Непрерывная случайная величина: примеры решений задач
Контрольная работа по теории вероятности
Непрерывные случайные величины
Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z , а их значения — соответствующими строчными буквами x, y, z. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина Х, если ее функция распределения интегральная функция распределения представима в виде:. Функция f x называется плотностью распределения вероятностей случайной величины X дифференциальной функцией распределения. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X принимает значение в заданном промежутке, вычисляется следующим образом:. При решении задач широко используют числовые характеристики непрерывных случайных величин таблица 1. Построить графики f x , F x. Зная свойства плотности вероятности - функции f х , найдем неизвестный параметр а. График функции f x - плотности распределения вероятностей случайной величины представлен на рисунке 1. Для нахождения функции F x используем формулу, определяющую интегральную функцию распределения. Так как f x задана различным образом на трех разных интервалах, то выражение для F x находим отдельно для каждого интервала. При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна. Если все возможные значения Х принадлежат интервалу а, b , то математическое ожидание вычисляют.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу:. В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения. Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например: Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа — ещё не означают, что перед нами функция распределения. При ручном построении чертежа целесообразно найти опорные точки; в нашем примере удобно взять: Напоминаю, что левый нижний луч следует прочертить жирно чтобы он не сливался с осью , а правый верхний луч продолжить за остриё оси так как график бесконечен. А может просто дрогнула рука: Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка. Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса в секундах, например , или масса либо размер случайно выбранного объекта например, крупинки песка. И тому подобное — примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса. Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще , чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: И точно такими же будут вероятности ;. Наверное, вы подметили, что на участках одинаковой длины результаты получились разными: Она представляет собой производную функции распределения: То есть, всё очень просто — берём производную от каждого куска, и порядок. В силу свойства аддитивности: Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить: Ну вот, стало всё наглядно — где бОльшая площадь, там и более вероятные значения. Теперь разберём весьма любопытный факт: И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков пусть даже очень малых. Как вы правильно догадались: Впрочем, об этом чуть позже:. Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока. Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения — почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны в чём мы недавно убедились. Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения — есть более кропотливый процесс:. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла: Пользуясь чётностью подынтегральной функции , вычислим: Таким образом, функцию плотности распределения: Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью: Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , то есть условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй ; Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило о об опечатках или о невнимательности авторов задач. Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей — есть интеграл: Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синусоиды или нечётность синуса с тригонометрической таблицей. А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения ; К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже. Записываем наши достижения под единую скобку: Ибо вероятности попадания в интервал чаще находят с помощью функции распределения: Но ценители интегрального исчисления , конечно же, не откажут себе в удовольствии: И проверочка заодно получилась. Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна. Заметьте, что значения , согласно условию, невозможны. Осталось изобразить функцию распределения. В принципе, тут можно не заморачиваться преобразованием графиков , а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая тригонометрическая таблица в помощь. Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали на одной прямой. Это будет хорошим тоном. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами:. Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат: Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:. Для построения графиков найдём пару опорных точек: Самостоятельно выясните, как будут выглядеть графики — статья об асимптотах в помощь. Жду вас во 2-й части урока, посвящённой числовым характеристикам НСВ. Найдём функцию плотности распределения: Без 1-го пункта обойтись нельзя! Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения: Таким образом, искомая плотность: Таким образом, функция плотности распределения: Составим функцию распределения вероятностей: Сначала удобно найти неопределённый интеграл: Используем чётность подынтегральной функции: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Walkman nwz b162f инструкция замена батареи
Международное частное право мгюа
Значение слова просакв тюремном жаргоне
Казахстан характеристика кратко
Выкройки из бязи