Теоретические аспекты линейного программирования
Сущность методов линейного программирования
Линейное программирование 4
Линейное программирование предназначено для создания программы или плана действий обеспечивающих достижения поставленной цели по заданным критериям. В задачах разрабатывается программа действий, когда зависимость между всеми параметрами задачи линейная. В общем виде задача содержит:. В отличие от линейной алгебры в линейном программировании ограничения могут быть неравенствами с одно или двухсторонними ограничениями и количество этих неравенств могут быть меньше количества искомых параметров. Сущность решения задач линейного программирования заключается в обозначении области допустимых решений и определении той точки или грани этой области, при которой данная целевая функция достигает max и min значения. Линейное программирование является наиболее распространенным и наиболее разработанным методом математического решения задач управления. В отличие от перебора всех возможных вариантов решения задача линейного программирования позволяет рациональным способом подойти к выбору оптимального варианта. Применяется обычный итерационный метод, обеспечивающий движения процесса в нужном направлении. Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете??? Сущность и виды управленческих решений Puc. Примеры программирования фасок и галтелей Анализ и разработка методов обработки деталей и узлов изделия. Определение режимов обработки Анализ методов определения сметной стоимости Архитектура программирования SSAS. Барьер психической адаптации и этиопатогенетическая сущность пограничных состояний. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? В общем виде задача содержит: При двух переменных на плоскости решение имеет вид рисунок 1 Линейное программирование является наиболее распространенным и наиболее разработанным методом математического решения задач управления. Сущность решения задачи линейного программирования.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации вариационное исчисление, численные методы и др. Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев - невозможно. Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л. Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике. Значительное развитие теория и алгоритмический аппарат линейного программирования получили с изобретением и распространением ЭВМ и формулировкой американским математиком Дж. В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения. Для решения задач линейного программирования разработано сложное програмное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов. В развитие и совершенствование этих систем вложен труд и талант многих матеметиков, аккумулирован опыт решения тысяч задач. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области математического программирования. Линейное программирование тесно связано с другими методами математического программирования например, нелинейного программирования, где целевая функция нелинейна. Задачи с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями называют задачами нелинейного программирования с линейными ограничениями. Оптимизационные задачи такого рода можно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций. Если целевая функция Е - квадратичная функция, то мы имеем дело с задачей квадратичного программирования; если Е - это отношение линейных функций, то соответствующая задача носит название задачи дробно-линейного программирования, и т. Деление оптимизационных задач на эти классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения. Современные методы линейного программирования достаточно надежно решают задачи общего вида с несколькими тысячами ограничений и десятками тысяч переменных. Для решения сверхбольших задач используются уже, как правило, специализированные методы. Целью данной работы является решение оптимизационного плана производства изделий на предприятии. Для этого необходимо решить следующие пункты:. Линейное программирование - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т. Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций. Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:. Выбор компромиcного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, то есть одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, так как практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимальности 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути. В первом случае критерий оптимизации - производительность, а во втором - себестоимость. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий. Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта аппарат, цех, завод. Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой - критерием оптимальности. Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными оптимизация проводится по одному критерию , векторными оптимизация проводится по многим критериям , поисковыми включают методы регулярного и методы случайного поиска , аналитическими методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др. Подвергаться оптимизации могут задачи как с ограничениями, так и без них. Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: Задача состоит в нахождении оптимального значения функции 1. Вектор , удовлетворяющий ограничениям 1. План , при котором функция 1. Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X1, X2, Тогда наша система уравнений 2. К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных мы это сделали для определенности записи. Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные переменные называются базисными, остальные свободными. Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных выраженных через свободные , мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X1, X2, Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом. Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого исходного базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным. Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений. Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода. Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический характер характер четкого предписания о выполнении последовательных операций , что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную. Не останавливаясь подробнее на сути алгоритма, опишем его вычислительную сторону. Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные. Вопрос об этих предварительных преобразованиях мы рассмотрим ниже. Сейчас же будем считать, что они уже выполнены и задача имеет вид 2. Здесь для определенности записи считается, что в качестве базисных переменных можно взять переменные X1, X2, Для составления симплекс-таблицы во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся в левую часть, свободные оставляются справа, то есть задача записывается в виде системы равенств 2. Названия базисных переменных здесь взяты лишь для определенности записи и в реальной таблице могут оказаться другими. Первая симплекс-таблица подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных:. Теперь следует просмотреть строку целевой функции индексную , если в ней нет отрицательных значений в задачи на нахождение максимального значения , либо положительных в задачи на нахождение минимального значения кроме стоящего на месте свободного столбца , то значит, что оптимальное решение получено. В противном случае, переходим к новой симплекс таблице по выше описанному алгоритму. Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования. Решая одну из них, автоматически решается и другая задача. Такие задачи называют взаимодвойственными. Покажем по данной задаче, будем называть ее исходной, построить двойственную ей. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной. Столбец свободных членов исходной является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется. Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной. Транспонированной называется матрица, у которой строки и столбцы меняются местами. Поэтому коэффициенты при переменных yi в задаче II это, соответственно, коэффициенты i-ого неравенства в задаче I. Неравенства, находящиеся напротив друг друга, называются сопряженными. Двойственность является фундаментальным понятием в теории линейного программирования. Основные результаты теории двойственности заключены в двух теоремах, называемых теоремами двойственности. Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования кроме того, сюда относят: Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;. Решение оптимизационной задачи линейного программирования в Excel. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в табл. Требуется определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи. Составим аналитическую модель задачи. Для этого сначала введем переменные, которые требуется определить:. Система ограничений состоит из двух групп. Первая группа устанавливает ограничение на работу времени каждого оборудования. Аналогичные рассуждения относительно возможного использования токарного, сварочного, шлифовального, гравировального и камнерезного оборудования приведут к следующим неравенствам:. Вторая группа накладывает ограничения на количество производимых единиц изделий, так как имеется заказ на производство брусков формы А и обработку алмазов:. Целевая функция в нашей задаче должна выражать максимальную прибыль от реализации всех изделий:. Целевую функцию надо максимизировать. Таким образом, формальная постановка задачи оптимизации имеет следующий вид:. В данной курсовой работе было использовано средство Excel для решения задачи на ЭВМ. В этом отчете дается информация о значении целевой ячейки - 27 Изменяемые ячейки - это данные о нахождение оптимального плана производства изделий. Ограничения свидетельствуют об использовании ресурсов. В данном случае был полностью использования ресурс времени на обработку изделий на фрезерном оборудовании и сварочном, каменерезное, так как в столбце разница значение 0. Не используется полностью ресурс времени на токарное и шлифовальное, гравировальное оборудование. Также произведен необходимый объем изделий - брусков формы А и обработанных алмазов;. В данном отчете предоставляется информация о нижних и верхних пределах изменяемых ячеек, при котором целевой результат не изменится. Изделия вида Диски, можно изготовлять от 0 до 56 единиц. Свечи зажигания - от 0 до 18, трубы d5 - от 0 до 34, алмазы только значение - 12, бруски формы А - , а шпингалеты - 0. Экономическая интерпретация результатов оптимизационной задачи. На основании разработанной экономико-математической модели для предприятия можно изменить структуру производства с целью получения максимальной прибыли, на основании имеющегося ресурсного потенциала. То есть необходимо изменить структуру производства выделения ресурсов для изделий. Для получения максимального результата требуется производить брусков формы А, 34 единицы труб d5, 12 штук обработанных алмазов, диски - 56 штук, свечи зажигания 18 штук, шпингалеты - производить для предприятия невыгодно. Проанализировав данные отчетов, можно сказать, что при заданном плане производства остаются свободные временные ресурсы на оборудование - токарное, шлифовальное и камнерезное. Также производство шпингалетов невыгодно для предприятия, а обработанные алмазы и бруски формы А - рассматриваются как разовые заказа, поскольку в отчете по пределам их значения не могут меняться, а значит при изменении объема производства, могут уменьшить прибыль. Исходя из полученных результатов, лицу приминающему решению стоит обратить внимание на неиспользуемые ресурсы рабочего времени, либо ввести новую смену, либо продать часть оборудования. Также необходимо отказаться от производства шпингалетов или пересмотреть технологию обработки и расхода рабочего времени, возможно применить новые технологии сборки. В данной курсовой работе был составлен оптимальный план производства изделий нескольких видов для получения максимальной прибыли. Для этого автор изучил все выше описанные методы. Сведение к математическим моделям реальные экономические задачи весьма актуально и помогает принимать решения как в производстве, в транспортировке, при планировании задач. Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом. Финансовое моделирование с использованием Excel, [текст]: Методы оптимизации в экономике. Решение математических задач средствами Excel: Теория систем и системный анализ: Тюменский государственный университет, г. Excel для экономистов и менеджеров. Компьютерное моделирование финансовой деятельности: Финансы и статистика, Информационные системы в экономике лекции, упражнения и задачи: Понятие "транспортная задача", ее типы. Отыскание оптимального плана перевозок однородного груза, при котором запросы цехов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок. Решения прямой и двойственной задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования графическим способом. Проверка плана на оптимальность. Анализ и корректировка результатов решения задач линейного программирования симплексным методом. Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства. Математическая постановка задачи линейного программирования. Общий вид задачи линейного программирования. Математическая формулировка задачи линейного программирования. Применение симплекс-метода решения задач. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Применение методов линейного программирования к экстремальным задачам экономики. Характеристика и описание метода линейного программирования, основные области его применения и ограничения использования. Решение экономических задач, особенности формирования оптимизационной модели, расчет и анализ результатов оптимизации прибыли. Решение задачи оптимального закрепления грузоотправителей ГО за грузополучателями ГП и распределения груза для минимизации транспортной работы методами линейного программирования с использованием MS Excel. Расчет кратчайшего расстояния между ГО и ГП. Транспортная задача линейного программирования, закрытая модель. Вычисление значения целевой функции. Ввод зависимостей из математической модели. Отчет по результатам транспортной задачи. Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Решение задачи двойственной к исходной. Определение оптимального плана закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей. Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования. Характеристика графических методов решения задачи линейного программирования, сущность их геометрической интерпретации и основные этапы. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Главная Коллекция рефератов "Otherreferats" Экономико-математическое моделирование Теоретические аспекты линейного программирования. Понятие и сущность линейного программирования. Составление оптимального плана перевозок, управление производственным запасом. Для этого необходимо решить следующие пункты: Теоретические аспекты линейного программирования 1. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи: Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например: При постановке задачи оптимизации необходимо: Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации: Правильная постановка задачи могла быть следующая: Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции. В общем виде модель записывается следующим образом: Методы решения задач линейного программирования 2. Алгоритм перехода к следующей таблице такой: Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных: Построим ей двойственную задачу по следующим правилам: Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной. Решение оптимизационной задачи линейного программирования в Excel Постановка задачи оптимизации. Построение аналитической модели Составим аналитическую модель задачи. Для этого сначала введем переменные, которые требуется определить: X1 - единиц шпингалетов, которое необходимо изготовить; X2 - штук брусков формы А, которое необходимо изготовить; X3 - штук труб d5, которое необходимо изготовить; X4 - единиц изделий алмазов обработка , которое необходимо изготовить; X5 - штук дисков, которое необходимо изготовить; X6 - единиц изделий свеч зажиганий, которое необходимо изготовить. Ограничение времени работы фрезерного оборудования: Вторая группа накладывает ограничения на количество производимых единиц изделий, так как имеется заказ на производство брусков формы А и обработку алмазов: Целевая функция в нашей задаче должна выражать максимальную прибыль от реализации всех изделий: Таким образом, формальная постановка задачи оптимизации имеет следующий вид: Максимальная прибыль по данному плану составляет 27 рублей. Заключение В данной курсовой работе был составлен оптимальный план производства изделий нескольких видов для получения максимальной прибыли. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. Microsoft Excel ю СПб.: Применение методов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок. Решение задач линейного программирования. Запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Применение линейного программирования для решения экономических задач оптимизация прибыли. Оптимизация транспортной работы, связанной с грузоперевозками, методами линейного программирования. Применение линейного программирования для решения задач оптимизации. Применение графического метода и симплекс-метода для решения задач линейного программирования. Решения задач линейного программирования геометрическим методом. Другие документы, подобные "Теоретические аспекты линейного программирования".
Бохо шик выкройки
Как платить вмененный налог ип
Как пересадить антуриум в домашних правильно
История россии 8 класс отечественная война 1812
Чингиз айтматов стихи о матери