1.2. Вещественные числа и их свойства
01.2. Вещественные числа и их свойства
Вещественное число
Основные свойства вещественных чисел
01.2. Вещественные числа и их свойства
III. Непрерывность вещественных чисел
Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело ко множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами. Наглядно понятие вещественного числа можно представить при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждой точке прямой можно поставить в соответствие некоторое вещественное число, и притом только одно. Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Мере [3] была создана строгая теория вещественных чисел. Это определение, или эквивалентная система аксиом , в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма , непрерывное упорядоченное поле. Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины , то есть длины отрезка, площади или объёма. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях, например, не содержит аксиомы непрерывности , не даёт общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др. Ситуация начала меняться в первые века н. После гибели античной науки на передний план выдвинулись математики Индии и стран ислама , для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе [7] , где поначалу разделяли рациональные и иррациональные буквально: Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина конец XVI века , который провозгласил [6]:. Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа , а также развил теорию и символику десятичных дробей , которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные. Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными из геометрических или кинематических соображений. Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало [9]. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки. Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа , положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана [10]. В более поздней работе [11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств [12] , но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности. Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса , Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием. Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства. Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В году были опубликованы одновременно три работы: В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:. Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными. Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным , то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов. Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида. Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа. Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде. Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение [14] соответствующих операций над рациональными числами. В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел. Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Построить множество вещественных чисел можно разными способами. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов вещественных чисел , обладающих определёнными свойствами: Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены. В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования лат. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа. Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта , основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии , как-то заметил:. При этом имеют место следующие свойства. Этих аксиом достаточно, чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел [16]. Множества, удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы, называются упорядоченными полями. Наконец, последняя группа, состоящая из одной аксиомы, утверждает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности , которое также называют полнотой. Резюмируя, можно дать эквивалентное определение множества вещественных чисел. Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле. Существуют и другие способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, вместо аксиомы непрерывности III 1. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы , основанные, в основном, на аксиоме Архимеда. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами. Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число. Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел. Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных , но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, то есть не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками. Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер. Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума. Обычно из контекста понятно, какая бесконечность имеется в виду, либо это не имеет значения. Математическая модель вещественных чисел повсеместно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. Однако это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Огромный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел в большинстве случаев достаточно адекватно отражает структуру непрерывных физических величин. Сказанное, конечно, не означает, что вещественная числовая прямая есть точный образ реальной непрерывной величины. Например, современной науке пока не известно, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; однако даже во втором случае модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, поскольку понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными квантуемыми. Подробное изложение теории построения вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей , а также теории построения вещественных чисел с помощью сечений в области рациональных чисел можно найти в следующей:. Желающим познакомиться с оригинальным ходом мысли самого Р. Дедекинда можно порекомендовать брошюру, в которой в году Дедекинд изложил свою теорию вещественного числа. Эта книжка на сегодняшний день остаётся одним из самых лучших и доступных изложений предмета. Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах:. Сущность аксиоматического метода и его сравнение с конструктивным подходом изложены Д. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии , проверенной 22 февраля ; проверки требуют 6 правок. Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина конец XVI века , который провозгласил [6]: Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью. Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Конструктивные способы определения вещественного числа. Теория фундаментальных последовательностей Кантора. Теория бесконечных десятичных дробей. Теория сечений в области рациональных чисел. Гильберта , основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии , как-то заметил: Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках. Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый Свойствам вещественных чисел. Двумя бесконечностями со знаком: Особенно плодотворны в алгебре и анализе. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей. Нестандартный анализ , который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа разных порядков. В качестве примера можно привести две классические работы: Теория функций действительного переменного. Московская школа Натансон, И. Теория функций вещественной переменной. Ленинградская школа В современных университетских учебниках употребляются оба термина: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Очерки по истории математики. Использованная литература Арнольд И. Издательство иностранной литературы, Государственное издательство технико-теоретической литературы, История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Краткий курс математического анализа. Издательство Московского университета, Рекомендуемая литература из истории становления понятия вещественного числа: История математики под редакцией А. Юшкевича в трёх томах, М.: Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. Построение теории вещественного числа с помощью бесконечных десятичных дробей можно найти в книгах:
Карты скачать челябинск андроид
Часы ролекс оригинал
Причины гибели группы дятлова последние новости
Армения тв новости
Комон джим вегас расписание
Добавочный капитал изменяется в результате