Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Испытания бернулли математическое ожидание/
Формула Бернулли
Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
Независимые испытания и формула Бернулли
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним распространённым следствием теорем сложения и умножения вероятностей , которое касается независимых испытаний , и рассмотрим многочисленные примеры на использование формулы Бернулли. Кроме того, я расскажу, в чём заблуждается подавляющее большинство участников лотерей и азартных игр. Что такое независимые испытания? Практически всё понятно уже из самого названия. Пусть производится несколько испытаний. Совершенно ясно, что вероятность выпадения орла либо решки в любом испытании не зависит от результатов других бросков. Аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для кубика. А вот последовательное извлечение карт из колоды не является серией независимых испытаний — как вы помните, это цепочка зависимых событий. Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна. Найти вероятность того, что:. Коль скоро, мы знаем , то легко найти вероятность промаха в каждом выстреле: Данное событие состоит в 4 несовместных исходах: По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий: Если вам НЕ ПОНЯТНА эта запись, пожалуйста, вернитесь к предыдущему уроку по вышеприведённой ссылке! Упростим результат с помощью комбинаторной формулы количества сочетаний: И, поскольку в каждом случае имеет место 1 попадание и 3 промаха, то: Здесь вариантов становится больше, попадания возможны:. Таким образом, по тем же теоремам сложения и умножения вероятностей: Можно ли так решать задачу? Но что делать, если серия состоит из 5, 6 или бОльшего количества выстрелов? Тут уже будут получаться десятки слагаемых, запись которых отнимет много времени и места. В этой связи рациональнее придерживаться более компактной схемы: И, поскольку в любом исходе ровно 2 попадания и 2 промаха, то: Итак — вероятность того, что будет 1 попадание из 4, равна , вероятность того, что будет 2 попадания из 4, равна … не замечаете ли вы закономерности? Только что на конкретном примере мы повторили путь Якоба Бернулли, который несколько веков назад вывел формулу, названную позже в его честь:. Но на практике в результате испытаний могут появляться разные события с разными вероятностями — в этом случае работает другая формула. Соответствующие примеры можно найти, например, в типовых расчётах из сборника Чудесенко Задача Сколькими способами можно выбрать 3 испытания, в которых выпадет орёл? Рассмотрим похожую задачу которая, кстати, эквивалентна Задаче 8 урока о классическом определении вероятности:. Здесь испытания не повторяются, а скорее, производятся одновременно, но, тем не менее, работает та же самая формула: Решение будет отличаться смыслом и некоторыми комментариями, в частности: Однако на практике подобные задачи встречаются не столь часто, и, видимо, по этой причине формула Бернулли чуть ли не стереотипно ассоциируется только с повторными испытаниями. Хотя, как только что было показано, повторяемость вовсе не обязательна. Очевидно, что в рассматриваемых примерах некоторые события более вероятны, а некоторые — менее вероятны. А теперь поставим задачу найти. Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность. Таким образом, наивероятнейшее количество попаданий при 8 бросках находится в следующих пределах: А сейчас весьма любопытная ситуация: Это, кстати, не являются каким-то уж сильно невероятным событием: Причина была сформулирована ещё в самом начале урока: Однако игры разума таковы, что у многих людей напрашивается следующий вывод: Проверить данный факт легче лёгкого: По теореме умножения вероятностей независимых событий , вероятность появления этой цепочки: Примерная суть состоит в следующем: Если выпало чёрное, удваивайте ставку и снова ставьте на красное. Если снова выпало чёрное, то ещё раз удваивайте ставку и снова ставьте на красное и т. Казалось бы — вот оно, золотое дно, ведь красных секторов целых 18 из 37 18 черных и 1 зеро в европейской рулетке! Попытать удачи в других заведениях. И вот — целая армия энтузиастов начинает собирать статистику тиражей, подгадывать определённые комбинации и т. Однако если провести десятки тысяч тиражей, то количество появлений всех номеров будет примерно равным. Но в действительности нет никакой разницы — покупаете ли вы билет наугад, или выбираете билет с определёнными числами, или даже если заполняете бланк самостоятельно. После увлекательного отступления рассмотрим ещё несколько задач, а затем я поделюсь секретом правильной игры в азартные игры и лотереи. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:. Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому здесь идёт речь о независимых испытаниях. Старайтесь не пренебрегать анализом условия, а то может статься — события-то зависимые или задача вообще о другом. С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли:. По теореме сложения вероятностей несовместных событий: Давайте заодно вспомним такое полезное понятие, как полная группа событий. Что осталось не найденным? Остались не найденными вероятности двух событий. Вводим исходные данные и получаем: Производится 8 выстрелов по цели, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,1. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы два раза. С дополнительными, в том числе весьма интересными примерами по теме можно ознакомиться в этой pdf-ке с готовыми решениями. И одну из таких задач я разберу в заключение урока:. Для нормальной работы вычислительного центра необходима безотказная работа в течение дня, как минимум, 5 компьютеров. Однако сам вопрос поставлен нетривиально — сколько компьютеров нужно установить? Поскольку для нормальной работы центра необходима безотказная работа, как минимум, 5 компьютеров , то может быть пяти и хватит? Значит, необходимо увеличить количество машин:. Тогда для нормальной его работы в течение дня безотказно должны работать 5 или 6 компьютеров. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:. Данное значение нас тоже не устроит, так как оно меньше требуемой надёжности работы вычислительного центра: Тогда безотказно должны работать 5, 6 или 7 компьютеров. Используя формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей несовместных событий , найдём вероятность того, что в течение дня безотказно будут работать, как минимум, 5 компьютеров из семи:. Формула Бернулли очень удобна, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. В этом случае используют теоремы Лапласа , которые мы рассмотрим на следующем уроке. Вопрос разрешается с помощью формулы Пуассона. Наверное, многие ожидали услышать от меня что-нибудь вроде: Ну почему же не играть? Игра — это одно из развлечений, а за развлечения, как известно, нужно… совершенно верно! Поэтому средства, на которые вы играете, следует считать платой за развлечение, но ни в коем случае трагической потерей. Тем не менее, каждый участник азартной игры хочет выиграть. И выиграть хорошую сумму. Какой тактики о стратегии речи не идет вообще выгоднее всего придерживаться в игре с заведомо проигрышным математическим ожиданием , например, в рулетке? Если в оффлайновом казино это ещё как-то можно понять общение, выпивка, девочки и т. Что касается лотерей, то билет лучше покупать опять же ради развлечения и… наобум. Ну а тем посетителям, которые мечтают разбогатеть на гэмблинге, настоятельно рекомендую прочитать либо ещё раз перечитать вводную статью по теории вероятностей. Найдём вероятность противоположного события: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Как пользоваться скайпом инструкция для новичков видео
Расчет лимита остатка денег в кассе
Ведьмак 3 где найти мечи
§ 6. Испытания Бернулли. Биномиальное и пуассоновское распределения. Теорема Муавра-Лапласа. Нормальное распределение вероятностей
Какое значение имеет транспорт
Примерное меню диеты дюкана атака
Общая характеристика поражающих факторов чс
Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Через сколько гасится судимость по статье
Организационная структура финансово кредитной организации
Математический форум Math Help Planet
Примыкание рулонной кровли к парапету
Инструкция по охране труда инженера строительной организации
Где делают узи доплера
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Состав затрат и расходов