Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.
Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений далее — СЛАУ , содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x n. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел значений переменных , при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными равносильными , если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: Это решение называется нулевым или тривиальным. Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных — метод Гаусса его еще называют методом гауссовых исключений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которого последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию. Это всегда возможно, т. Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого используя элементарные преобразования системы. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на. Здесь — новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:. Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a 11 0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а 22 1 если a 22 1 0 и т. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на m-1 шаге приведем исходную систему к треугольной системе. Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего самого верхнего , ситуация в точности повторяет случай последней строки. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью:. В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма. В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений. Поэтому общее решение системы: Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5 , слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены. В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:. Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах. Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях. Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей. Все материалы в разделе "Математика". Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса. Система линейных алгебраических уравнений 1. Системой линейных алгебраических уравнений далее — СЛАУ , содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: Метод Гаусса решения систем уравнений. Метод Жордана-Гаусса метод прямоугольников. Матричный метод решения систем уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса. Системы линейных уравнений и неравенств. Разработка программы решения системы линейных уравнений. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки. Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ.
Showforum стихи длинный день
Озоновый слой образуется в результате воздействия
Поиск записей в списке
Если жена не возбуждает больше что делать
Как найти область определенияпо графику
Dangerkids destroy yourself перевод
Закрыть ооо челны
Учебный план для 1 класса по фгос
Способы плавания на спине
Где сделать осаго в субботу
Что делать если не убирается нижняя панель
Баклажаны с шампиньонами
Расписание автобусов михайлов новомосковск
Русская народная резьба по дереву
Полыв коридоресвоими руками