Тема: «О разрешимости задач на построение» Три знаменитые классические задачи древности Трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга вот три каверзные. - презентация
О некоторых признаках разрешимости и неразрешимости задач на построение
Трисекция угла
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ
Удвоение куба
Теперь мы уже достаточно подготовлены к исследованию проблем древности: Рассмотрим прежде всего проблему удвоения куба. Если данный куб имеет ребро, равное единице, его объем будет равен кубической единице; требуется найти ребро куба, объем которого вдвое больше. Допустим, что такое построение возможно. Мы сейчас убедимся в том, что такое допущение приведет к противоречию. Мы уже знаем, что число не может принадлежать рациональному полю так как есть число иррациональное см. Значит, придется допустить, что оно принадлежит одному из расширенных полей где k — целое положительное число. Мы имеем право допустить, что к есть наименьшее из таких целых чисел, то есть что принадлежит к но не принадлежит к Это значит, что имеет вид где принадлежат какому-то полю но ему не принадлежит. Основываясь, далее, на довольно простом алгебраическом рассуждении подобные рассуждения приходится применять нередко , мы убедимся, что если есть решение уравнения 1 , то есть также его решение. Так как принадлежит полю то тоже принадлежат и, значит, где а и 6 принадлежат Нетрудно подсчитать, что Если положим то сразу видно, что Так как мы предположили, что есть корень уравнения 1 , то Но из последнего равенства следует это основной момент что оба числа а и равны нулю. Действительно, если бы было отлично от нуля, то из 3 получилось бы равенство это противоречит допущению, что не принадлежит полю Итак, и тогда из 3 следует, что Но раз мы установили, что то уже из равенства 2 немедленно вытекает, что есть решение уравнения 1 , так как Далее, т. Мы установили, что если есть корень кубического уравнения 1 , то есть другой, не равный ему корень того же уравнения. Но это немедленно приводит к противоречию: Наше первоначальное допущение привело к противоречию, значит, оно ошибочно, поэтому корень уравнения 1 не может принадлежать никакому полю Итак, удвоение куба с помощью только циркуля и линейки невозможно. Операции над целыми числами 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков нумерация. Арифметические действия в недесятичных системах счисления. Бесконечность системы натуральных чисел. Сумма n первых квадратов. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции. Дополнение к главе I Теория чисел 2. Применение к основной теореме арифметики 3. Еще раз о теореме Ферма. Диофантовы уравнения Глава II. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Геометрическое представление рациональных чисел. Иррациональные числа, пределы 2. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. Иные методы определения иррациональных чисел. Замечания из области аналитической геометрии 2. Уравнения прямых и кривых линий. Математический анализ бесконечного 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. Геометрическое представление комплексных чисел. Формула Муавра и корни из единицы. Алгебраические и трансцендентные числа 2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Дополнение к главе II. Применение к математической логике. Одно из применений к теории вероятностей. Алгебра числовых полей Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. Числа, допускающие построение, и числовые поля 2. Все числа, допускающие построение, — алгебраические. Неразрешимость трех классических проблем 2. Одна теорема о кубических уравнениях. Замечания по поводу квадратуры круга. Геометрическое построение обратных точек. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью одного циркуля. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля 1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. Построения с помощью одного циркуля. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Инверсоры Поселье и Гарта. Еще об одной инверсии и ее применениях 1. Применение к проблеме Аполлония. Параллельность и бесконечность 2. Идеальные элементы и проектирование. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. Замечание по поводу двойственности. Конические сечения и квадрики 2. Проективные свойства конических сечений. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. Аксиоматика и неевклидова геометрия 2. Эллиптическая, или риманова, геометрия. Геометрия в пространствах более чем трех измерений Глава V. Топологические свойства фигур 2. Другие примеры топологических теорем 2. Теорема о неподвижной точке. Топологическая классификация поверхностей 2. Теорема Жордана для случая многоугольников. Независимое переменное и функция 2. Пределы при непрерывном приближении 2. Замечания по поводу понятия предела 3. Две основные теоремы о непрерывных функциях 2. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. Некоторые применения теоремы Больцано 2. Применение к одной механической проблеме. Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 4. Разрывные функции как предел непрерывных. Пример, относящийся к непрерывности Глава VII. Задачи из области элементарной геометрии 2. Экстремальное свойство световых лучей. Применения к задачам о треугольниках. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Экстремальные расстояния точки от данной кривой. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Точки минимакса и топология. Расстояние точки от поверхности. Треугольники, образованные световыми лучами. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение. Экстремумы и неравенства 1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин. Обобщение на случай n переменных. Экстремальные проблемы элементарного содержания. Трудности, возникающие в более сложных случаях. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Принцип Ферма в оптике. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. Геодезические линии на сфере. Экспериментальные решения минимальных проблем. Опыты с мыльными пленками 2. Опыты с мыльными пленками. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. Экспериментальные решения других математических проблем. Общие замечания о понятии интеграла. Производные от тригонометрических функций. Вторая производная и ускорение. Геометрический смысл второй производной. Основная теорема анализа 2. Показательная экспоненциальная функция и логарифм 2. Бесконечный ряд для логарифма. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Вопросы принципиального порядка 3. Другие приложения понятия интеграла. Порядок возрастания ln n! Бесконечные ряды и бесконечные произведения 2. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода Приложение. Неразрешимость трех классических проблем 1. Итак, искомое ребро удовлетворяет простому кубическому уравнению. Оглавление Предисловие ко второму русскому изданию Как пользоваться книгой Что такое математика? Дополнительные замечания, задачи и упражнения Аналитическая геометрия Геометрические построения Проективная и неевклидова геометрия Топология Функции, пределы, непрерывность Максимумы и минимумы Дифференциальное и интегральное исчисления Техника интегрирования Рекомендуемая литература.
Фк спартак новости 2017
Приказ о соблюдении требований безопасности
Правила чтения дат на английском
Как сделать скриншот на samsung galaxy s
Sucker for pain на гитаре табы