его называют векторным пространством -матриц над полем 4. Множество всех отображений множества R в R является векторным пространством над полем относительно операций сложения отображений и умножения отображений на действительные числа. Множество С всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем относительно операций сложения комплексных чисел и умножений их на действительные числа. КВАНТОРЫ Запись высказываний на языке логики предикатов. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ Предикатные формулы. Основные свойства операций над множествами. Диаграммы Эйлера — Венна. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА Упорядоченное множество. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ Виды бинарных операций. Подмножества, замкнутые относительно операций. Аддитивная и мультипликативная формы записи. КОЛЬЦА Простейшие свойства кольца. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы. Теоремы о следствиях системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА Транспонирование произведения матриц. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ Элементарные матрицы. Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя. ПРАВИЛО КРАМЕРА Правило Крамера. Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства. Операции над линейными отображениями. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ Алгебра линейных операторов векторного пространства Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ Полная линейная группа. Линейные операторы с простым спектром. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице. Следствия однородной системы линейных неравенств. Критерий несовместности системы линейных неравенств. Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств. Теорема двойственности для стандартных задач. Теорема двойственности для канонических задач. СИМПЛЕКС-МЕТОД Упражнения Глава десятая. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ Смежные классы. Разложение целых чисел на простые множители. Число и сумма натуральных делителей числа. Бесконечность множества простых чисел. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Конечные цепные дроби. Неравенства для функции Т х. Простые числа в арифметических прогрессиях. Теоремы Эйлера и Ферма. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому модулю. Индексы по простому модулю. ФАКТОР-КОЛЬЦО Сравнения и классы вычетов по идеалу. Теорема об эпиморфизмах колец. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ Простые и составные элементы области целостности. Факториальность кольца главных идеалов. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца. Деление полинома на двучлен и корни полинома. Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности. Алгебраическое и функциональное равенства полиномов. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ Алгоритм Евклида. Неприводимые над данным полем полиномы. Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей. Неприводимые кратные множители полинома. Нормальное представление полинома и степень полинома. Леммы о симметрических полиномах. Основная теорема о симметрических полиномах. Наименьшее значение модуля полинома. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. Множество V с заданными на нем бинарной операцией называемой сложением и операциями умножения элементов поля скаляров на элементы множества V называется векторным пространством над полем если для любых а, b из V и из F выполнены следующие условия аксиомы:.
Линейным пространством над числовым полем К называется множество R элементов, которые будем называть векторами и обозначать , , и так далее, если:. Указан закон, согласно которому любой паре векторов , однозначно ставится в соответствие вектор , называемый суммой векторов. Указан закон, согласно которому каждому числу из поля К при однозначно ставится в соответствие вектор. Вектор называется произведением и обозначается или. Существует элемент такой, что ,. Линейной оболочкой семейства векторов называется множество их всевозможных линейных комбинаций в линейном пространстве L. Линейную оболочку также называют подпространством, натянутым на векторы или порожденным векторами семейства Ее можно определить еще как пересечение всех подпространств в L , содержащих все Рангом семейства векторов называется размерность его линейной оболочки. Первое характеристическое свойство базиса: Линейное подпространство или векторное подпространство — это непустое множество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространство обозначают как Lat L. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы. В частности, пространство, состоящее из одного элемента является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов:. В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства. Семейство векторов называется линейно независимым , если никакая нетривиальная линейная комбинация не равна нулю, то есть из. В противном случае оно называется линейно зависимым. Линейная независимость семейства означает, что нулевой вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации элементов семейства. Тогда любой другой вектор имеет либо единственной представление, либо ни одного. Действительно, сравнивая два представления. Отсюда следует второе характеристическое свойство базиса: Определение этих двух свойств равносильно первоначальному определению базиса. Заметим, что семейство векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда оно образует базис своей линейной оболочки. Семейство заведомо линейно зависимо, если среди векторов есть нулевой или два одинаковых. Семейство векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных. Наоборот, если , то. Если не все равны, то обязательно , иначе мы получили бы нетривиальную зависимость между Поэтому. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Саратовский Государственный Технический Университет им. Линейным пространством над числовым полем К называется множество R элементов, которые будем называть векторами и обозначать , , и так далее, если: В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор. В линейном пространстве каждый вектор имеет единственный противоположный вектор. Легко проверить, что линейная оболочка является линейным пространством в L. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы , для всякого вектора , вектор также принадлежал K , при любом , для векторов , вектор также принадлежал K. Последние два утверждения эквивалентны следующему: Свойства подпространств Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство; Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов: Линейная зависимость векторов Определение. Действительно, сравнивая два представления Отсюда следует второе характеристическое свойство базиса: Если и Наоборот, если , то Лемма 2. Если не все равны, то обязательно , иначе мы получили бы нетривиальную зависимость между Поэтому Лемма доказана.
Обыкновенная история проблемы
Правила создания и оформления компьютерных презентаций памятка
Огромный дилдо в попу
Пословицы и поговорки про детей
Органы относительно брюшины таблица