Контрольная работа по теории вероятности
Примеры решения задач
Непрерывная случайная величина: примеры решений задач
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Приветствую вас в 3-й части урока, посвящённого дискретной случайной величине. Тому, кто зашёл с поисковика, рекомендую сначала прочитать о понятии, математическом ожидании и дисперсии ДСВ, после чего вернуться к этой статье, где мы узнаем о других способах задания случайной величины и научимся строить соответствующие графики. Многоугольником распределения вероятностей данной величины называют ломаную , звенья которой соединяют соседние точки. Термин, на мой взгляд, не слишком удачен, но так сошлись звёзды. Построить многоугольник распределения вероятностей случайной величины. Теперь обратите внимание на следующую важную вещь: До сих пор мы делали это с помощью таблички, но никто же не мешает использовать и чертёж:. На практике разобранные задачи встречаются не так уж редко, и поэтому я счёл нужным включить их в данную статью. Однако гораздо бОльшее распространение получила функция распределения случайной величины. И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:. Смысл функции распределения хорошо иллюстрирует наша любимая игра: Чему, например, равно значение? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем — И это невозможное событие: По определению функции распределения:. Кроме того, сюда же следует отнести точку , так как:. Таким образом, если , то. СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:. Заметим, кстати, важную вещь: Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать фигурные скобки:. Таким образом, функция распределения вероятностей — это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ особо важен для непрерывной случайной величины — по той причине, что её невозможно описать таблицей ввиду бесконечного и несчётного количества принимаемых значений. Однако, всему своё время. Построить функцию распределения случайной величины. Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков: В практических задачах проведённые выше действия нужно выполнять в уме, а результат сразу записывать под единую скобку:. На левых концах ступенек кроме нижнего луча можно ставить выколотые точки — дело вкуса. И ещё хочу остановиться на двух технических ошибках, которые часто допускают на практике. При выполнении чертежа простым карандашом левый нижний луч следует прочерчивать жирно чтобы он не сливался с координатной осью и до конца оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. И здесь я сформулирую практическое правило: В данном случае концы интервала —1 и 5 находятся в области непрерывности функции распределения поэтому: И действительно, на данном интервале находятся значения , вероятности появления которых: Теперь более занятная ситуация, где нужно особо включать голову: По теореме сложения вероятностей несовместных событий:. Тут же рассмотрим три других ситуации: Да-да, так и пишем. И для 2-го полуинтервала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий: Как вы догадываетесь, их нужно предварительно вычислить, но эти числовые характеристики уже найдены в Примере 6 статьи о дисперсии: Напоминаю, что для любителей комфорта есть соответствующая программа см. Составить функцию распределения случайной величины. Найти вероятности следующих событий: Подумайте над рациональным масштабом графика. Если возникают сомнению с нахождением вероятностей, помните — их всегда можно пересчитать вручную. Решение и ответ совсем рядом. Кроме того, несколько дополнительных задач есть в библиотеке. И не успела появиться эта статья, как от читателей сайта стали поступать просьбы включить в неё контрольный пример. Я даже прослезился прямо как тот профессор , и, конечно же, не мог вам отказать:. В билете три задачи. Вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую — 0,8, третью — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт, если для этого нужно правильно решить не менее двух задач. Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал. Тут нужно использовать теоремы умножения и умножения , и могут возникнуть накладки с обозначениями. В образце решения я обозначил , а вероятности значений случайной величины — через. На самом деле таких задач довольно много, и сейчас нас ожидают наиболее распространённые виды дискретных распределений:. После чего мы перейдём к изучению непрерывной случайной величины. Да, наш урок, посвященный дискретной случайной величине, подошел к концу — но это не значит, что тема закрыта! Таким образом, искомый закон распределения: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб: Переходим ко второй части задания. Это равенство строго доказывается в курсе теории вероятностей — перепишите в свой справочник! По теореме сложения вероятностей несовместных событий: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Рассмотрим пространство элементарных событий, в котором каждому элементарному событию в соответствие ставится число или вектор , то есть на множестве есть определенная функция , которая для каждого элементарного события находит элемент одномерного пространства или - мерного пространства. Эту функцию называют случайной величиной. В случае, когда отражает множество на одномерное пространство случайную величину называют одномерной. Если отображение осуществляется на , то случайную величину называют n - мерной системой n случайных величин или n - мерным случайным вектором. Величина называется случайной, если в результате проведения опыта под влиянием случайных факторов она приобретает то или другое возможное числовое значение с определенной вероятностью. Если множество возможных значений случайной величины является счетно, то ее называют дискретной. В противном случае ее называют непрерывной. Случайные величины для удобства обозначают прописными буквами латинского алфавита , а их возможные значения - строчными. Для установления случайной величины необходимо знать не только множество возможных ее значений, но и указать, с какими вероятностями она приобретает то или иное возможное значение. С этой целью вводят понятие закона распределения вероятностей — зависимость, которая устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины часто задают в табличной форме, функцией, или графически с помощью вероятностного многоугольника. При табличной формы записи закона указывается множество возможных значений случайной величины находится в порядке их возрастания в первой строке, и соответствующих им вероятностей в следующей:. Случайные события должны быть попарно несовместимы и образовывать полную группу, то есть удовлетворять условие:. Приведенную зависимость называют условием нормировки для дискретной случайной величины , а таблицу распределения — рядом распределения. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Закон распределения вероятностей можно представить в виде функции распределения вероятностей случайной величины , которая может использоваться как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцию аргумента , устанавливающую вероятность случайного события называют функцией распределения вероятностей: Ее следует понимать как функцию, которая устанавливает вероятность случайной величины, которая может принимать значения, меньше. Она всегда положительная со значениями в пределах от нуля до единицы. Функция является монотонно возрастающей, а именно , если. Для непрерывной случайной величины выполняются такие равенства:. Из этих границ следует, что для дискретной случайной величины с возможными значениями из ограниченного промежутка имеем. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:. Построить функцию распределения и ее график. Согласно свойствами функции получим приведенные дальше значение. Компактно функция распределения иметь запись. График функции распределения изображен на рисунке ниже. Есть три коробки с шарами. В первой содержится 6 желтых и 4 синие шарики, во втором - 7 желтых и 3 синие, а в третьем - 2 желтых и 8 синих. Из каждой коробки наугад берут по одному шарику. Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины — появления числа синих шариков среди трех наугад взятых, определить закон распределения и построить график этой функции. Среди трех наугад взятых шариков число синих может быть 0, 1, 2, 3. В табличной форме закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:. С этой целью обозначим - случайное событие, заключающееся соответственно в появлении желтого шарики и — появление синего с первой коробки. Подобным образом для остальных коробок. Вероятности этих событий такие:. Поскольку случайные события независимы, то вероятности находим по формулам:. Вычисление достаточно просты и сделаны обозначения полностью все объясняют. Проверим выполнение условия нормировки. Всегда выполняйте проверку данного условия: В случаях, когда условие нормировки не выполняется нужно отыскать ошибку и исправить ее. У нас же все вычисления правильны, потому записываем закон распределения вероятностей в табличной форме:. Вычисляем значение интегральной функции 1 2 3 4 5. В случае ошибок при нахождении вероятностей последнее соотношение дает отличный от единицы результат, поэтому можете проверять и по этому значению. Упрощенно функция распределения будет иметь вид. Закон распределения случайной величины задан функцией распределения вероятностей. Построить график функции распределения и вычислить вероятность, что случайная величина принадлежит промежутку. Внимательно разберитесь с приведенными примерами нахождения функции распределения, это Вам пригодится на практических занятиях. Старайтесь проверять условие нормирования, чтобы избежать дальнейших ошибок и правильно определяйте вероятности. Обучение Уроки Высшая математика Теория вероятностей. Функция распределения вероятностей дискретной величины - F x. При табличной формы записи закона указывается множество возможных значений случайной величины находится в порядке их возрастания в первой строке, и соответствующих им вероятностей в следующей: Случайные события должны быть попарно несовместимы и образовывать полную группу, то есть удовлетворять условие: Функция распределения вероятностей и ее свойства Закон распределения вероятностей можно представить в виде функции распределения вероятностей случайной величины , которая может использоваться как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функция распределения обладает следующими свойствами: Она всегда положительная со значениями в пределах от нуля до единицы 2. С этого свойства получают приведенные выводы: На крайних точках непрерывная случайная величина принимает значение 0 и 1. Из этих границ следует, что для дискретной случайной величины с возможными значениями из ограниченного промежутка имеем для для Приведем решения задач на отыскание функции распределения. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей: В табличной форме закон распределения дискретной случайной величины имеет вид: Вероятности этих событий такие: Поскольку случайные события независимы, то вероятности находим по формулам: Проверим выполнение условия нормировки Всегда выполняйте проверку данного условия: У нас же все вычисления правильны, потому записываем закон распределения вероятностей в табличной форме: Вычисляем значение интегральной функции 1 2 3 4 5 В случае ошибок при нахождении вероятностей последнее соотношение дает отличный от единицы результат, поэтому можете проверять и по этому значению. Упрощенно функция распределения будет иметь вид а ее график следующий Пример 3. Закон распределения случайной величины задан функцией распределения вероятностей Построить график функции распределения и вычислить вероятность, что случайная величина принадлежит промежутку. Функция распределения будет иметь вид. Используя определение, вычислим Таким образом вероятность, что случайная величина принадлежит промежутку [1,4] равна 0, Теория вероятностей Контрольные по теории вероятностей Случайные события Случайные величины Законы распределения. Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений. Внешнее независимое оценивание Екзамены, тесты. Решение задач Андрей Tel.
Хлорофиллы в пигментном составе зеленых водорослей
Инвестиционные операции банков
С5250 характеристика транзистора
Как заплести маленькие волосы
Чертовски горячая невеста с переводом