Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Вычислить приближенное значение функции с помощью дифференциала/
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала. Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз. Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной , а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функции нескольких переменных. Но что поделать, вот люблю я длинные статьи. Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, но, поскольку урока о смысле производной и дифференциала у меня пока нет, ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать. В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через. Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:. Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:. На первом этапе необходимо составить функцию. По условию предложено вычислить кубический корень из числа: Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение. Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде. Как проще всего это сделать? Естественно, это значение должно быть как можно ближе к В результате и будет выполнен нужный подбор: Если , то приращение аргумента: Итак, число 67 представлено в виде суммы. Далее работаем с правой частью формулы. Сначала вычислим значение функции в точке. Собственно, это уже сделано ранее: Дифференциал в точке находится по формуле: Из формулы следует, что нужно взять первую производную: И найти её значение в точке: Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое — за. Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным. У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в выбросили компьютер размером с комнату со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус. Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше — где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке. Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений. Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: В данном случае уже дана готовая функция: Значение необходимо представить в виде. Вычислим значение функции в точке: Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке. И её значение в точке: Таким образом, дифференциал в точке: В результате, по формуле: Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений. Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле: Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. Относительная погрешность вычислений находится по формуле: Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала. Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора: Такие уж задачи встречаются. Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений. Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями. Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:. Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой. Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу. Значение нужно представить в виде. Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций. Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики. После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. Так, и только так! В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что. По формуле перевода градусов в радианы: Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой. Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой. Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения. Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта. Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву. Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение. Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки. Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность. А вот и рабочая формула: Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же! По условию требуется найти приближенное значение функции в точке. Число 3,04 представим в виде. Колобок сам просится, чтобы его съели: Число 3,95 представим в виде. Дошла очередь и до второй половины Колобка: Дифференциал функции в точке найдём по формуле: Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке. Вычислим частные производные первого порядка в точке: Полный дифференциал в точке: Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке: Вычислим точное значение функции в точке: Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: Общая закономерность такова — чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений. Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных: Отличие от Примеров состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно. Дифференциал в точке найдем по формуле: Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке. Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным: Таким образом, приближенное значение данного выражения: Найдем относительную погрешность вычислений: Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной. Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий — это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:. С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если. Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения. Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Соседние файлы в папке Vyshka
Женские образы преступление и наказание таблица
Количественные и качественные характеристики трудовых ресурсов индии
Расписание автобусов тольятти похвистнево на завтра
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Как ухаживать за ушами котенка
Total shares перевод
Значение даты рождения по пифагору
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Расписание поезда иркутск адлер 2017
Как сделать жидкий хворост
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Методы испытания металлов
Как правильно повесить штору в ванной
Где похоронен дедюшко
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Как обновить карты прогород на навигаторе