Производные высших порядков
Конев В.В. Дифференцирование функций
Конев В.В. Дифференцирование функций
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Предлагаю сразу же пройти мини-тест:. После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной , на котором мы разобрались, в частности со второй производной. Нетрудно даже догадаться, что вторая производная — это производная от 1-й производной: Четвёртная производная — есть производная от 3-й производной: Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: Иногда встречается такая запись: Хорошо, а теперь задумаемся над таким вопросом: Не записывать же, в самом деле, 20 строк! И действительно, если , то получается в точности 1-я производная: Таким образом, двадцатая производная определяется мгновенно: После бодрящей разминки рассмотрим более сложные примеры, в которых отработаем вышеприведённый алгоритм решения. Тем, кто успел ознакомиться с уроком Предел последовательности , будет чуть легче:. Полученные числа перемножать не спешим! Для этого смотрим на полученные результаты и выявляем закономерности, с которыми получается каждая следующая производная. То же самое можно сказать о степени знаменателя. Замечательно, теперь допустить ошибку — просто грех: Чтобы уловить закономерности обычно хватает трёх-четырёх. Но можно обойтись и без , то есть мысленно прикинуть и сразу записать, например, двадцатую или восьмую производную. Более того, некоторые люди вообще способны решить рассматриваемые задачи устно. А ещё надёжнее — проверить все найдённые ранее производные. В этой связи целесообразно выполнить предварительные преобразования: Обратите внимание, что 2-я дробь знакочередуется, а 1-я — нет. Восемнадцатая производная в точке. С синуса начинали, к синусу и пришли. Понятно, что при дальнейшем дифференцировании этот цикл будет продолжаться до бесконечности, и возникает следующий вопрос: Но это работает, если порядок производной не слишком велик. Если же надо найти, скажем, сотую производную, то следует воспользоваться делимостью на 4. Сто делится на 4 без остатка, и легко видеть, что таковые числа располагаются в нижней строке, поэтому: Кстати, ю производную тоже можно определить из аналогичных соображений: Другой, более академичный метод основан на периодичности синуса и формулах приведения. Заключительная, более лёгкая часть задания — это нахождение восемнадцатой производной в точке: На практике при аргументе синуса либо косинуса часто встречается числовой множитель, например: Как находить производные высших порядков в этом случае? Решение начнём с ключевого вопроса: Тем более это представляется вполне подъёмной задачей. Со второй производной дела обстоят похуже, но всё-таки ещё не так плохи: С третьей немножко повезло: В чём недостаток такого решения? И, во-вторых, тут легко запутаться особенно в знаках. Рассмотрим простой и чёткий способ решения подобных заданий:. Пожалуйста, не путайте с более известной формулой Ньютона-Лейбница! Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь — тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона , поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная 7-го либо более высоких порядков что, правда, маловероятно , будут вынуждены это сделать. Производные легко перещёлкать устно: И ещё неприятнее — в случае более высокого порядка производной:. Найти производную указанного порядка. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными: Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных: В принципе, можно оставить и так — преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение до ума. С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Используйте, если сочтёте целесообразным — это вряд ли будет основанием для незачёта задания. Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции:. Многие из нас потратили долгие часы, дни и недели жизни на изучение окружностей , парабол , гипербол — а иногда это вообще казалось сущим наказанием. Так давайте же отомстим и продифференцируем их как следует! То, что функция и её производная выражены неявно сути дела не меняет, вторая производная — это производная от 1-й производной: Однако свои правила игры существуют: Поэтому в полученную 2-ю производную подставим: Третья производная — есть производная от 2-й производной: После детских шалостей посмотрим немецкую поpнoгр фию рассмотрим более взрослые примеры, из которых узнаем ещё один важный приём решения:. А теперь остановимся и проанализируем следующий момент: В данном случае она, конечно, проста, но в реально встречающихся задачах таких подарков раз два и обчёлся. Существует ли способ избежать нахождения громоздкой производной? Для этого в полученное уравнение подставим: Чтобы избежать лишних технических трудностей, умножим обе части на: И только на завершающем этапе оформляем дробь: Как найти значение 2-й производной в какой-либо точке которая, понятно, принадлежит эллипсу , например, в точке? Этот мотив уже встречался на уроке об уравнении нормали: Безусловно, во всех трёх случаях можно получить явно заданные функции и дифференцировать их, но тогда морально настройтесь работать с двумя функциями, которые содержат корни. Дополнительные примеры повышенной технической сложности можно найти в ИДЗ Главное — хоть небольшое, но понимание , а остальное приложится! Позабытыми остались и производные высших порядков от параметрически заданных функций , которые практически не встречаются. О том, что такое двойной факториал, читайте в статье Ряды повышенной сложности после Примера Вычислим производную в точке: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
После капель заложило ухо что делать
Расписание электричек москва курская одинцово
Расписание автобуса 150 первоуральск екатеринбург 2017
Журнал учета алкоголя образец
Форевер янг перевод с английского на русский
Гепа мерц ампулы инструкция