Производная по направлению, градиент функции.
Производная по направлению
Производная по направлению. Градиент
Пусть определена в некоторой области D. Рассмотрим любую точку и любую направленную прямую ось , проходящую через эту точку рис. Если ось образует с осями координат углы , и , то единичный вектор по направлению имеет координаты. В случае, если функция имеет в рассматриваемой области непрерывные частные производные, производная по направлению выражается формулой. Градиентом функции называется вектор , координатами которого являются частные производные функции:. Справедлива следующая формула, представляющая производную по направлению в виде скалярного произведения векторов и градиента функции:. По определению скалярного произведения, помня, что , имеем. Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину, когда , то есть когда угол между этими векторами равен нулю. Иными словами, когда направление совпадает с направлением градиента функции. Таким образом, градиент функции в каждой точке указывает направление максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке, а его длина — величину скорости возрастания. Найти производную от функции в точке в направлении градиента. Найдем частные производные функции в точке и составим вектор градиента функции в этой точке:. Часто функция одной или нескольких переменных бывает задана неявно. Функция называется неявной , если она задана с помощьюнеразрешенногоотносительно уравнения. Она становится явной , если рассматриваетсянепосредственная зависимость от. Иначе говоря, под явным заданием функции подразумевается задание функции с помощью конкретногоаналитического выражения. При соответствующих ограничениях на независимые переменные неявным заданием функции. Но не всякое уравнение легко разрешить относительно одной из переменных. Более того, существует много уравнений, которые мы, несмотря на огромный прогресс математики, до сих пор не можем решить. Кроме того, не следует думать, что если дано некоторое уравнение, связывающее несколько переменных, то тем самым уже определена некоторая неявная функция. В действительности может не существовать ни одной непрерывной функции, удовлетворяющей заданному уравнению, или может существовать несколько таких функций. Не существует ни одной функции действительной переменной, удовлетворяющей уравнению. Функции и удовлетворяют одному и тому же уравнению, а именно: Эта функция определена и непрерывна на всей плоскости. Выбрав в качестве точку , получим:. Следовательно, по теореме о неявной функции, в окрестности точки существует одна и только одна функция , удовлетворяющая уравнению , принимающая в этой точке значение , непрерывная в ней и имеющая непрерывную производную. То же самое можно сказать и о любой другой точке , удовлетворяющей условиям ,. Необходимо обратить внимание на локальный характер теоремы о неявной функции: Для того чтобы найти производную или частные производные неявной функции, есть несколько способов. Один из них — это предварительно привести её к явному виду, то есть разрешить относительно данной функции то уравнение, которое её определяет. Другой — простой и сравнительно лёгкий путь, когда можно обойтись без предварительного решения уравнения, задающего неявную функцию. Пусть выполняются условия теоремы о неявной функции. Тогда функция имеет частные производные, вычисляемые по формуле:. Есть еще один способ для нахождения частных производных неявной функции. Если нужны все частные производные первого второго, третьего,… порядка, то проще сразу вычислять полные дифференциалы первого второго, третьего,… порядка от левой части уравнения 14 и приравнивать их нулю:. Дифференцируя еще раз уравнение 16 , определим дифференциал второго порядка искомой функции, что приведет нас к выражениям для частных производных второго порядка и т. Заметим, что во всех производимых выкладках здесь необходимо должно выполняться условие, что. Найти производную по , если. Решать это уравнение относительно затруднительно, так как оно третьей степени относительно. Воспользуемся вышеприведёнными теоремой и формулой 15 , где. Уравнение имеет два решения:. Следовательно, функция удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции только в некоторой окрестности точки. Поэтому в окрестности этой точки существует однозначная функция и ее производная:. Найти частные производные и полный дифференциал функции , заданной неявно выражением. Найти частные производные второго порядка функции , заданной неявно уравнением. Воспользовавшись уже известным выражением b для , получим:. Чтобы получить производные третьего порядка, дифференцируем полученное уравнение c еще раз. Подставив в полученное выражения для дифференциалов первого и второго порядков, решим его относительно дифференциала третьего порядка, откуда легко выпишем все частные производные третьего порядка от функции , заданной неявно. Рассмотрим некоторую поверхность Sи на ней точку рис. Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности Sв точке на ней, если расстояние от переменной точки поверхностиSдо этой плоскости, при стремлении расстояния к нулю, является бесконечно малой высшего порядка, чем. Если через точку на поверхности S провести множество гладких кривых, то все касательные к этим кривым в точке лежат в плоскости, которая является касательной плоскостью к поверхности S. Для того чтобы поверхность в точке , где , имела касательную плоскость, необходимо и достаточно, чтобы при и функция была дифференцируема. Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной уравнением , в точке , лежащей на этой поверхности:. Вектор нормали к касательной плоскости , то есть , называется вектором нормали или нормалью к поверхности в точке. Касательная плоскость к поверхности, заданной неявноуравнением в точке , лежащей на этой поверхности, определяется уравнением. К поверхности провести касательные плоскости, параллельные плоскости. Уравнение поверхности имеет вид. Нормальный вектор заданной плоскости. Нормальный вектор искомой касательной плоскости. Из условия параллельности касательной и заданной плоскостей следует, что , то есть их координаты пропорциональны:. Присоединим к данным уравнениям уравнение поверхности и найдём координаты точек касания:. Подставляя найденные значения в уравнение поверхности, получаем:. Следовательно, получаем две точки касания с координатами и , через которые проходят две плоскости, являющиеся касательными к данной поверхности. Их уравнения имеют вид:. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду в точке. Вектор является вектором нормали к параболоиду в заданной точке. Поэтому уравнение нормали будет следующим:. Из теории функций одной переменной мы знаем, что если функция в точке имеет производные до порядка включительно, то она может быть разложена в окрестности этой точки по формуле Тейлора следующим образом:. Пусть в окрестности некоторой точки функция имеет непрерывные производные всех порядков до -го включительно. Придадим значениям переменных и некоторые приращения и , такие, чтобы отрезок прямой, соединяющий точки и не вышел за пределы рассматриваемой окрестности точки. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Читинский институт Байкальского государственного университета экономики и права. Соседние файлы в папке Функции многих переменных
Сколько пельменей варить ребенку 3 годика
Ячмень на глазу можно ли в баню
Понятиеи признаки предпринимательских правоотношений
Стихи рождественского для свадьбы
Именины 12 июля
Маршрут 81 автобуса на карте
Работа перевод на английский
Не открыли категорию ве при замене прав
Перевод английского языка 9 класс михеева
Как создать дом в майнкрафт на сервере
Anximo s инструкция по применению
Великие философы в истории
Инструкция tomahawk d900
Расписание жд тюмень ишим
Планшет повреждена sd карта