= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Алгебраическая проблема собственных значений
Алгебраическая проблема собственных значений
Алгебраическая проблема собственных значений
Алгебраическая проблема собственных значений формулируется таким образом: Собственные векторы матрицы A определяются неоднозначно: Вектор z называется сопряженным к x. На эквивалентных преобразованиях базируется много численных методов решения проблемы собственных значений и собственных векторов. В частности замечаем, что t 1 есть собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному зна-. В этом случае A называется матрицей, которая сводится к диагональному виду, или матрицей, предполагающей нормализацию, то есть в C n есть базис, состоящий лишь из собственных векторов матрицы A, а главные векторы не появляются. Итак, каждую матрицу A Mat n C ,. Теорема 2 теорема Шура. Для произвольной матрицы A Mat n C существует унитарная матрица U такая, что. Теорема 3 Для произвольной эрмитовой матрицы A существует унитарная матрица U такая, что. Теорема 5 Пусть A Mat m,n C. Унитарные матрицы U и V можно интерпретировать таким образом: Пусть собственный вектор y 0 есть сопряженным к x: В частности проблема собственных значений для нормальных матриц есть хорошо обусловленной с числом обусловленности. A относительно абсолютной погрешности вообще не является корректно поставленной задачей. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Алгебраическая проблема собственных значений Алгебраическая проблема собственных значений формулируется таким образом: Приведем без доказательства теоремы о некоторых формах представления матриц. Итак, каждую матрицу A Mat n C , которая имеет разные собственные значения, можно свести к диагональному виду с помощью преобразования подобия. Соседние файлы в папке Лекции
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Важность трехдиагональной формы обусловлена тем, что некоторые методы преобразований подобия позволяют привести произвольную матрицу к этому частному виду. Матрицы А иВ называются подобными, если существует такая несингулярная матрица Р, что справедливо соотношение. Это полезно помнить, так как матрицы, встречающиеся в инженерных расчетах, часто бывают симметричными. Следовательно, для совокупности линейно независимых собственных векторов. Из подобия матриц A и В следует, что. Умножив собственный вектор матрицы на скаляр, получим собственный вектор той же матрицы. Раскрыв определитель, получим многочлен п -йстепени относительно l, корни которого и будут собственными значениями матрицы. К сожалению, в задачах на собственные значения часто встречаются кратные корни. Процедура начинается с пробного нормированного вектора X 0. Этот вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной собственное значение и нормированному вектору X Если вектор X 0 совпадает с вектором X 0 , то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной. Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид. Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений. В программе использованы две подпрограммы — GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML , нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу. Программа определения собственных значений Программа позволяет определить наибольшее главное напряжение собственное значение для данного трехосного напряженного состояния. Счет прекращается, когда изменение собственного значения становится менее 0,01 процента или число итераций превышает Эта подпрограмма находит наибольший из трех элементов собственного вектора и нормирует собственный вектор по этому наибольшему элементу. В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. При этом ортогональная матрица Р 1 выбирается так, чтобы в матрице А 1 появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А 1 с помощью второй преобразующей матрицы Р 2 , образуют новую матрицу A 2. При этом Р 2 , выбирают так, чтобы в A 2 появился еще один нулевой внедиагональный элемент. Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент а kl матрицы А т-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует. Матрица А т будет отличаться от матрицы A m-1 только строками и столбцами с номерами k и l. Чтобы элемент а kl m был равен нулю, значение qвыбирается так, чтобы. Пусть требуется найти значения всех главных напряжений для напряженного состояния, показанного на рисунке примера 1. Для этого необходимо найти все собственные значения матрицы напряжений. Такая потребность возникает, если конструктор вместо теории разрушения при максимальном нормальном напряжении намерен пользоваться какой-либо другой теорией разрушения. Чтобы найти все собственные значения, обратимся к методу преобразований Якоби, для реализации которого воспользуемся подпрограммой Е1GЕМ из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, предназначенной для симметричных матриц. Так как матрица симметрична, то она содержит лишь шесть различных элементов. Для экономии памяти подпрограмма ЕIGЕМ использует матрицу 3Х3 в компактной форме, при которой требуется только шесть ячеек памяти. Программа для решения данной задачи имеет вид:. В программе использовано подпрограмма ЕIGЕМ из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ. На k -м шаге обращают в нули элементы, стоящие вне трех диагоналей k -й строки и k -го столбца, сохраняя в то же время нулевые элементы, полученные на предыдущих шагах. Наш опыт применения метода Гивенса показывает, что можно при выполнении одного шага преобразований обратить в нуль сразу все элементы целой строки и столбца, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод, позволяющий выполнить такое преобразование, предложил Хаусхолдер. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. При использовании метода Хаусхолдера на п — 2 основных шагах выполняются следующие преобразования:. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде. Раcкрыв выражение в скобках, получим. Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п — 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п — 1 миноров порядка п — 2. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически см. Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: В обоих используются преобразования, позволяющие получить последовательность подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:. Собственные значения блоков Х m , являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в г. Этот процесс повторяется до тех пор, пока L s не превратится в единичную матрицу Е, а R s не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают другому методу. Соответствующий ему алгоритм определяется соотношением. При использовании метода последовательно получаем. Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени. Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода решения задач самой общей формы. В приведенной ниже программе использованы две подпрограммы из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ. Подпрограмма НSВС преобразует матрицу размерности 6 x 6 к форме Гессенберга, а подпрограмма АТЕIG позволяет найти собственные значения. Программа определение всех собственных значений произвольной матрицы размерности 6х5. Используются подпрограммы НSВСи АТЕIG из пакета программ для научных исследований фирмы IBM. Чем сложнее задача, тем меньше число алгоритмов, из которых можно выбирать. Таблица 1 позволяет облегчить этот выбор. Например, имея матрицу общего вида, можно методом Хаусхолдера свести ее к виду Гессенберга, а затем с помощью алгоритма QR найти собственные значения. Таблица 1 Выбор алгоритма решения задачи на собственные значения. Все материалы в разделе "Математика". ВВЕДЕНИЕ Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Основные определения матричного исчисления 1. Корень многочлена f 1 l f 1 b. Корни многочлена f 2 l f 1 b. Корни многочлена f 3 l f 1 b. Корни многочлена f n- 1 l f 1 b. Корни многочлена f n l f 1 b. Собственные числа и собственные векторы. Рекомендуется для отыскания собственных значений. Численное решение алгебраических проблем собственных значений. Итерационный метод решения проблемы собственных значений. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора. Вычисление характеристических многочленов собственных значений и собственных векторов. Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Динамика соотношения типов языковых значений в производных словах, развивающих многозначность на материале французского языка. Основные типы лексических значений слова. Нормирование собственных оборотных средств предприятия.
Как правильно переводить время
Какие страны входили в состав российской империи
Переделанные детские стихи смешные короткие
Новости школа 13 лысьва
Вибромотор своими руками с электродвигателем