Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно. Урок по алгебре 11 класс. Задачи на максимум и минимум. Что называют производной функции в точке? Какой геометрический и механический смысл производной? Где мы применяем производную? Б Участков возрастания и убывания функции. Г Наименьшего и наибольшего значения функции на интервале? Что можно сказать о функции,которая на интервале имеет единственную критическую точку. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на участке. На [0;5] На [0;3] На [0;2]. Ученики, решившие одно или несколько заданий раньше тех, которые решают у доски и те, кто решал у доски оцениваются по проверенному до урока домашнему заданию,. Восприятие и осознание нового материала. Трем ученикам даются одинаковые квадраты со стороной 20 см и надо вырезать в их углах квадраты одинакового размера но в каждом квадрате разные и сделать из них коробки. Все видят коробки разных размеров из одинаковых квадратов. Надо определить у какой коробки объем наибольший,и какого размера для этого на углах надо вырезать квадраты. Чем необычна эта задача? Как же решать задачи такого вида,на этот вопрос мы ответим сегодня на уроке и темой нашего урока будет…. Ученики говорят свои мысли. Ученикам на слайдах показываются условия пяти задач. Какие из задач будут задачами на максимум и минимум и почему? Мы их будем решать с помощью производных. Сначала составим выражение для функции. Мы должны иметь две переменных. Используя слайды, по выделенным вопросам, устно учимся определять где аргумент,а где функция. А теперь рассмотрим алгоритм решения таких задач. Учитель на доске, а ученики в тетрадях чертят таблицу и совместно ее заполняют. Определяем аргумент то, что спрашивается. Аргументом X будет одно из слагаемых. Аргументом X будет один из размеров пряоснования прямоугольника основания. Аргументом X будет сторона основания бассейна. Определяем функцию значение которое должно быть наибольшим или наименьшим. Y x -произведение трех слагаемых. Y x - площадь прямоугольника. Y X -площадь поверхности бассейна. Составляем выражение для нахождения функции и определяем границы аргумента. X из 0 ; Решаем задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значение функции Y x на заданном интервале. Доказываем, что в полученной единственной критической точке будет максимум или минимум в зависимости от вопроса. Интерпритируем результаты исследования функции с точки зрения решаемой задачи. Значит, если слагаемые будут 12,24,18, то произведение их будет наибольшим. С задачами какого вида мы познакомились? Как эти задачи можно выделить из остальных? Выучить алгоритм решения данных задач. Дан квадратный лист жести со стороной 10 метров. В его углах вырезают одинаковые квадраты размером 1 x 1м. Найти объём полученной коробки. Число 54 представлено в виде суммы 3-х положительных слагаемых. Какими должны быть слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим. Есть сетка длинной метров. Ею надо огородить такую площадку прямоугольной формы, чтобы ее площадь была наибольшей. Какие будут размеры прямоугольника. Найти объём вытесненной воды при погружении в нее балки прямоугольного сечения с размерами основания 3 x 4 и высотой 5. Какими должны быть размеры бассейна с объёмом 36 метров кубических с квадратным дном и вертикальными стенами, чтобы на его облицовку понадобилось наименьшее количество плитки? Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. Профессиональной переподготовки 30 курсов от руб. Курсы для всех от руб. Повышение квалификации 36 курсов от руб. Лицензия на осуществление образовательной деятельности: Адрес редакции и издательства: Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ Эл. Астрономия Биология Воспитательная работа География Директору, завучу Доп. Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Языки народов РФ. Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца часов. Начало обучения новой группы: Подать заявку на курс. Урок по алгебре 11 класс Тема: Задачи на максимум и минимум Цель урока: А Критических точек Б Участков возрастания и убывания функции В Точек экстремума Г Наименьшего и наибольшего значения функции на интервале? Что можно сказать о функции,которая на интервале имеет единственную критическую точку б Письменно 4 минуты 3 ученика у доски решают упражнения одного типа, но разного уровня ,а остальные ученики решают эти же задания в тетрадях,кто сколько успеет. Надо определить у какой коробки объем наибольший,и какого размера для этого на углах надо вырезать квадраты Вопрос: Пишем тему урока Ученикам на слайдах показываются условия пяти задач. Определяем аргумент то, что спрашивается Аргументом X будет одно из слагаемых Аргументом X будет один из размеров пряоснования прямоугольника основания Аргументом X будет сторона основания бассейна 2. Определяем функцию значение которое должно быть наибольшим или наименьшим Y x -произведение трех слагаемых Y x - площадь прямоугольника Y X -площадь поверхности бассейна 3. Каков алгоритм их решения? Приложения Слайд 1 Дан квадратный лист жести со стороной 10 метров. Слайд 2 Число 54 представлено в виде суммы 3-х положительных слагаемых. Слайд 3 Есть сетка длинной метров. Слайд 4 Найти объём вытесненной воды при погружении в нее балки прямоугольного сечения с размерами основания 3 x 4 и высотой 5. Слайд 5 Какими должны быть размеры бассейна с объёмом 36 метров кубических с квадратным дном и вертикальными стенами, чтобы на его облицовку понадобилось наименьшее количество плитки? Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". Чтобы добавить отзыв, войдите в Ваш кабинет или зарегистрируйтесь. Вы первый можете оставить свой комментарий. Конспект урока математики 5 класс "Доли. Рабочая программа по геометрии 8 класс Атоносян на 2 часа 8 класс Рабочая программа по алгебре Макарычев 8 класс Рабочая программа по алгебре 8 класс по УМК А. Конспект по математике на тему "Умножение многочлена на одночлен" с психолого-дидактическим анализом Конспект по математике на тему "Степень с целым показателем" Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Совершенно верно, иногда от таких задач действительно захватывает дух. Сегодня на уроке мы разберём ещё одно важное приложение производной , имеющее самое что ни на есть прикладное значение! Речь пойдёт о задачах с конкретным геометрическим, физическим, экономическим и т. Для полноценного изучения урока необходимо уметь находить производные , ПОНИМАТЬ, что такое производная и быть знакомым с понятиями возрастания, убывания и экстремума функции. Разминочная алгебраическая задача и новый материал по ходу решения:. Известно, что сумма двух положительных чисел равна Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным? Но вот их сумма равна И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными. Поэтому привлечём на помощь могучий аппарат математического анализа. Тогда второе число будет равно: Проверим, что их сумма действительно равна Теперь составим функцию произведения их квадратов: Многие читатели уже понимают последующие шаги: И небольшой вопрос техники: На мой взгляд, удобен следующий вариант: А может статься, и ничего не достигает. Проверка вам хорошо знакома: Так решать можно, и это будет правильным решением, но есть и другой путь! Для удобства дифференцирования утрамбуем предшественницу: Вообще говоря, по условию не требовалось находить само произведение, но по правилам хорошо тона его лучше рассчитать и указать в ответе. К тому же это весьма любопытно. На практике в подавляющем большинстве случаев встречаются задачи с геометрическим смыслом, и поэтому основная часть урока будет посвящена именно им. Начнём с несложного типового примера, который почему-то довольно часто вызывает проблемы:. Совершенно понятно, что в отсутствии препятствий это наиболее выгодно осуществить по кратчайшему пути. Дифференцируем по обычным правилам, невзирая на модуль: Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Оцените, насколько второе достаточное условие приятнее и удобнее 1-го: Кстати, почему кратчайший путь проходит именно по нормали? Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника? Составляем функцию периметра и т. Напоминаю, что периметр — это длина границы фигуры, в данном случае — сумма длин сторон прямоугольника. На странице книги печатный текст должен занимать вместе с промежутками между строк Верхнее и нижнее поля занимают по 4 см , левое и правое — по 3 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы? Наиболее выгодные размеры страницы. А страница обычно имеет форму прямоугольника. Коль скоро речь идёт об экономии бумаги, то, очевидно, нужно найти такую ширину и высоту листа, чтобы его площадь была минимальна. Из чего следует, что нам необходимо составить функцию площади страницы. Тогда высота области печати: Учитывая известные значения полей, найдём ширину всего листа: Составим функцию площади листа и сразу подготовим её для дифференцирования: Проверим выполнение достаточного условия экстремума: Таким образом, размеры оптимального листа: Как видите, основная трудность состоит в том, чтобы разобраться в условии и составить нужную функцию. И в преодолении этой трудности здОрово помогает чертёж. Поэтому всегда стараемся выполнить схематический чертёж или хотя бы рисунок. Просто и со вкусом. И снова несколько подсказок, которые полезно иметь ввиду и при решении других задач:. Если совсем тяжко, решите задачу с каким-нибудь конкретным значением радиуса, например, с радиусом. Во-вторых , выполните схематический чертёж, который здесь очень прост: Очевидно, что в полукруг можно вписать бесконечно много прямоугольников и ваша задача найти такой, периметр которого максимален. Какую функцию нужно составлять, надеюсь, всем понятно. В-третьих , задачу можно решить в разных стилях. Далее составить уравнение окружности , выразить функцию верхней полуокружности и рассмотреть переменные координаты вершины прямоугольника, которая на этой полуокружности лежит. Наш урок в самом разгаре и настало время разобрать задачи, которые встречались в моей практике без преувеличения десятки раз:. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают по условию дно квадратное и глубиной высотой стенки. Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала например, плитки. Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна — его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком: Тогда площадь дна равна. По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна: Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем банки 0,5 литра? Во-первых, литр — это единица объёма. Я специально заострил внимание на физике, поскольку на обывательском уровне литр очень часто неверно отождествляют с килограммом единицей массы. Ощутите разницу — пол-литровая банка кильки и та же банка, наполненная гвоздями. Один литр равен одному кубическому дециметру или тысяче кубических сантиметров: А теперь очень важный момент: К слову, что это за размеры? Освежим в памяти формулы:. И в который раз остановлюсь на важном принципе эффективного изучения математики: В частности, позабытую площадь боковой поверхности цилиндра несложно вывести даже в уме: Сделайте вертикальный разрез и расправьте боковину на столе. В результате получился прямоугольник, одна из сторон которого, понятно, равна высоте банки , а другая — длине окружности. Площадь же прямоугольника рассчитывается элементарно: Определить наибольшую вместимость цилиндрического бака, если его площадь поверхности без крышки должна равняться. Ещё с первых уроков о производной многие поняли, что дифференцировать можно по любой переменной, и сейчас мы окончательно избавимся ото всех комплексов. От какой переменной искать функцию объёма? Нужно только выразить высоту. Сумма площадей дна не забываем, что крышка отсутствует! Геометрическому смыслу задачи, разумеется, удовлетворяет положительный корень. Проверим выполнение достаточного условия экстремума:. При этом высота бака: Решение в общем виде, бывает, кажется непривычным, однако оцените его универсальность — теперь достаточно лишь подставить конкретное значение площади и сразу рассчитать размеры оптимального цилиндра. Прямоугольный лист картона имеет размеры. Требуется вырезать по его углам такие квадраты, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась коробка наибольшей вместимости. Помимо рассмотренных выше геометрических объектов, на практике также можно встретить треугольники, трапеции, шары, конусы и т. К сожалению, нельзя объять необяътное, и поэтому в рамках этой статьи я ограничился самыми распространёнными примерами. И действительно, задач ведь придумать можно очень много — и всех их не перерешаешь, главное, чтобы вы хорошо поняли принципы и методы решения , которые я постарался изложить максимально пОлно и качественно. Кроме того, существуют экстремальные задачи физического, химического, экономического и др. Составим функцию площади прямоугольника: Составим функцию периметра прямоугольника: Решим простейшее иррациональное уравнение: Таким образом, размеры оптимального прямоугольника: При этом максимальный периметр: Столько же и площадь крышки. По условию объём консервной банки равен: Площадь полной поверхности банки равна сумме площадей дна, крышки и боковой поверхности: Составим функцию объёма коробки: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
https://gist.github.com/f9b6ea5c54564ae22919f0a238169e3a
https://gist.github.com/6b18c1f68bb9660d250ad26a01ab3d47
https://gist.github.com/7950f2e284f9b90d9aa3032636fbb4cb