Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/1 понятие математическая модель/
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
2. Основные понятия математического моделирования
Математическая модель
Цели и задачи математического моделирования процессов и систем. Контрольные вопросы к лекции 1. Геометрическое представление математических моделей. Теоретические математические модели аналитического типа. Построение математической модели сверления лазером. Контрольные вопросы к лекции 2. Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя. Контрольные вопросы к лекции 3. Математическая модель кратчайшего пути. Контрольные вопросы к лекции 4. Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных. Контрольные вопросы к лекции 5. Контрольные вопросы к лекции 6. Использование метода наименьших квадратов. Контрольные вопросы к лекции 7. Статистические методы проверки адекватности математических моделей. Контрольные вопросы к лекции 8. Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции. Контрольные вопросы к лекции 9. Выбор оптимальной эмпирической модели. Использование критерия Фишера для проверки значимости высших степеней математической модели. Контрольные вопросы к лекции Математические модели теории принятия решений. Общие сведения о теории принятия решений. Общая математическая модель формирования оптимальных решений. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения Задача о баке. Многокритериальные задачи принятия решений. Построение решений, оптимальных по Парето Двухкритериальная задача о баке. Вторая половина XX века связана с появлением и широким распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и процессы. Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет Леверье. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света. Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой — к полному безраздельному господству эмпирики натурных экспериментов. Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям. Положение начало меняться во второй половине XX в. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели. Математическое моделирование позволяет до создания реальной системы объекта или возникновения реальной ситуации рассмотреть возможные режимы работы, выбрать оптимальные управляющие воздействия, составить объективный прогноз будущих состояний системы. Вычислительные эксперименты, проводимые на основе математических моделей, помогают увидеть за частным общее, развить универсальные методы анализа объектов различной физической природы, познать свойства изучаемых процессов и систем. Наконец, математическое моделирование является основой интенсивно разрабатываемых автоматизированных систем проектирования, управления и обработки данных. Альтернативой формальному математическому подходу является экспериментальный подход. К его недостаткам можно отнести: Среди них найдено наибольшее, и оно принимается за максимум. Схема применения математической модели при решении реальных задач имеет вид, показанный на рис. Модель сложного объекта процесса, системы не может быть простой. Из чего следует, что процесс использования математических моделей реальных систем является итерационным процессом , когда последовательно уточняется дорабатывается математическая модель и методы решения стоящих задач. При этом важно иметь в виду, что все модели представляют собой приближенное описание реальных объектов процессов и поэтому принципиально неточны. Интегральная оценка модели может быть получена путем сравнения результатов моделирования и экспериментальных данных для конкретных объектов или режимов. Для оценки значимости совпадения или несовпадения модельных и экспериментальных результатов широко используются методы математической статистики. Вместе с тем не следует переоценивать результаты такой проверки. Хорошее совпадение модельных и экспериментальных данных, вообще говоря, не доказывает точности модели, а лишь подтверждают ее функциональную пригодность для моделирования. Всегда может быть предложена модель, обеспечивающая лучшее совпадение с экспериментом, но не лучшее описание моделируемого объекта или процесса. Существует несколько схем классификации математических моделей. Все они достаточно условны. Одна из таких схем приведена на рис. Все математические модели по использованному формальному языку можно разбить на аналитические и имитационные. Аналитические — модели, в которых используется стандартный математический язык. Имитационные — модели, в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования. Аналитические модели могут быть записаны в виде формул или уравнений. Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является имитационной. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных. Эти данные получают непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей. По форме описания аналитические модели подразделяются на линейные и нелинейные. В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции. Если аналитическое исследование может быть доведено до конца, модели называются аналитически разрешимыми. Что позволяет осуществить математическое моделирование до создания реальной системы, объекта? Сформулируйте основную задачу математического моделирования. Какой подход решения научных задач является альтернативным математическому моделированию? Перечислите основные недостатки экспериментального подхода. Что является важнейшей характеристикой математической модели? Наглядно можно представить себе только одномерную и двухмерную поверхности отклика, причем в последнем случае удобно пользоваться топографическим способом изображения рельефа поверхности с помощью линий уровня изолиний , построенных в двумерном факторном пространстве Х. При этом функции f j x могут зависеть как одновременно от всех переменных, так и от некоторой их части. Ограничения типа неравенств характеризуют или физические ограничения на процессы в изучаемом объекте например, ограничения температуры , или технические ограничения, связанные с условиями работы объекта например, предельная скорость резания. Если в области определения на поверхности отклика имеется одна вершина впадина , модель называется унимодальной. Характер изменения функции при этом может быть различным Рис. Модель может иметь разрывы первого рода см. Непрерывная унимодальная модель может иметь точки разрыва производной — разрывы второго рода см. Для всех трех случаев, представленных на рис. Наряду с унимодальными бывают полимодальные модели Рис. Другим важным свойством поверхности отклика является ее контрастность , показывающая чувствительность результирующей функции к изменению факторов. Контрастность характеризуется величинами производных. Продемонстрируем характеристики контрастности на примере двумерной поверхности отклика Рис. Теоретические Математические модели аналитического типа. Простейшие аналитические модели могут быть заданы явно в виде функции одной или нескольких переменных. Обычно в виде функций задаются общие законы природы или общие закономерности, полученные в результате интегрирования дифференциальных уравнений. Примером такой модели может служить знаменитая формула К. Модель, заданная в явном виде, дает исчерпывающее описание исследуемого объекта. Она позволяет построить зависимость его характеристик от управляющих факторов, взять производные и найти экстремумы модели, определить характеристики модели в окрестности экстремумов и т. Очень удобна графическая интерпретация таких моделей. Однако модели в виде формул могут быть разработаны только для очень простых объектов. Примером аналитической теоретической модели может служить модель, описывающая глубину отверстия при лазерном сверлении. Резание и сверление металлов весьма важно для многих областей техники. Значительный интерес представляет создание новых устройств, предназначенных для специальных материалов, а также для тех случаев, когда желательно обеспечить некоторую степень автоматизации указанных процессов. В последнее время для этого были предприняты попытки использования мощных лазеров. Основная идея состоит в том, чтобы сфокусировать значительную мощность на малой площади поверхности материала, создавая таким образом интенсивный нагрев и испарение с последующим образованием отверстия. При сверлении необходимо постараться обеспечить такие условия процесса, чтобы проделанное отверстие прямо проходило сквозь материал, и избежать, таким образом, затекания расплавленного металла обратно в отверстие и застывания его там. Построим математическую модель, главная применимость которой — глубокое сверление. При помощи модели попытаемся ответить на вопрос, как быстро можно проделать отверстие, используя пучок излучения высокой мощности, и на какую глубину. Рассмотрим высокоэнергетический пучок лазерного излучения, сфокусированный на малом участке поверхности металла Рис. Определенная доля энергии поглощается, а остальная часть отражается. Поглощение энергии происходит внутри слоя, толщина которого много меньше миллиметра, вызывает поверхностный нагрев материала и рост температуры поверхности. Температура растет не безгранично. Существует два процесса, ограничивающие рост температуры: Когда температура материала достигает точки кипения, скрытое тепло поглощается без дальнейшего увеличения температуры в процессе испарения материала. При удалении пара от поверхности материала в металле образуется выемка. Задача количественного описания этого процесса и вызывает необходимость математического моделирования. Используя закон сохранения энергии, получим. Таким образом, в предельном режиме испарения глубина выемки зависит только от полной энергии, поступившей на поверхность. На практике всегда существует перенос некоторого количества тепла в материал за счет теплопроводности. Ее решение представляет определенные математические трудности. В виде чего может быть представлена математическая модель геометрически? Как задаются математические модели аналитического типа? Приведите пример математической модели аналитического типа. Какие задачи позволяет решить модель, заданная в явном виде? Какой предельный режим рассматривается при построении математической модели сверления лазером? Какой закон используется при построении математической модели сверления лазером? Назовите процессы, препятствующие росту температуры при лазерном сверлении. На какие вопросы можно ответить, используя математическую модель сверления лазером? К какому типу принадлежит модель зависимости глубины выемки от длительности импульса? Наиболее простыми являются так называемые линейные детерминированные модели. Они задаются в виде линейной формы управляющих переменных х: Поверхность отклика для линейной модели представляет собой гиперплоскость. Например, рассмотрим линейную модель двух переменных следующего вида: При определенном соотношении ограничений множество допустимых решений может отсутствовать пусто. Пример такого множества показан на рис. Третье ограничение отсекает область допустимых значений снизу от прямой АВ. Таким образом, общей области, удовлетворяющей всем трем ограничениям, нет. Линейные модели достаточно просты и поэтому, с одной стороны, предполагают существенное упрощение задачи, а с другой — допускают разработку простых и эффективных методов решения. При исследовании ДЛА линейные модели используются редко и почти исключительно при приближенном описании задач. Линейные модели могут использоваться при поэтапной аппроксимации нелинейных моделей линеаризация задачи. Особенно эффективен этот прием при изучении небольших областей исследуемого пространства. Представление отдельных участков нелинейной поверхности отклика линейной моделью лежит в основе большой группы методов оптимизации, так называемых методов с линейной тактикой. Исследование линейных моделей не представляет труда. В частности влияние каждой из переменных на характеристики модели вида. К линейным иногда сводятся простейшие модели стоимости, рассматриваемые как совокупность производимых затрат. Количество продукта, перевозимого из i -го пункта производства в j -й пункт потребления, равно x ij ; стоимость перевозки единицы этого продукта — с ij. К линейным также относятся модели в виде линейных дифференциальных уравнений обыкновенных или в частных производных. Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид. Газотурбинный двигатель ГТД является основной силовой установкой современных самолетов. Компрессор, вращаясь на одном валу с турбиной, сжимает воздух, который поступает в камеру сгорания. В камеру сгорания постоянно впрыскивается топливо керосин , которое смешивается со сжатым воздухом. Газ, образующийся от сгорания, поступает на турбину, которая разгоняет его до скорости W. Изменение силы тяги осуществляется путем изменения скорости впрыска топлива в камеру сгорания с помощью перемещения ручки управления двигателем РУД. ГТД является сложной технической системой, в которой протекает значительное число физических и химических процессов. Двигатель оснащен всевозможными устройствами автоматики, системами поворота и охлаждения турбинных лопаток и т. Естественно, математическое описание функционирования ГТД также будет достаточно громоздким, включающим в себя системы дифференциальных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, трансцендентных функций, алгоритмы цифровой системы управления двигателем. Такие модели используются в процессе проектирования ГТД. Процесс изменения силы тяги описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида: Тангенс угла наклона графика равен искомому коэффициенту. Предельное значение силы тяги получаем из 2. Предельное значение силы тяги равно кг. Они могут быть заданы в виде нелинейной функции одной или нескольких переменных или в виде дифференциальных уравнений обыкновенных или в частных производных. Наиболее распространенными среди нелинейных моделей при описании ДУ и ДЛА являются: Область определения модели может быть ограничена с помощью равенств или неравенств: По существу под определение нелинейной модели подпадает любое математическое описание ДУ и ДЛА, не укладывающееся в рамки более простых моделей. Полиномиальные модели основаны на идее приближенного представления модели конечным числом членов ряда Тейлора: Наиболее простой из моделей этого класса является квадратичная модель: Квадратичные модели широко используются для представления экспериментальных данных при идентификации ДЛА и их элементов. Квадратичные модели используются для аппроксимации отдельных участков поверхности отклика, когда линейное приближение оказывается недостаточным, например, в окрестности экстремума, и лежит в основе нелинейных методов оптимизации. Если квадратичная модель также оказывается недостаточно точной, то используются полиномиальные модели более высоких порядков. Исследование полиномиальных моделей частично можно осуществить аналитическими методами. Например, аналитически можно определить степень влияния отдельных переменных на характеристики модели. Позиномные модели основаны на представлении модели в виде суммы произведений степенных функций: Позиномные модели можно использовать для описания стоимости сложных систем. К позиномным моделям сводится задача выбора геометрических характеристик ряда технических устройств, в том числе элементов ДЛА, например, электромагнитов, силовых ферм и т. Исследование позиномных моделей сложнее, чем моделей полиномиального типа, и осуществляется в основном численными методами. В этом частном случае модель 2. Для поиска оптимальных решений на основе позиномных моделей разработан специальный аппарат — так называемое геометрическое программирование. С какими значениями величин оперируют детерминированные модели? Как выглядит линейная детерминированная модель в общем виде? Что представляет собой поверхность отклика для линейной модели? Приведите простейшую математическую модель изменения силы тяги ГТД. Приведите модель установившегося процесса горизонтального полета самолета. Какие виды нелинейных математических моделей Вы знаете? Как привести позином к линейному виду при каком условии? В качестве примера применения нелинейных статических моделей рассмотрим задачу описания двумерного движения точки по ограниченной области рис. Такая задача может возникнуть при определении координат опорных точек движения инструмента на станке с ЧПУ. Кратчайшим расстоянием между двумя точками на плоскости является соединяющий их отрезок прямой. Тогда по теореме Пифагора. Этот путь является наилучшим среди путей, составленных из двух отрезков прямых линий. На этой стадии решения задачи мы выяснили, что кратчайший путь состоит их двух отрезков прямых линий и дуги окружности. Длину этого пути обозначим через S. Получим математическую модель пути: Чтобы убедиться, что найденное значение является точкой минимума, необходимо исследовать вторую производную от 2. Равенство нулю второй производной требует дополнительного исследования критической точки. Необходимо найти первую, не обращающуюся в нуль, производную. Если она нечетного порядка, функция не имеет в исследуемой точке ни максимума, ни минимума. Если она четного порядка и больше нуля, исследуемая точка является минимумом. Наименьшее в области определения значение находится на границе этой области. Покажем, что математическая модель 2. Но p действительно больше R см. Таким образом, аналитическую модель пути формула 2. К какому типу можно отнести модель кратчайшего расстояния между двумя точками? Математическая модель в виде одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ широко используются при изучении переходных процессов в системах автоматического регулирования САР , при описании баллистики летательных аппаратов, а также при описании процессов движения потоки, частицы, механические элементы. В простейшем случае модель может иметь вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка: Модель, заданная в виде дифференциальных уравнений, должна включать в себя необходимый набор начальных условий: Наиболее полными являются аналитические решения, обеспечивающие всесторонний анализ полученных результатов. Но такие решения получены лишь для ограниченного числа дифференциальных уравнений. Численные методы решения позволяют найти лишь конкретные значения изучаемой функции при заданной комбинации исходных данных. Для анализа модели можно использовать некоторую совокупность решений. Однако, очевидно, что результаты анализа в этом случае могут зависеть от выбора этой совокупности. Возмущающая сила, вызывающая колебания, зависит от времени f t. Наряду с возмущающей силой f t на груз действует сила инерции , сила вязкого трения , усилие пружины. Все эти силы тормозят движение груза. Согласно принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на груз должна равняться нулю: Начальные условия характеризуют начальное положение и начальную скорость груза: Ряд задач, связанных с использованием физических полей, приводит к моделям в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Особенностью таких задач является то, что изучаемые параметры изменяются не только во времени, но и зависят от координат x, y, z рассматриваемого пространства. Такие модели называются нестационарными. Модели, в которых параметры не зависят от времени, называются стационарными. К таким моделям сводятся описания полей температур в элементах конструкции двигателя и полей скоростей при течении жидкости газа. Уравнениями в частных производных описываются колебания элементов конструкции и поля напряжений, возникающих при работе этих элементов. Математическая модель, описанная дифференциальными уравнениями в частных производных, должна включать в себя необходимые для решения задачи краевые условия: В случае нестационарного поля эти граничные условия, так же как и сама область могут меняться во времени. Для нестационарных полей должны быть заданы одно или два начальных условия, характеризующих состояние поля в начальный момент времени: Совокупность уравнений и краевых и начальных условий полностью определяет модель и позволяет провести ее исследование. В качестве примера рассмотрим хорошо изолированный металлический пруток, нагреваемый с одной стороны. С другой стороны помещен измеритель температуры Рис. Затем следует проградуировать измеритель температуры, то есть определить соответствие между x t и y t , задавая различные значения x t и вычисляя. Где используются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений? Что должна включать в себя математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений? Какими методами осуществляется исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений? Где используются математические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных? Что является особенностью математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частных производных? Что должна включать в себя математическая модель в виде дифференциальных уравнений в частных производных? Приведите математическую модель распределения температурного поля в металлическом прутке, нагреваемом с одной стороны. Всегда имеется определенный разброс размеров деталей l , расходов топлива в системах подачи. Все это приводит к тому, что и результирующие функции, характеризующие процесс, также носят случайный характер. Результаты, полученные с помощью детерминированной модели, представляют собой математические ожидания этих характеристик. При этом конкретные данные для конкретной системы могут существенно отличаться от этих математических ожиданий. Например, ресурс конкретного двигателя может существенно отличаться от среднего ресурса двигателей данного типа. Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям , то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности. Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло. Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных: Значительно возрастает объем исходной информации: Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели. С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени и их зависимость от различных факторов. По нормальному закону распределены обычно характеристики материалов, размеры деталей, ресурсы элементов ДЛА. Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение — задает равновероятностные на отрезке [ a , b ] случайные величины. Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам: Выбор закона распределения для конкретной случайной величины, входящей в стохастическую модель, может быть обоснован экспериментально или теоретически. При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки. Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности. То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций а значит и время счета в раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Что представляют собой величины, входящие в стохастическую модель? Что представляет собой поверхность отклика моделей, исследуемых методом статистических испытаний? Какие трудности возникают при исследовании стохастических моделей? Какую информацию дает в руки исследователя полученное при статистическом исследовании распределение характеристик системы? Как выглядит плотность распределения для нормального закона? Как выглядит плотность распределения для закона равной вероятности? Как определяются оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины? От чего зависит погрешность стохастического моделирования? Переход к эмпирическим моделям предполагает заведомый отказ от аналитических методов исследования. Поэтому эмпирические модели более разнообразны и включают в себя различные по форме математические зависимости. При разработке эмпирической математической модели предполагается использование экспериментальных данных, полученных при испытаниях объектов. Результаты таких испытаний всегда представляют собой наборы величин, характеризующих работу объекта или системы при различных сочетаниях управляющих параметров. Наиболее эффективным средством представления результатов экспериментов в системах математического моделирования являются эмпирические модели. При построении эмпирической модели обычно предполагается, что физическая теория работы объекта отсутствует или по тем или иным причинам не может быть использована. При этом необходимо учитывать ошибки, возникающие при измерении характеристик объекта. Обычно предполагается, что имеющиеся экспериментальные данные дают достаточно информации для воссоздания математического описания объекта. Идентификацию модели начинают с выбора формы модели, то есть вида функции f x. При этом на практике может встретиться два случая: Так, описание ряда затухающих или развивающихся процессов дается зависимостями экспоненциального типа Рис. В этом случае для идентификации модели используются отрезки бесконечных рядов, а задача заключается в определение числа членов ряда и коэффициентов при этих членах. Модель может быть представлена в виде. Конкретный вид модели зависит от выбора функций f q x , по которым производится разложение W. Часто в качестве функций f 0 x , f 1 x , f 2 x ,…, f l x выступают степенные функции х 0 , х 1 , х 2 ,…, х l. Если ограничиться первыми членами разложения, то уравнения сведутся к линейным, квадратичным и другим полиномиальным моделям. Однако пока остается не ясным, сколько членов ряда обеспечивает наилучшее описание изучаемого процесса. Обычно берут количество экспериментальных точек значительно больше, чем количество коэффициентов регрессии. В этом случае нельзя построить поверхность отклика, проходящую через все экспериментальные точки. Да этого и не требуется. Таким образом, для любой экспериментальной выборки могут быть предложены различные модели идентификации. Конкретная форма модели зависит от выбора функций f q x и количества членов ряда. Сама постановка задачи идентификации включает в себя элемент неопределенности, возможность множественности решений. Важно выбрать лучшее или, по крайней мере, достаточно хорошее из этих решений. Однако на практике очень часто приходится иметь дело с неорганизованным пассивным экспериментом. Связано это, по крайней мере, с тремя причинами: В качестве простого примера построения модели методом наименьших квадратов рассмотрим задачу восстановления математического описания некоторого процесса по результатам эксперимента. Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка. Выборка десяти случайных пар представлена в табл. Приравняв эти выражения к нулю и произведя некоторые преобразования, получим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка с тремя неизвестными, коэффициенты которой вычисляются по известным данным из табл. Проверим адекватность модели методом Фишера. Для этого заполним четвертый и пятый столбцы таблицы 3. Так как полученное значение F меньше критического порогового , гипотеза об адекватности модели реальному процессу принимается. Что является исходным материалом при построении эмпирической модели? Как используется физическая теория работы объекта при построении эмпирической модели? Перечислите причины проведения непланируемого эксперимента. В чем заключается метод наименьших квадратов? Если имеются или могут быть получены необходимые и достоверные экспериментальные данные, для проверки адекватности моделей можно использовать методы математической статистики. Однако, истинное значение отклика системы никогда неизвестно. Полученный в результате эксперимента отклик в силу неконтролируемого дрейфа системы, разброса характеристик ее элементов и, наконец, просто ошибок измерения представляет собой случайную величину, отличающуюся от W. При этом может быть допущена ошибка первого рода , состоящая в отказе от правильной модели принимается Н 1 , когда верна Н 0 , или ошибка второго рода , состоящая в принятии ошибочной модели принимается Н 0 , когда верна Н 1. Для оценки гипотезы об адекватности модели существует несколько критериев: Для заданной экспериментальной выборки строится вспомогательная функция. Какие критерии проверки адекватности математической модели Вы знаете? Построим математическую модель силы резания при обработке круглой детали на токарном станке Рис. Сила резания Р описывается математической моделью в виде позинома. Для определения неизвестных параметров воспользуемся методом наименьших квадратов. Для упрощения решения поставленной задачи прологарифмируем выражение 3. Получили систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка, коэффициентами которой являются суммы произведений логарифмов экспериментальных данных. Для определения параметров исходной модели 3. Если в распоряжении исследователя имеются экспериментальные данные, для проверки адекватности математической модели действительности можно использовать методы математической статистики. Рассматриваемый ниже метод пригоден при изучении любых математических моделей. Для этого вычисляется некоторая величина U , называемая статистикой: В этом случае принимается гипотеза Н 1. Вывод о правильности гипотезы Н 1 , вообще говоря, не требует безоговорочного отказа от проверяемой модели: В этом случае моделью можно пользоваться, но нужно признать, что ее точность оказалась ниже, чем первоначально предполагалось. Это, в свою очередь, может изменить оценку значения U. Однако нужно помнить, что при этом увеличивается риск признать правильной ошибочную модель. В противном случае опасений за точность модели не возникает, однако можно предположить, что величина толерантного интервала задана необоснованно большой. В обоих случаях нужно признать, что модель оказалась точнее, чем ожидалось. Приведите общий вид математической модели силы резания при точении. Как привести модель, заданную в виде позинома, к линейному виду? Перечислите меры, которые можно применить в случае неадекватности построенной математической модели. В каком случае можно не проверять модель на адекватность? Принцип наименьших квадратов позволяет найти наилучшую модель идентификации для исследуемой экспериментальной выборки с заданным уравнением регрессии вида. Если имеются достаточно веские основания для выбора формы этого уравнения, никаких проблем не возникает. Однако, в большинстве случаев конкретная форма модели заранее неизвестна и может, вообще говоря, быть различной. На самом деле это не так. Дело в том, что экспериментальные данные представляют собой случайные величины и содержат лишь ограниченную информацию о характере W x. Увеличение степени полинома целесообразно лишь до тех пор, пока из экспериментальной выборки извлекается надежная информация. Таким образом, возникает проблема выбора формы модели. Подход к решению этой проблемы основан на статистическом исследовании уравнений регрессии. Метод представляется мало пригодным для анализа сложных систем, так как отличается высокой трудоемкостью. При этом для каждого из членов модели вычисляется величина критерия Фишера F. Трудоемкость этого метода меньше, чем метода всех возможных регрессий. Трудоемкость этого метода существенно меньше трудоемкости рассмотренных выше методов. Существуют и некоторые другие методы подбора оптимального уравнения регрессии. При этом подходе все экспериментальные данные разбиваются на две части: Первая из них используется для определения коэффициентов регрессии модели, вторая — для оценки модели в целом. Оптимальные по этому подходу модели мало чувствительны к небольшим изменениям исходных данных. Проверочная последовательность должна включать в себя хотя бы одну точку. В ряде случаев в качестве критерия регуляризации удобно использовать критерий несмещенности , обеспечивающий наименьшее изменение модели при изменении состава обучающей последовательности. Оптимальная модель ищется по всем точкам выборки: Критерий регуляризации всегда имеет четко выраженный минимум, что обеспечивает объективное выделение модели оптимальной сложности. Критерий Фишера может быть использован для сравнения точности двух или нескольких конкурирующих моделей. Для каждой из моделей может быть составлена остаточная сумма квадратов: Средний квадрат дополнительной суммы определяется соотношением. В частном случае полиномиальных моделей, представляющих собой конечные отрезки бесконечных рядов, этим методом можно проверить целесообразность включения в модель членов рада с более высокими степенями. Рассмотрим пример, приведенный в п. В результате расчетов методом наименьших квадратов можно найти коэффициенты такой модели: В связи с тем, что полученное из расчета значение критерия Фишера меньше критического, можно считать, что член третьего порядка не добавляет существенной информации и, следовательно, он является незначимым. Переход к модели третьего порядка нецелесообразен. Опишите критерий проверки значимости высших степеней математической модели. Принятие решений является основой любой деятельности человека. Простейшая схема принятия решений включает в себя некоторую цель и совокупность способов ее достижения Рис. При этом в любом процессе принятия решений обязательно присутствует субъект принятия решений , который в общем случае представляется группой лиц, ответственных за целеполагание, формирование вариантов способов действий и, главное, за выбор конкретного решения. Критерием оптимальности называется математическое выражение, позволяющее количественно оценить степень достижения поставленной цели при выборе того или иного решения. Задача ПР называется однокритериальной , если выбираемое решение служит достижению одной цели. Например, выбор управленческого решения по производственной программе предприятия, позволяющего получить максимум прибыли цель от реализации продукции. Во многих ситуациях ПР объективно присутствует несколько целей. Например, при выборе проектных решений по новому пассажирскому самолету требуется обеспечить максимальное число пассажиров цель 1 при минимальном расходе топлива цель 2. В математических моделях принятия решений в качестве нового знания выступает оптимальное решение, которое в наилучшем смысле соответствует достижению поставленной цели целей. Для оценки эффективности различных вариантов решений будем использовать специальным образом сформированную функцию: Пусть ЛПР обладает для достижения цели вектором ресурсов b. Таким образом, общая математическая модель формирования оптимальных решений может быть представлена в следующем виде: Постановка задачи в этом случае выглядит следующим образом: Найти значение вектора Х, доставляющего максимум минимум критерию оптимальности решений 4. Математическая модель ПР 4. В реальных задачах ПР ограничения вида 4. Согласно условиям задачи выражение 4. Условие того, что бак должен иметь объем заданного значения V , представим в виде: Пусть бак должен иметь минимальную трудоемкость его изготовления. Если считать трудоемкости изготовления крышки, дна и боковой стенки достаточно малыми величинами, то затраты времени на изготовление бака будут пропорциональны длине свариваемых швов: При построении математической модели в этой задаче принятия решений были использованы известные геометрические закономерности. Аналитическое решение задачи ПР возможно, если соответствующая математическая модель включает в себя ограничения типа равенств, то есть имеет вид: Такие задачи решаются обычно классическими методами условной оптимизации , которые предусматривают построение функции Лагранжа вида. Точки экстремума этой функции определяются из решения системы уравнений вида. Используем этот метод для решения однокритериальной задачи 4. Что включает в себя простейшая схема принятия решений? Возможно ли получение единственного оптимального решения в многокритериальных задачах? Напишите общий вид математической модели формирования оптимальных решений. Запишите критерий минимального расхода материала для задачи о баке. Запишите критерий минимальной трудоемкости для задачи о баке. Перечислите недостатки аналитического метода условной оптимизации. Во многих задачах принятия решений имеется несколько целей, которые хочет достичь ЛПР. Такие задачи сводятся к многокритериальным задачам вида: Наибольшее распространение на практике решения таких задач получил подход, связанный с работами итальянского математика-экономиста Викторио Парето. Он обеспечивает ЛПР возможность гибкого принятия решений. Рассмотрим наиболее распространенную на практике двухкритериальную задачу оптимизации вида: Уравнения этого конуса имеют вид: Тогда все точки множества значений критериев, для которых соответствующие конусы являются пустыми, являются парето-оптимальными решениями в пространстве значений критериев. Такое множество называется множеством компромиссов, множеством эффективных точек или множеством Парето. Построив множество компромиссов, ЛПР выбирает в нем из неформальных соображений некоторую точку, которая является наилучшим компромиссом, по мнению ЛПР. Вернемся к рассмотренной в п. Решив эту однокритериальную задачу, найдем оптимальную точку X T , обеспечивающую минимальную трудоемкость изготовления бака. Если провести аналогию с рис. Поскольку аналитически решить систему 4. Для примера эта задача была решена с шагом 0,1 в пакете MathCad. Запишите функцию Лагранжа для двухкритериальной задачи о баке. Введите число с картинки: Цели и задачи математического моделирования процессов и систем 1. Существует множество определений математической модели. Приведем одно из них: Классификация математических моделей Существует несколько схем классификации математических моделей. Математические модели Аналитические Имитационные Теоретические Эмпирические Теоретические Линейные Нелинейные Нелинейные Статические Динамические Динамические Детермини-рованные Стохастические Детермини-рованные Аналитически разрешимые Численно разрешимые Численно разрешимые Рис. Контрольные вопросы к лекции 1 Что позволяет осуществить математическое моделирование до создания реальной системы, объекта? Что позволяют увидеть вычислительные эксперименты? Дайте определение математической модели. На какие два вида делятся математические модели? Перечислите виды аналитических математических моделей. Дайте краткую характеристику видов моделей. Теоретические Математические модели аналитического типа Простейшие аналитические модели могут быть заданы явно в виде функции одной или нескольких переменных. Построение математической модели сверления лазером Примером аналитической теоретической модели может служить модель, описывающая глубину отверстия при лазерном сверлении. Этот предельный режим испарения может возникать двумя путями: Контрольные вопросы к лекции 2 В виде чего может быть представлена математическая модель геометрически? Что такое область определения математической модели? Какая модель называется унимодальной? Линейные математические модели Наиболее простыми являются так называемые линейные детерминированные модели. Предполагается равенство общего производства и потребления: Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя Газотурбинный двигатель ГТД является основной силовой установкой современных самолетов. Схема ГТД имеет вид, показанный на рис. Цикл работы ГТД включает следующие этапы: С этой скоростью газ через сопло выбрасывается в атмосферу. Начальное условие для уравнения 2. Полиномиальные модели Полиномиальные модели основаны на идее приближенного представления модели конечным числом членов ряда Тейлора: Прологарифмируем обе части этого равенства, получим. Контрольные вопросы к лекции 3 С какими значениями величин оперируют детерминированные модели? Приведите модель стоимости перевозок. Где используются линейные детерминированные модели? К какому типу она относится? Где она может быть использована? Что и как можно определить с ее помощью? Приведите общий вид квадратичного полинома. Математическая модель кратчайшего пути В качестве примера применения нелинейных статических моделей рассмотрим задачу описания двумерного движения точки по ограниченной области рис. Произведя некоторые преобразования, получим. Вторая производная от функции 2. Покажем, что она не превышает нуля: Контрольные вопросы к лекции 4 К какому типу можно отнести модель кратчайшего расстояния между двумя точками? Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений Математическая модель в виде одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ широко используются при изучении переходных процессов в системах автоматического регулирования САР , при описании баллистики летательных аппаратов, а также при описании процессов движения потоки, частицы, механические элементы. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных Ряд задач, связанных с использованием физических полей, приводит к моделям в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Граничные условия могут быть 1-го, 2-го и 3-го рода: Граничные условия определяются тремя условиями: Контрольные вопросы к лекции 5 Где используются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений? Какой принцип используется при построении этой модели? К какому типу относится эта модель? Какого типа бывают граничные условия? Контрольные вопросы к лекции 6 Что представляют собой величины, входящие в стохастическую модель? В чем заключается метод Монте-Карло? Какие законы распределения случайной величины Вы знаете? Что такое выборочная статистика? Рубежный контроль 1 Глава 3. Эмпирические математические модели 3. Использование метода наименьших квадратов В качестве простого примера построения модели методом наименьших квадратов рассмотрим задачу восстановления математического описания некоторого процесса по результатам эксперимента. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле. Критерий Фишера вычисляется по формуле. Контрольные вопросы к лекции 7 Что является исходным материалом при построении эмпирической модели? Что при этом представляет собой объект идентификации? Что такое уравнение регрессии? С чего начинается процесс идентификации? От чего зависит конкретная форма модели? Статистические методы проверки адекватности математических моделей Если имеются или могут быть получены необходимые и достоверные экспериментальные данные, для проверки адекватности моделей можно использовать методы математической статистики. Контрольные вопросы к лекции 8 Сформулируйте задачу проверки адекватности модели. В чем заключается ошибка первого рода? В чем заключается ошибка второго рода? Охарактеризуйте каждый из этих критериев. Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции Построим математическую модель силы резания при обработке круглой детали на токарном станке Рис. Контрольные вопросы к лекции 9 Приведите общий вид математической модели силы резания при точении. Каким методом найдены параметры линейной модели? В чем заключается этот метод? Как перейти от линейной модели к позиному? Что такое доверительная вероятность? Выбор оптимальной эмпирической модели Принцип наименьших квадратов позволяет найти наилучшую модель идентификации для исследуемой экспериментальной выборки с заданным уравнением регрессии вида. Использование критерия Фишера для проверки значимости высших степеней математической модели Критерий Фишера может быть использован для сравнения точности двух или нескольких конкурирующих моделей. Если полученное значение критерия Фишера значимо: Вычислим остаточную сумму квадратов: Средний квадрат дополнительной суммы. Перечислите методы выбора оптимальной модели. На чем основан метод всех возможных регрессий? На чем основан метод исключения? На чем основан метод включений? На чем основан подход регуляризации? Математические модели теории принятия решений 4. Общие сведения о теории принятия решений Принятие решений является основой любой деятельности человека. Общая математическая модель формирования оптимальных решений В математических моделях принятия решений в качестве нового знания выступает оптимальное решение, которое в наилучшем смысле соответствует достижению поставленной цели целей. Функция Лагранжа имеет вид: Недостатками этого метода являются: Не учитываются в явном виде условия неотрицательности 4. Контрольные вопросы к лекции 11 Что включает в себя простейшая схема принятия решений? Что такое критерий оптимальности? Что такое однокритериальная ЗПР? Что такое многокритериальная ЗПР? Сформулируйте задачу принятия решений. Запишите общий вид функции Лагранжа. Многокритериальные задачи принятия решений Во многих задачах принятия решений имеется несколько целей, которые хочет достичь ЛПР. Построение решений, оптимальных по Парето Двухкритериальная задача о баке Вернемся к рассмотренной в п. Функция Лагранжа запишется в виде. Распишем функцию Лагранжа подробнее: Контрольные вопросы к лекции 12 Какие решения называются паретооптимальными? Сформулируйте правило выделения лучших точек. Что такое множество компромиссных решений? Как получить множество компромиссных решений? Как найти минимум функции Лагранжа? Математическое моделирование и исследование технологии и техники применения cмазочно-охлаждающих жидкостей в машиностроении и металлургии разное Авторы: Математическое моделирование процессов в машиностроении разное Пермь: Сканированная копия, dpi, в цвете Учебное пособие. Общие сведения по теории математического моделирования Сущность математического моделирования Основы построения и использования математических моделей Математические мод Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей разное Пер. Книга посвящена комплексному моделированию процессов, протекающих в различных системах, с помощью цифровых вычислительных машин. Рассмотрены численные методы моделирования непрерывных процессов, высокоточного дифференцирования, ин Моделирование в задачах механики элементов конструкций разное Монография М.: ISBN Изложены методы подобия и моделирования применительно к задачам механики элементов конструкций. Существенное внимание уделено приближенному моделированию механических систем, при котором требование полного геометрического подобия модели и натуры не Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении разное М.: Изложен новый подход к решению задач, возникающих при моделировании технологических процессов в машиностроении и металлургии. Он основан на разработанной академиком А. Тихоновым теории решения обратных и некорректных задач — теории регуляризации. Приведены конкретные примеры решения Моделирование систем разное Учебное пособие. Лабораторная работа - Исследование прочности защитного кожуха лабараторные Лабораторная работа "Исследование прочности защитного кожуха", БГУИР, Минск, Преподаватель - Севернев А. Дисциплина - Имитационное моделирование систем. В файле MS Excell содержится титульный лист на первом листе, на втором - условие задачи, на третьем и четвертом - решение двух лаб Примечание: Моделирование систем разное Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, Рассмотрены основные этапы машинного моделирования, планирование машинных экспериментов, вопросы, организация статистического моделирования и два класса кибернетических моделей: Компьютерные технологии, моделирование и автоматизированные системы в машиностроении разное Волгоград: ISBN В книге приведены основные понятия и определения методов компьютерного моделирования, используемые в машиностроении, включая имитационное, физическое, геометрическое, информационное и ряд других методов, имеющих важное прикладное значение.
Проезд по железной дороге
Переход со срочной службы на контракт
Инструкция по охране труда для секретарь руководителя
Основные понятия математического моделирования
Магазины бытовой техники ульяновск каталог товаров
Сколько хромосом в профазе
Белинский 8 9 статья о евгении онегине
Лекция № 1 Введение. Понятие математических моделей и методов
Сколько жарить картошку на костре
Расписание фитнес хаус на савушкина 119
Понятие математического моделирования
Полка для книг своими руками
Общая характеристика нормы права
Рассказыкак мальчик стал девушкой
Лекции - Математическое моделирование
Opera сделать google поиском по умолчанию