Математический форум Math Help Planet
Ιιι Обратная матрица.
Обратная матрица и методы ее вычисления
Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов. Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:. От первой строки отнимаем вторую для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки:. Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части справа от вертикальной черты , является обратной к исходной. Таким образом, получаем, что. Если на некотором этапе в "левой" матрице получается нулевая строка , то это означает, что исходная матрица обратной не имеет. Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:. Находим определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный. Делим все элементы на и получаем обратную матрицу. Найти обратную матрицу для. Так как определитель матрицы равен нулю, то она не имеет обратной. Матрица называется союзной к квадратной матрице , если элементы матрицы равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы. Имеет место следующее свойство: Тогда, если , то , а тогда. Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная. Найти обратную матрицу к матрице. Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица к матрице находится по формуле:. Найдем союзную матрицу , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы:. Транспонируем эту матрицу то есть строки матрицы делаем столбцами с тем же номером:. Копирование материал с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник. Онлайн Калькуляторы Примеры решений Найти репетитора Рефераты Заказать решение Справочник Форум ГДЗ онлайн Все о ЕГЭ О проекте. Главная Справочник Матрицы Нахождение обратной матрицы Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы Теорема Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка: От первой строки отнимаем вторую для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки: От второй строки отнимаем две первых: Первую и вторую строки меняем местами: Вторую строку умножаем на -1 , а к первой строке прибавляем вторую: Таким образом, получаем, что Ответ. Замечание Если на некотором этапе в "левой" матрице получается нулевая строка , то это означает, что исходная матрица обратной не имеет. Найти обратную матрицу для Решение. Определение Матрица называется союзной к квадратной матрице , если элементы матрицы равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы. Найти обратную матрицу к матрице Решение. Обратная матрица к матрице находится по формуле: Найдем союзную матрицу , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы: Таким образом, Транспонируем эту матрицу то есть строки матрицы делаем столбцами с тем же номером: Разделы Формулы сокращенного умножения Формулы по физике Логарифмы Векторы Матрицы Основные определения и понятия Виды матриц Операции над матрицами Умножение матрицы на число Сложение и вычитание матриц Умножение матриц Транспонирование матрицы Эквивалентные матрицы Понятие определителя Минор и алгебраическое дополнение Методы вычисления определителей Обратная матрица Нахождение обратной матрицы Линейно зависимые и независимые строки Ранг матрицы Примеры решения задач Комплексные числа Пределы Производные Интегралы СЛАУ Числа Дроби Краткая теория Справочник по физике Формулы Теоремы Свойства Таблицы. Сервисы Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Образовательный форум. Услуги Контрольные на заказ Курсовые на заказ Дипломы на заказ Рефераты на заказ. Webmath О проекте Новости Реклама на сайте Помочь сайту Контакты.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно — в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Даже если с математикой туго. Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: Произведение данных чисел равно единице: С матрицами всё похоже! Однако обо всём по порядку — сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить. Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений. Существует два основных метода нахождения обратной матрицы: Начнем с самого ужасного и непонятного. Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом. Найти обратную матрицу для матрицы. В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке. Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель. Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае. Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек. Возвращаемся к нашей матрице Сначала рассмотрим левый верхний элемент: Как найти его минор? А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента , которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы: Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок! Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами. Вспоминаем нашу формулу Всё найдено! Таким образом, обратная матрица: Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами. Получена уже упомянутая единичная матрица — это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Также заметьте, что в ходе проверки константа дробь выносится вперёд и обрабатывается в самом конце — после матричного умножения. Обратную матрицу найдем по формуле: Здесь определитель раскрыт по первой строке. Также не забываем, что , а значит, всё нормально — обратная матрица существует. Рассмотрим следующий элемент матрицы: Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров: Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже. Ну и для закрепления — нахождение еще одного минора в картинках: Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно. В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи — и есть поиск обратной матрицы. В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках — гораздо меньше. Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана , но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Семь историй о первой любви
Рено дастер замена воздушного фильтра своими руками
График работы паспортного стола приволжского района казани
Точное какая погода сегодня
Цитаты ольги лариной